Bemerkung zur Quaternionentheorie

Bemerkung zur Quaternionentheorie.

Von

O. Hölder.

Vorgelegt von H. A. Schwarz.

Für die Grundoperationen im Gebiete der reellen und der gewöhnlichen complexen, in der Form $x+yi$ enthaltenen Größen bestehen die Gesetze:

(1)	$\left\{{\begin{aligned}a+b&=b+a\\(a+b)+c&=a+(b+c)\\a\cdot b&=b\cdot a\\(ab)\cdot c&=a(bc)\\(a+b)\cdot c&=ac+bc.\end{aligned}}\right.$

Die umgekehrten Operationen, Subtraction und Division können hier übergangen werden. Das angegebene System ist vollständig. Bedeuten nämlich $a_{1},a_{2},\ldots a_{n}$ ganz willkürlich veränderliche Größen, und bildet man aus diesen unter Hinzunahme von einigen bestimmt gegebenen reellen Größen durch mehrfache Anwendung der Addition und Multiplication neue Größen, welche also Functionen von $a_{1},a_{2},\ldots a_{n}$ sind, so ist die fundamentale Frage die: Unter welcher Bedingung stimmen zwei solcher Functionen, die verschieden gebildet sind, für alle Werthe der Größen $a_{1},a_{2},\ldots a_{n}$ überein? Diese Frage ist gleichwerthig mit der folgenden: Wann ist eine solche Größe für alle Werthe von $a_{1},a_{2},\ldots a_{n}$ gleich Null? Dies ist dann und nur dann der Fall, wenn der fragliche Ausdruck vermöge der mit (1) bezeichneten Relationen identisch zu Null gemacht werden kann. Es ist wohl kaum hinzuzufügen, daß der Begriff „identisch“ hier nicht in dem sonst in der Algebra üblichen Sinn, sondern nur seinem rein logischen Inhalt nach zu nehmen ist.

Der Beweis der aufgestellten Behauptung ergiebt sich daraus, daß jeder durch Addition und Multiplication gebildete Ausdruck mit Hilfe der Gleichungen (1) geordnet werden kann, und daß der geordnete Ausdruck nach dem Cartesischen Satz nicht für alle Werthe der Veränderlichen gleich Null sein kann, ohne daß alle Coefficienten gleich Null sind.

In diesem Sinn besitzt also das System der Gleichungen (1) den Charakter der Vollständigkeit.

Betrachtet man jetzt die Hamilton’schen Quaternionen, so bleiben von den Gleichungen (1) nur die folgenden bestehen:

(2)	$\left\{{\begin{aligned}a+b&=b+a\\(a+b)+c&=a+(b+c)\\(ab)\cdot c&=a\cdot (bc)\\(a+b)\cdot c&=ac+bc.\end{aligned}}\right.$

Dazu muß wegen des Wegfalls des commutativen Gesetzes bei der Multiplication noch die Gleichung

(2)	$c(a+b)=ca+cb$

besonders hinzugefügt werden.

Es erhebt sich nun die Frage, ob dieses letzte Gleichungssystem für die Quaternionen in derselben Weise vollständig ist, wie das andere für die gewöhnlichen complexen Größen. Diese Frage ist zu verneinen.

Bedeuten $a_{1},a_{2},\ldots a_{n}$ Quaternionen, welche als willkürlich veränderlich gedacht werden, so mögen aus diesen wieder durch Addition und Multiplication zusammengesetzte Ausdrücke gebildet werden. Es ist vortheilhaft noch gewissen constante reelle Größen als Multiplicatoren mit hinzuzunehmen, man hat dann zugleich auch die Subtraction mit in den Kreis der Operationen eingeschlossen. Für die Multiplication der Quaternionen mit reellen Größen $p,q,$ hat man dann noch die Gleichungen hinzuzunehmen

(3)	${\begin{aligned}p(a+b)&=pa+pb\\(p+q)a&=pa+qa\\(pa)\cdot (qb)&=pq(ab)\\p\cdot (qa)&=(pq)\cdot a.\end{aligned}}$

Will man nun eine in der angegebenen Weise zusammengesetzte, von $a_{1},a_{2},\ldots a_{n}$ abhängende Quaternion darauf untersuchen, ob dieselbe für alle Werthe dieser Veränderlichen gleich Null ist, so hat man nur in die vier Bestandtheile aufzulösen. Jede Quaternion $a_{k}$ ist nichts anderes als ein Symbol

$a_{k}=\alpha _{k}i_{0}+\beta _{k}i_{1}+\gamma _{k}i_{2}+\delta _{k}i_{3},$

wo $\alpha _{k},\beta _{k},\gamma _{k},\delta _{k}$ reelle Größen sind, und wobei die Multiplication der Symbole durch die Multiplicationsformeln für die Einheiten

$i_{0}^{2}=i_{0},\quad i_{0}i_{1}=i_{1}i_{0}=i_{1},\quad i_{0}i_{2}=i_{2}i_{0}=i_{2},\quad i_{0}i_{3}=i_{3}i_{0}=i_{3},$ ${\begin{aligned}i_{1}^{2}&=-i_{0},&i_{2}^{2}&=-i_{0},&i_{3}^{2}=-i_{0},\\i_{1}i_{2}&=i_{3},&i_{2}i_{3}&=i_{1},&i_{3}i_{1}=i_{2}\\i_{2}i_{1}&=-i_{3},&i_{3}i_{2}&=-i_{1},&i_{1}i_{3}=-i_{2}\end{aligned}}$[1]

definirt ist. Löst man also die Quaternionen auf, so führen die Gleichungen (1) zum Ziel. Es ist aber nicht möglich, wie nachher gezeigt wird, die Untersuchungen dadurch schon zu führen, daß man, ohne die Quaternionen in ihre Bestandtheile aufzulösen, den betreffenden Quaternionenausdruck mit Hilfe der Gleichungen (2) und (3) identisch zu Null zu machen sucht.

Man kann dagegen die Frage aufwerfen, ob man den Gleichungen (2) noch eine oder mehrere Gleichungen hinzufügen kann, so daß das System dadurch ein im angegebenen Sinne vollständiges ist.

Die zu untersuchenden Ausdrücke sind nichts Anderes als ganze Functionen von Quaternionen mit reellen Coefficienten. Man setze jetzt für $a_{1},a_{2},\ldots a_{n}$ die Quaternionen

$t_{1}a_{1},t_{2}a_{2},\ldots t_{n}a_{n},$

wo $t_{1},t_{2},\ldots t_{n}$ beliebige reelle Größen sind, so kann man auch nach diesen letzteren ordnen. Wenn der Ausdruck für alle Werthe der $a_{1},\ldots a_{n}$, also auch der Größen $t$ verschwindet, ergiebt eine nähere Ueberlegung, daß die Quaternion verschwinden muß, welche mit dem Product

$t_{1}^{m_{1}}t_{2}^{m_{2}}\ldots t_{n}^{m_{n}}$

multiplicirt ist. Es muß also dann ein Ausdruck gleich Null sein in dessen sämmtlichen Gliedern $a_{1}$ genau $m_{1}$ Mal, $a_{2}$ genau $m_{2}$ Mal, $\ldots a_{n}$ genau $m_{n}$ Mal als Factor vorkommt. Es könnten also noch Gleichungen von folgender Form hinzukommen:

(4)	$\sum C_{s_{1}s_{2}\ldots s_{\nu }}a_{s_{1}}a_{s_{2}}\ldots a_{s_{\nu }}=0,$

wo die Größen $C_{s_{1}s_{2}\ldots s_{\nu }}$ reelle Coefficienten sind, und die Summe über gewisse Permutationen $s_{1},s_{2},\ldots s_{\nu }$ bestimmter Zahlen $r_{1},r_{2},\ldots r_{\nu }$ sich erstreckt. Die Zahlen $r$ sind aus der Reihe $1,2,\ldots n$ entnommen, und es können auch gleiche unter denselben sein.

Hier möge nur der Fall betrachtet werden, in welchem die Größen $r_{1},r_{2},\ldots r_{\nu }$ von einander verschieden sind; man könnte die andern Fälle auf diesen zurückführen, was hier nicht ausgeführt werden soll. Man denke sich jetzt

$\alpha _{r_{1}}i_{0}+\beta _{r_{1}}i_{1}+\gamma _{r_{1}}i_{2}+\delta _{r_{1}}i_{3}$

für $a_{r_{1}}$ eingesetzt und entsprechend mit den Quaternionen $a_{r_{2}},a_{r_{3}},\ldots a_{r_{\nu }}$ verfahren, dann kann man nach den Größen $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ ordnen. Mit dem Product

$\alpha _{r_{1}}\beta _{r_{2}}\gamma _{r_{3}}\alpha _{r_{4}}\ldots \alpha _{r_{\nu }},$

welches ich als Beispiel herausgreife, erscheint die Quaternion multiplicirt, welche aus dem Ausdruck (4) dadurch hervorgeht, daß die Einheiten

$i_{0},i_{1},i_{2},i_{0},\ldots i_{0}$

beziehungsweise für $a_{r_{1}},a_{r_{2}},a_{r_{3}},a_{r_{4}},\ldots a_{r_{\nu }}$ gesetzt werden.

Wenn die Gleichung (4)

$\sum C_{s_{1}s_{2}\ldots s_{\nu }}a_{s_{1}}a_{s_{2}}\ldots a_{s_{\nu }}=0$

bestehen soll, so muß dieselbe auch erfüllt sein, wenn für die Größen $a_{r_{1}},a_{r_{2}},\ldots a_{r_{\nu }}$ irgend welche Einheiten aus der Reihe

$i_{0},i_{1},i_{2},i_{3}$

gesetzt werden. Aus dem unmittelbar vorhergehenden folgt zugleich, daß es auch hinreicht, wenn die Gleichung bei jeder Wahl der Einheiten erfüllt ist.

In der That existiren solche Gleichungen. Es ist

(5)	$\sum \pm a_{s_{1}}a_{s_{2}}a_{s_{3}}a_{s_{4}}=0$

wenn die Summe über alle Permutationen $s_{1},s_{2},s_{3},s_{4}$ der Zahlen $1,2,3,4$ erstreckt wird, und dabei das obere oder untere Vorzeichen genommen wird, je nachdem die Substitution

${\begin{pmatrix}1&2&3&4\\s_{1}&s_{2}&s_{3}&s_{4}\end{pmatrix}}$

eine gerade oder eine ungerade ist. Setzt man auf der linken Seite der Gleichung (5) zwei der Quaternionen $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$ einander gleich, so heben sich je zwei Glieder gegeneinander auf, nämlich zwei solche, welche durch Vertauschung der beiden gleichgesetzten Größen aus einander hervorgehen. Um nun die Probe für die Richtigkeit der Gleichung (5) zu machen, setze man für $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$ irgend welche 4 aus den Einheiten $i_{0},i_{1},i_{2},i_{3}$. Nimmt man dabei zwei oder mehr gleiche Einheiten, so verschwindet nach dem Vorhergehenden der Ausdruck. Man hat also nur noch $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$ gleich einer Permutation von $i_{0},i_{1},i_{2},i_{3}$ zu setzen. Man setze zunächst $a_{1}=i_{0}$. Faßt man dabei allemal solche Glieder zusammen, in welchen die Buchstaben $a_{2},a_{3},a_{4}$ dieselbe Stellung zu einander einnehmen, so erhält man 6 Aggregate von je 4 Gliedern, z. B.

$a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}-a_{2}a_{1}a_{3}a_{4}+a_{2}a_{3}a_{1}a_{4}-a_{2}a_{3}a_{4}a_{1}.$

Da nun $a_{1}=i_{0}$ gesetzt ist, haben die 4 Glieder allemal denselben Werth, wenn man vom Vorzeichen absieht, und das Vorzeichen ist bei zwei Gliedern gleich und entgegengesetzt dem Vorzeichen der beiden andern. Es wird also der ganze Ausdruck Null. Dasselbe geschieht auch, wenn $a_{2},a_{3}$ oder $a_{4}$ gleich $i_{0}$ gesetzt wird.

Damit ist die Allgemeingiltigkeit der Gleichung (5) nachgewiesen. Entsprechend könnte man die entsprechende Gleichung

$\sum \pm a_{s_{1}}a_{s_{2}}a_{s_{3}}a_{s_{4}}a_{s_{5}}=0$

beweisen. Diese läßt sich übrigens direct aus der andern ableiten, indem man in dem neuen Ausdruck jedesmal solche Glieder zusammenfaßt, welche denselben äußersten Factor links besitzen. Dasselbe gilt von den Ausdrücken, welche analog aus mehr als fünf Quaternionen gebildet werden können.

Die Frage, ob das System der Gleichungen (2) durch die Gleichung (5) vollständig gemacht wird, bleibt noch offen.

Anmerkungen (Wikisource)

1. Dritte Zeile zweite Gleichung korrigiert. Vorlage: $i_{2}i_{2}=i_{1}$