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	Karl Schwarzschild: Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie

Das läßt sich sofort integrieren und gibt:

$\left(\rho _{0}+p\right){\sqrt {f_{4}}}={\mathsf {konst.}}=\gamma .$

(10)

Die Feldgleichungen (a) (b) (c) lassen sich durch Multiplikation mit den Faktoren $-2,\ +2{\frac {f_{1}}{f_{2}}},\ -2{\frac {f_{1}}{f_{4}}}$ umsetzen in:

${\begin{array}{lllc}{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {1}{f_{1}}}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x}}\right)+{\frac {1}{2f_{1}^{2}}}\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial x}}\right)^{2}&+{\frac {1}{f_{2}^{2}}}\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2f_{4}^{2}}}\left({\frac {\partial f_{4}}{\partial x}}\right)^{2}&+\varkappa f_{1}\left(\rho _{0}-p\right)&{\mathsf {(a')}}\\\\{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {1}{f_{2}}}{\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}\right)=2{\frac {f_{1}}{f_{2}}}&+{\frac {1}{f_{1}f_{2}}}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x}}{\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}&-\varkappa f_{1}\left(\rho _{0}-p\right)&{\mathsf {(b')}}\\\\{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {1}{f_{4}}}{\frac {\partial f_{4}}{\partial x}}\right)=&{\frac {1}{f_{1}f_{4}}}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x}}{\frac {\partial f_{4}}{\partial x}}&+\varkappa f_{1}\left(\rho _{0}+3p\right)&{\mathsf {(c')}}\end{array}}$

Bildet man die Kombinationen $a'+2b'+c'$ und $a'+c'$, so erhält man unter Benutzung der Determinantengleichung:

$0=4{\frac {f_{1}}{f_{2}}}-{\frac {1}{f_{2}^{2}}}\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}\right)^{2}-{\frac {2}{f_{2}f_{4}}}{\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}{\frac {\partial f_{4}}{\partial x}}+4\varkappa f_{1}p$

(11)

$0=2{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {1}{f_{2}}}{\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}\right)+{\frac {3}{f_{2}^{2}}}\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}\right)^{2}+2\varkappa f_{1}\left(\rho _{0}+p\right)$

(12)

Wir wollen hier neue Variable einführen, welche dadurch nahegelegt werden, daß sie sich nach den Ergebnissen beim Massenpunkt außerhalb der Kugel sehr einfach verhalten, so daß sie auch die von $\rho _{0}$ und $p$ freien Teile der jetzigen Gleichungen auf eine einfache Form bringen müssen.

Es sei:

$f_{2}=\eta ^{2/3},\ f_{4}=\zeta \eta ^{-1/3},\ f_{1}={\frac {1}{\zeta \eta }}.$

(13)

Dann ist nach (9) außerhalb der Kugel:

$\eta =3x+\rho ,\ \zeta =\eta ^{1/3}-\alpha ,$

(14)

${\frac {\partial \eta }{\partial x}}=3,\ {\frac {\partial \zeta }{\partial x}}=\eta ^{-2/3}.$

(15)

Führt man diese neuen Variablen ein und ersetzt zugleich $\rho _{0}+p$ durch $\gamma f_{4}^{-1/2}$ gemäß (10), so gehen die Gleichungen (11) und (12) über in:

${\frac {\partial \eta }{\partial x}}{\frac {\partial \zeta }{\partial x}}=3\eta ^{-2/3}+3\varkappa \gamma \zeta ^{-1/2}\eta ^{1/6}-3\varkappa \rho _{0}$

(16)

$2\zeta {\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial x^{2}}}=-3\varkappa \gamma \zeta ^{-1/2}\eta ^{1/6}.$

(17)

Empfohlene Zitierweise:
Karl Schwarzschild: Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie. Preussische Akademie der Wissenschaften, Sitzungsberichte, 1916 (Erster Halbband), Berlin 1916, Seite 427. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Schwarzschild1916b.djvu/4&oldid=- (Version vom 1.8.2018)