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	Karl Schwarzschild: Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie

Die Addition dieser beiden Gleichungen ergibt: $2\zeta\frac{\partial^{2}\eta}{\partial x^{2}}+\frac{\partial\eta}{\partial x}\frac{\partial\zeta}{\partial x}=3\eta^{-2/3}-3\varkappa\rho_{0}.$ Integrierender Faktor dieser Gleichung ist $\frac{\partial\eta}{\partial x}$. Die Integration liefert: $\zeta\left(\frac{\partial\eta}{\partial x}\right)^{2}=9\eta^{1/3}-3\varkappa\rho_{0}\eta+9\lambda\quad\left(\lambda\mathsf{{Integrations-\atop konstante}}\right).$ (18) Dies zur 3/2ten Potenz erhoben, gibt: $\zeta^{3/2}\left(\frac{\partial\eta}{\partial x}\right)^{3}=\left(9\eta^{1/3}-3\varkappa\rho_{0}\eta+9\lambda\right)^{3/2}.$ Dividiert man (17) durch diese Gleichung, so fällt $\zeta$ heraus, und es bleibt folgende Differentialgleichung für $\eta$: $\frac{2\frac{\partial^{2}\eta}{\partial x^{2}}}{\left(\frac{\partial\eta}{\partial x}\right)^{3}}=-\frac{3\varkappa\gamma\eta^{1/6}}{\left(9\eta^{1/3}-3\varkappa\rho_{0}\eta+\lambda\right)^{3/2}}.$ Hier ist wieder $\frac{\partial\eta}{\partial x}$ integrierender Faktor. Die Integration gibt: $\frac{2}{\left(\frac{\partial\eta}{\partial x}\right)}=3\varkappa\gamma\int\frac{\eta^{1/6}d\eta}{\left(9\eta^{1/3}-3\varkappa\rho_{0}\eta+\lambda\right)^{3/2}}$ (19) und da: $\frac{2}{\frac{\partial\eta}{\partial x}}=\frac{2\delta x}{\delta\eta}$ ist, so folge durch nochmalige Integration: $x=\frac{\varkappa\gamma}{18}\int d\eta\int\frac{\eta^{1/6}d\eta}{\left(\eta^{1/3}-\frac{\varkappa\rho_{0}}{3}\eta+\lambda\right)^{3/2}}.$ (20) Hieraus folgt $x$ als Funktion von $\eta$, und durch Umkehrung $\eta$ als Funktion von $x$. Ferner folgt $\zeta$ aus (18) und (19) und damit nach (13) die Funktionen $f$. Somit ist unser Problem auf Quadraturen zurückgeführt. § 5. Es sind nun die Integrationskonstanten so zu bestimmen, daß das Innere der Kugel singularitätenfrei bleibt und an der Kugeloberfläche der stetige Anschluß an die Außenwerte der Funktionen $f$ und ihrer Derivierten bewirkt wird.

Empfohlene Zitierweise:

Karl Schwarzschild: Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie. Preussische Akademie der Wissenschaften, Sitzungsberichte, 1916 (Erster Halbband), Berlin 1916, Seite 428. Digitale Volltext-Ausgabe in Wikisource, URL: http://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Schwarzschild1916b.djvu/5&oldid=1221246 (Version vom 2.09.2010)