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	Karl Schwarzschild: Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie

Außer diesen drei Gleichungen haben die Funktionen $f_1,\ f_2,\ f_4$ noch die Determinantengleichung zu erfüllen

d)	$f_{1}f_{2}^{2}f_{4}=1$ oder: $\frac{1}{f_{1}}\frac{\partial f}{\partial x_{1}}+\frac{2}{f_{2}}\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}}+\frac{1}{f_{4}}\frac{\partial f_{4}}{\partial x_{1}}=0.$

Ich lasse zunächst (b) weg und bestimme die drei Funktionen $f_1,\ f_2,\ f_4$ aus (a), (c) und (d). (c) läßt sich umstellen in die Form

c')	$\frac{\partial}{\partial x_{1}}\left(\frac{1}{f_{4}}\frac{\partial f_{4}}{\partial x_{1}}\right)=\frac{1}{f_{1}f_{4}}\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}\frac{\partial f_{4}}{\partial x_{1}}.$

Das läßt sich unmittelbar integrieren und gibt

c")

$\frac{1}{f_{4}}\frac{\partial f_{4}}{\partial x_{1}}=\alpha f_{1},$

(α Integrationskonstante)

(a) und (c') addiert geben

$\frac{\partial}{\partial x_{1}}\left(\frac{1}{f_{1}}\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{1}{f_{4}}\frac{\partial f_{4}}{\partial x_{1}}\right)=\left(\frac{1}{f_{2}}\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}}\right)^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{f_{1}}\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{1}{f_{4}}\frac{\partial f_{4}}{\partial x_{1}}\right)^{2}.$

Verbunden mit (d) folgt

$-2\frac{\partial}{\partial x_{1}}\left(\frac{1}{f_{2}}\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}}\right)=3\left(\frac{1}{f_{2}}\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}}\right)^{2}.$

Integriert