Auszug aus den Anfangs-Gründen aller Mathematischen Wissenschaften/Die Gnomonick

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Anfangs-Gründe der Gnomonick
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[538]
Anfangs-Gründe
der
Gnomonick.


Die 1. Erklärung.
1.

Die Gnomonick ist eine Wissenschaft, auf einer jeden gegebenen Fläche eine Sonnenuhr zu beschreiben.

Die 2. Erklärung.

2. Die Sonnenuhr ist eine Verzeichnung gewisser Linien auf einer gegebenen Fläche, darauf der Schatten des eingesteckten Zeigers eine Stunde nach der andern fället.

Die 1. Aufgabe.
Anfangsgründe der Mathematik III b A 027 01.jpg

3. Ein Instrument zu machen, dadurch man die Abweichung einer Verticalfläche von Süden oder Norden, ingleichen von der Horizontalfläche erforschen kan.

Auflösung.

1. Theilet einen halben Circul in seine 180 Grade, und zählet von E bis in A und D in jedem Quadranten 90°.

2. In dem Mittelpuncte F befestiget ein Lineal HI, daran ein Kästlein mit einer Magnetnadel befestiget. Es muß aber darinnen nicht allein die Mittagslinie, sondern auch die Declinationslinie der Magnetnadel beschrieben seyn.

Ich sage, durch dieses Instrument könnet ihr finden, wie viel Grade eine Verticalfläche von Süden oder [539] Norden entweder gegen Osten oder Westen, ingleichen eine inclinirte von der Horizontalfläche abweichet.

Beweis.
Anfangsgründe der Mathematik III b A 027 02.jpg

Denn wenn die Fläche gegen Mittag oder Mitternacht stehet; so mus die Mittagslinie auf einer jeden Linie, die an derselben horizontal gezogen wird, perpendicular stehen. Derowegen wenn ihr die Seite des Instruments AD an die Fläche anleget, und es horizontal stehet, das Lineal aber an dem Mittelpuncte F so lange verschiebet, bis die Magnetnadel auf ihrer Declinationslinie stehet; so wird die Schärfe desselben in E fallen, wenn die Fläche nicht abweichet; hingegen wenn sie abweichet, entweder gegen Osten oder gegen Westen den verlangten Grad der Abweichung auf dem Instrumente abschneiden, welcher nemlich den Winkel QFN = PFM (§. 40. Geom.) zeiget, den eure Fläche mit der Fläche, so nach Mittage siehet, machet. Denn es sey PQ die Seite der Fläche, so nach Mittage siehet, MN aber die Seite der abweichenden Fläche; so ist PFM der Declinationswinkel. Nun sey EF die Perpendicularlinie aus eurer Fläche, FG aber die Mittagslinie, welche auf PQ perpendicular stehet. Da nun EFG + GFM = 90°, und GFM + MFP = 90°; so ist EFG + GFM = GFM + MFP (§. 22. Arithm.), folgends EFG = PFM (§. 25. Arithm.). Welches das erste war.

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Wenn die Seite des Instruments BC an die gegen den Horizont inclinirte Fläche IL angeleget, und an den Mittelpunkt F ein Bleywurf FH [540] angemachet wird; so ist der Winkel EFG dem Inclinationswinkel ILK gleich, wovon der Beweis völlig in der Mechanick (§. 82.) zu finden. Welches das andere war.

Die 3. Erklärung.

4. Die Aequinoctialuhr ist diejenige, welche auf einer Fläche beschrieben wird, die mit dem Horizont einen Winkel machet, welcher der Höhe des Aequatoris gleich ist.

Die 4. Erklärung.

5. Die Horizontaluhr ist diejenige, so auf einer Horizontalfläche beschrieben wird.

Die 5. Erklärung.

6. Die Verticaluhren sind, welche auf Verticalflächen beschrieben werden. Siehet die Fläche gegen Mittag, so nennet man die darauf beschriebene Uhr eine Mittagsuhr; hingegen eine Mitternachtsuhr, wenn sie gegen Mitternacht siehet. Endlich heisset es eine declinirende Uhr, wenn die Fläche decliniret.

Die 6. Erklärung.

7. Die Morgenuhren sind, die auf einer gegen Morgen gerichteten Fläche beschrieben sind. Die Abenduhren aber, welche auf einer Fläche stehen, die gegen Abend siehet.

Die 7. Erklärung.

8. Die Polaruhren sind die, welche auf einer Fläche beschrieben werden, die gegen Norden dergestalt incliniret, daß sie mit der Horizontalfläche einen Winkel machet, welcher [541] der Polhöhe gleich ist. Wenn die Flächen Winkel mit der Horizontalfläche machen, die weder der Höhe des Aequatoris, noch des Poles gleich sind: so nennet man es inclinirte Uhren; decliniret die Fläche zugleich von Mittage oder Mitternacht, declinirte Uhren.

Die 2. Aufgabe.
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9. Eine Aequinoctialuhr zu verfertigen.

Auflösung.

1. Beschreibet einen Circul, und theilet ihn in 24 gleiche Theile; so sind die Linien, welche aus dem Mittelpunct C in die Theilungspuncte in der Peripherie gezogen werden, die Stundenlinien.

2. Schreibet auf die Abendseite die Vormittagsstunden, und auf die Morgenseite die Nachmittagsstunden.

3. Endlich richtet in dem Mittelpunct C die Zeigerstange perpendicular auf, so nicht allzugroß seyn darf.

So ist geschehen, was man verlangete.

Beweis.

Weil in Ansehung der Sonnenweite von der Erde ihr halber Diameter nur für einen Punct zu halten (§. 58. Astron.); so könnet ihr den Mittelpunct des Circuls C für den Mittelpunct der Erde, und weil der Circul in der Fläche des Aequatoris ist, die auf der Mittagslinie C 12 perpendicular erhöhete Zeigerstange für die Weltaxe annehmen (§. 13. 14. Astronom.). Da nun die Sonne ihre Tagecircul [542] mit dem Aequatore parallel beschreibet, und sich einmal so geschwinde wie das andere beweget; so muß auch der Schatten der Weltaxe auf der Aequinoctialfläche in gleicher Zeit gleiche Theile des Circuls beschreiben. Da nun die Sonne in 24 Stunden herumkommet; so darf die Peripherie des Circuls nur in 24 gleiche Theile getheilet werden, um die Stundenlinien zu haben. Und weil der Schatten der Sonne gegen über geworfen wird (§. 34. Optic.); so fallen die Vormittagsstunden gegen Abend, die Nachmittagsstunden gegen Morgen. Solchergestalt ist die Aeqinoctialuhr richtig beschrieben worden. W. Z. E.

Der 1. Zusatz.

10. Demnach muß der Punct 12 auf der Mittagslinie liegen.

Der 2. Zusatz.

11. Da in unsern Landen die Sonne nicht viel vor 4 Uhren aufgehet, und nicht lange nach 8 Uhren über dem Horizont bleibet; werden die Stunden Vormittags von 4 Uhr an, Nachmittags aber bis 8 Uhr auf die obere Aequinoctialfläche geschrieben: hingegen auf der unteren Fläche an allen Orten die Stunden frühe von 6 Uhr an bis Abends um 6 Uhr.

Anmerkung.
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12. Wenn ihr auf den Deckel ADCB des Magnetkästleins CFED oben die obere und unten die untere Aequinoctialuhr beschreibet, und ihn nach der gegebenen Höhe des Aequatoris in einem jeden Orte vermittels des Quadrantens LH erhöhet, vermittels der Magnetnadel aber die Uhr gegen die Gegenden [543] der Welt richtet; so habt ihr eine allgemeine Aequinoctialuhr, die ihr überall gebrauchen könnet.

Die 3. Aufgabe.
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13. Eine Horizontaluhr zu beschreiben.

Auflösung.

1. Ziehet die Mittagslinie AB (§. 27. Astron.), oder nehmet sie auf einer beweglichen Fläche nach Belieben an.

2. In dem nach Belieben erwählten Puncte C richtet eine Perpendicularlinie CD von beliebter Länge auf (§. 70. Geom.), und machet den Winkel CAD der gegebenen Polhöhe gleich (§. 48. Geom.).

3. In D machet den Winkel CDE = CAD, und ziehet die Linie DE.

4. Durch E ziehet die Linie GH, welche AB rechtwinkelicht durchschneidet (§. 70. Geom.).

5. Machet EB = ED, und beschreibet den Quadranten EF.

6. Theilet ihn in 6 gleiche Theile, und ziehet aus dem Mittelpuncte B durch die Theilungspuncte bis an die Linie GH die Linien Ba, Bb, Bc etc.

7. Traget aus E gegen G die Theile Ea, Eb, Ec, etc.

8. Aus A beschreibet mit beliebiger Eröffnung des Circuls einen kleinen Circul, und ziehet gegen den Mittelpunct A bis an die Peripherie und die nach Belieben gemachte Einfassung der Uhr durch alle Theilungspunkte der Linie GH gerade Linien; so bekommet ihr die Stundenlinen A5, A4, A3 etc.

[544] 9. Ziehet durch A die sechste Stundenlinie 6. 6. auf die zwölfte A 12 perpendicular (§. 70. Geom.).

10. Verlängert A 7 bis 7 über den Circul, und A 8 bis in 8; A 5 bis in 5; A 4 bis in 4, damit ihr die Abendstunden A 7 und A 8, ingleichen die Frühestunden A 4 und A 5 bekommet.

11. In A richtet die Zeigerstange entweder nach der Linie AD oder CD auf, jedoch dergestalt, daß der Triangel ADE in der Fläche des Meridiani ist, oder auf der Uhrfläche perpendicular stehet; wie ihr denn auch anstatt der Zeigerstange den Triangel ADE oder ACD von starkem Bleche, doch oben in AD scharf abgeschliffen, nehmen könnet.

Beweis.
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Stellet euch vor, als wenn AD die Zeigerstange der Aequinoctialuhr wäre, welche in A die Horizontalfläche erreichet, und GH die Linie, da die Aequinoctialfläche die Horizontalfläche berühret; so ist klar, daß die Eintheilungen für die Stundenlinien in der Linie GH gefunden werden, wenn man die Stundenlinien der Aequinoctialuhr bis an GH verlängert. Wenn man nun sich ferner vorstellet, als wenn die Aequinoctialuhr auf die Horizontalfläche dergestalt niedergeleget würde, daß die verlängerte Stundenlinien noch in den vorigen Puncten die Linie GH durchschneiden; so fället DE auf EB und der eine Quadrant der Aequinoctialuhr auf EF. Und demnach sind die Stundenlinien in der Horizontaluhr richtig gefunden worden. W. Z. E.

[545]
Anmerkung.

14. Der Beweis wird handgreiflich, wenn man eine Aequinoctialuhr bey der Hand hat, und alles im Werke selbst zeiget. Auch ist zugleich klar, daß man vermittelst der Aequinoctialuhr eine Horizontaluhr, darauf die Mittagslinie AB gefunden worden, gar leichte beschreiben kan.

Zusatz.

15. Weil der Winkel EBa 15°, EBb 30, EBc 45, EBd 60, EBH 75°; so ist vermöge der Tafeln über die Tangentes, wenn EB 1000 angenommen wird, EA 267, EB 577, EC 1000, ED 1732, EH 3732, welches zu grossen Sonnenuhren dienet.

Die 4. Aufgabe.
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16. Eine Mittagsuhr zu zeichnen. [Fig. 8]

Auflösung.

Die Beschreibung ist völlig wie vorhin; ausser daß der Winkel CAD und CDE der Höhe des Aequatoris gleich gemachet werden.

Beweis.

Der Beweis wird wie der vorige eingerichtet.

Die 5. Aufgabe.
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17. Eine Mitternachtsuhr zu zeichnen. [Fig. 9]

Auflösung.

1. Ziehet die Mittagslinie EA auf eine Fläche, die gegen Mitternacht siehet (§. 30. Astron.), und beschreibet aus A nach Belieben einen kleinen Circul.

2. Machet die Winkel DAC und EDC des Aequatoris Höhe gleich, und über diese EB = ED.

3. Ziehet durch E die Linie GH auf EA perpendicular, [546] und theilet den aus B durch F beschriebenen Quadranten EF in 6 gleiche Theile.

4. Durch die zwey letzten Theilungspuncte ziehet aus A die Linien Ad und AH, welche die siebente und achte Stundenlinie nach Mittage geben.

5. Machet Eh = Ed und EG = EH; so bekommet ihr auch die vierte und fünfte Stundenlinie vor Mittage.

6. Ziehet durch A die Linie 6. 6 auf AE perpendicular; so habet ihr die sechste Stundenlinie vor- und nach Mittage.

7. Richtet die Zeigerstange nach der Linie AD oder CD über die Mittagslinie AE auf, oder nehmet dafür den Triangel EDA.

Beweis.

Der Beweis wird wie bey der Horizontaluhr eingerichtet, und stellet man sich hier vor, als wenn die Aequinoctialuhr nach dem Winkel DEA, welcher der Höhe des Poli gleich ist, angeleget, die Zeigerstange aber DA durch den Mittelpunct der Aequinoctialuhr bis in A gestossen würde.

Die 6. Aufgabe.
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18. Eine Morgenuhr zu beschreiben. [Fig. 10]

Auflösung.

1. Auf der Seite der Mittagsfläche, die gegen Morgen stehet, ziehet eine gerade Linie AB mit dem Horizont parallel, und eine andere AK, die mit AB einen Winkel KAB machet, so der Höhe des Aequatoris gleich ist.

2. Aus einem nach Belieben angenommenen Puncte D beschreibet mit beliebiger Weite DE [547] einen Circul, und ziehet durch D auf KA die Linie EC perpendicular.

3. Theilet einen jeden Quadranten in 6 gleiche Theile, und ziehet aus dem Mittelpuncte D durch die Theilungspuncte bis an EG und CI Linien; so bekommet ihr die Stundenlinien, wie die Figur weiset.

4. Richtet in D eine Zeigerstange perpendicular auf, die der Linie DE gleich ist, oder eine andere in der Höhe dieser Linie mit EC parallel.

Beweis.

Wenn man sich vorstellet, als wenn die Aequinoctialuhr auf die Linie FG perpendicular dergestalt aufgerichtet würde, daß FG von der sechsten Stundenlinie in E berühret wird, und also der Zeiger mit EC parallel ist; so lässet sich der Beweis wie bey der Horizontaluhr (§. 13.) einrichten.

Die 7. Aufgabe.
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19. Eine Abenduhr zu beschreiben. [Fig. 11]

Auflösung.

Die Abenduhr wird wie die Morgenuhr auf der Abendseite des Meridiani gezeichnet: nur werden die Stunden anders geschrieben; wie die Figur zeiget.

Die 8. Aufgabe.

20. Eine Polaruhr zu beschreiben. [Fig. 12]

Auflösung.
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1. Ziehet die Linie AB mit dem Horizont parallel, und suchet die Mittagslinie CE (§. 30. Astron.).

2. Theilet dieselbe in zwey gleiche Theile in D, und [548] beschreibet aus D mit der Hälfte DE einen Quadranten.

3. Theilet ihn in 6 gleiche Theile, und ziehet aus D durch alle Theilungspuncte gerade Linien, welche AB in 1. 2. 3. 4. 5. durchschneiden.

4. Traget die Theile E 1, E 2, E 3 etc. aus E in 11, in 10, in 9 etc. und ziehet beiderseits aus den Theilungspuncten mit der Mittagslinie CE Parallellinien; so habet ihr die Stundenlinien.

5. Endlich richtet die Zeigerstange in der Höhe DE über der Mittagslinie CE perpendicular auf; so ist die obere Polaruhr fertig.

6. Wenn ihr alle Stunden bis auf 4 und 5, ingleichen 8 und 7 wegstreichet; so habet ihr die untere Polaruhr.

Beweis.

Bey dem Beweise ist eben das zu merken, was bey der Morgenuhr (§. 18.) erinnert worden.

Anmerkung.

21. Ueberall können die Eintheilungen der Linie AB für grosse Uhren, wie oben (§. 15.) gefunden werden.

Die 9. Aufgabe.
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22. Eine Uhr zu beschreiben, die von Mittage gegen Morgen oder gegen Abende abweichet. [Fig. 13]

Auflösung.

1. Beschreibet eine Horizontaluhr AGH (§. 13.), und GH sey die Linie, in welcher die Aequinoctialfläche die Horizontalfläche durchschneidet.

2. Durch E, wo die Mittagslinie AE die Linie GH [549] schneidet, ziehet eine Linie IK, welche mit GH einen so grossen Winkel machet, als die Abweichung der gegebenen Fläche ist; so geben sich die Eintheilungen für die Stundenlinien auf der Linie IK.

3. Ziehet auf der gegebenen Fläche eine Linie IK mit dem Horizont parallel, und traget die gefundene Theile E 1, E 2, E 3, etc. darauf.

4. In E richtet den Perpendicul EC in der Länge auf, als die Weite des Mittelpunctes der Mittagsuhr von der Horizontalfläche (§. 16.) beträget; so habet ihr den Mittelpunct, daraus die Stundenlinien CE, C 1, C 2, C 3 etc. gezogen werden.

5. Lasset auf dem Papiere aus A auf IK das Perpendicul AD fallen, und traget die Weite ED auf die Mauer, darüber die Uhr beschrieben wird; so ist DC die Linie, darüber der Zeiger kommet.

6. Setzet endlich AD und DC rechtwinkelicht zusammen; so ist AC die Zeigerstange, welche unter dem Winkel DCA in C an der Mauer befestiget wird.

Die 10. Aufgabe.

23. Eine Uhr zu zeichnen, die von Mitternacht gegen Morgen oder Abend abweicht.

Auflösung.

Weil die Mitternachtsuhren in der That nichts anders sind, als verkehrte Mittagsuhren (§. 16.); so beschreibet eine Uhr, die von Mittage abweichet, und wendet sie dergestalt um, daß [550] ihr Mittelpunct C gegen den Horizont, und der Punct E gegen das Zenith gekehret wird. Ueber dieses müssen die Stunden, wie in der Mitternachtsuhr, gehörig (§. 17.) eingeschrieben werden.

Anmerkung.

24. Man darf nur die nöthigen Puncte in der Mittagsuhr auf dem Papiere mit einer Nadel durchstechen; so ist auf der umgekehrten Seite die Mitternachtsuhr zu sehen.

Die 11. Aufgabe.
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25. Eine Uhr zu zeichnen, die von dem Zenith gegen Morgen oder Abend abweichet. [Fig. 14]

Auflösung.

Es sey HR der Horizont, PR die Polhöhe, Z das Zenith und N das Nadir; so ist klar, daß unsere Horizontalfläche in einem Orte, der von uns 90° weg lieget, die Verticalfläche sey, und demnach die Polhöhe an demselben Orte das Complement unserer zu 90° PZ. Derowegen darf man nur eine abweichende Mittagsuhr auf das Complement der Polhöhe (§. 22.) verzeichnen; so ist selbige die bey uns von dem Zenith abweichende Uhr.

Gleichergestalt erhellet hieraus, daß man vermittelst der Mittagsuhr unseres Ortes, als welche die Horizontaluhr unter dem Complement unserer Polhöhe ist, die von dem Zenith abweichende Uhr zeichnen kan, wie man die vom Mittage abweichende vermittelst der Horizontaluhr verzeichnet (§. 22).

[551]
Die 12. Aufgabe.
Anfangsgründe der Mathematik III A 029 15.jpg

26. Auf einer schiefliegenden Fläche eine Uhr zu beschreiben. [Fig. 15]

Auflösung.

1. Wenn die schiefliegende Fläche DC zwischen die Aequinoctialfläche CE und die Verticalfläche CB fället, so daß der Winkel DCA grösser ist, als die Höhe des Aequatoris ECA; so schreibet oben eine Mitternachtsuhr, unten aber eine Mittagsuhr auf die Höhe des Aequatoris, welche der Summe aus gedachter Höhe und dem Complement des Abweichungswinkels vom Horizont zu einem Quadranten gleich ist.

Beweis.

Es sey CG und CD perpendicular; so ist DC die Mittagsfläche unter der Höhe des Aequatoris ECG. Da nun BCA = DCG = 90° (§. 37. Geom.); so ist ACG = DCB (§. 25. Arithm.); das ist, dem Complement des Abweichungswinkels zu einem Quadranten, und demnach ECG = ECA + DCB. W. Z. E.

II. Wenn die schiefliegende Fläche FC zwischen die Aequinoctial-Fläche CE und Horizontalfläche CA fället, so daß der Winkel FCA kleiner, als die Höhe des Aequatoris; so beschreibet oben eine Horizontaluhr auf die Polhöhe, welche der Summe aus der Polhöhe eures Ortes und dem Abweichungswinkel FCA gleich ist. [Fig. 15]

[552]
Beweis.

Weil bey E ein rechter Winkel, und ECF die Höhe des Aequatoris über der Fläche CF ist; so ist EFC die Polhöhe auf derselben Fläche (§. 62. Astron.). Da nun gleichergestalt FAC die Polhöhe eures Ortes ist; so ist klar, daß die Polhöhe der Uhr EFC der Polhöhe eures Orts FAC und dem Abweichungswinkel vom Horizont FCA gleich sey. W. Z. E.

III. Wenn HC zwischen die Verticalfläche BC und die Polfläche IC fället, so daß der Winkel HCL grösser ist, als die Polhöhe ICL; so beschreibet oben eine Mittagsuhr, unten aber eine Mitternachtsuhr auf die Höhe des Aequatoris, welche dem Unterscheide zwischen der Höhe des Aequatoris in eurem Orte und der Abweichung vom Zenith HCB gleich ist. [Fig. 15]

Beweis.

Wenn HC für die Verticalfläche angenommen wird; so ist HCI der Höhe des Aequatoris gleich (§. 62. Astron.). Es ist aber ICB der Höhe des Aequatoris in eurem Orte gleich (§. cit.). Derowegen ist die Höhe des Aequatoris für die Uhr ICH der Unterscheid zwischen der Höhe des Aequatoris in eurem Orte ICB und der Abweichung von dem Zenith HCB. W. Z. E.

IV. Wenn KC zwischen die Horizontalfläche CL und die Polarfläche CI fället, daß der Winkel KCL kleiner ist als die Polhöhe ICL; so beschreibet eine Horizontaluhr für die Polhöhe, welche [553] dem Unterscheide zwischen der Höhe des Aequatoris in eurem Orte und der Abweichung vom Zenith KCB gleich ist. [Fig. 15]

Beweis.

Wenn KC für eine Horizontalfläche angenommen wird; so ist ICK die Polhöhe. Da nun ICB die Höhe des Aequatoris in dem gegebenen Orte ist (§. 62. Astron.); so ist klar, daß die Polhöhe auf der Uhr dem Unterscheide der Höhe des Aequatoris in einem Orte ICB und der Abweichung der Fläche von dem Zenith KCB gleich sey. W. Z. E.


Ende der Gnomonick.