Bemerkung zur Quaternionentheorie

aus Wikisource, der freien Quellensammlung
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Textdaten
Autor: Otto Hölder
Illustrator: {{{ILLUSTRATOR}}}
Titel: Bemerkung zur Quaternionentheorie
Untertitel:
aus: Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen: aus dem Jahre 1889, S. 34-38
Herausgeber:
Auflage:
Entstehungsdatum:
Erscheinungsdatum: 1889
Verlag: Dieterichsche Verlags-Buchhandlung
Drucker: {{{DRUCKER}}}
Erscheinungsort: Göttingen
Übersetzer:
Originaltitel:
Originalsubtitel:
Originalherkunft:
Quelle: GDZ , Commons
Kurzbeschreibung:
Wikipedia-logo-v2.svg Artikel in der Wikipedia
Eintrag in der GND: {{{GND}}}
Bild
Otto Hölder Bemerkung zur Quaternionentheorie 1889.pdf
Bearbeitungsstand
fertig
Fertig! Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle Korrektur gelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext.
Um eine Seite zu bearbeiten, brauchst du nur auf die entsprechende [Seitenzahl] zu klicken. Weitere Informationen findest du hier: Hilfe
Indexseite


Bemerkung zur Quaternionentheorie.
Von
O. Hölder.
Vorgelegt von H. A. Schwarz.

Für die Grundoperationen im Gebiete der reellen und der gewöhnlichen complexen, in der Form enthaltenen Größen bestehen die Gesetze:

(1)

Die umgekehrten Operationen, Subtraction und Division können hier übergangen werden. Das angegebene System ist vollständig. Bedeuten nämlich ganz willkürlich veränderliche Größen, und bildet man aus diesen unter Hinzunahme von einigen bestimmt gegebenen reellen Größen durch mehrfache Anwendung der Addition und Multiplication neue Größen, welche also Functionen von sind, so ist die fundamentale Frage die: Unter welcher Bedingung stimmen zwei solcher Functionen, die verschieden gebildet sind, für alle Werthe der Größen überein? Diese Frage ist gleichwerthig mit der folgenden: Wann ist eine solche Größe für alle Werthe von gleich Null? Dies ist dann und nur dann der Fall, wenn der fragliche Ausdruck vermöge der mit (1) bezeichneten Relationen identisch zu Null gemacht werden kann. Es ist wohl kaum hinzuzufügen, daß der Begriff „identisch“ hier nicht in dem sonst in der Algebra üblichen Sinn, sondern nur seinem rein logischen Inhalt nach zu nehmen ist.

Der Beweis der aufgestellten Behauptung ergiebt sich daraus, daß jeder durch Addition und Multiplication gebildete Ausdruck mit Hilfe der Gleichungen (1) geordnet werden kann, und daß der geordnete Ausdruck nach dem Cartesischen Satz nicht für alle Werthe der Veränderlichen gleich Null sein kann, ohne daß alle Coefficienten gleich Null sind.

In diesem Sinn besitzt also das System der Gleichungen (1) den Charakter der Vollständigkeit.

Betrachtet man jetzt die Hamilton’schen Quaternionen, so bleiben von den Gleichungen (1) nur die folgenden bestehen:

(2)

Dazu muß wegen des Wegfalls des commutativen Gesetzes bei der Multiplication noch die Gleichung

(2)

besonders hinzugefügt werden.

Es erhebt sich nun die Frage, ob dieses letzte Gleichungssystem für die Quaternionen in derselben Weise vollständig ist, wie das andere für die gewöhnlichen complexen Größen. Diese Frage ist zu verneinen.

Bedeuten Quaternionen, welche als willkürlich veränderlich gedacht werden, so mögen aus diesen wieder durch Addition und Multiplication zusammengesetzte Ausdrücke gebildet werden. Es ist vortheilhaft noch gewissen constante reelle Größen als Multiplicatoren mit hinzuzunehmen, man hat dann zugleich auch die Subtraction mit in den Kreis der Operationen eingeschlossen. Für die Multiplication der Quaternionen mit reellen Größen hat man dann noch die Gleichungen hinzuzunehmen

(3)

Will man nun eine in der angegebenen Weise zusammengesetzte, von abhängende Quaternion darauf untersuchen, ob dieselbe für alle Werthe dieser Veränderlichen gleich Null ist, so hat man nur in die vier Bestandtheile aufzulösen. Jede Quaternion ist nichts anderes als ein Symbol

wo reelle Größen sind, und wobei die Multiplication der Symbole durch die Multiplicationsformeln für die Einheiten

[1]

definirt ist. Löst man also die Quaternionen auf, so führen die Gleichungen (1) zum Ziel. Es ist aber nicht möglich, wie nachher gezeigt wird, die Untersuchungen dadurch schon zu führen, daß man, ohne die Quaternionen in ihre Bestandtheile aufzulösen, den betreffenden Quaternionenausdruck mit Hilfe der Gleichungen (2) und (3) identisch zu Null zu machen sucht.

Man kann dagegen die Frage aufwerfen, ob man den Gleichungen (2) noch eine oder mehrere Gleichungen hinzufügen kann, so daß das System dadurch ein im angegebenen Sinne vollständiges ist.

Die zu untersuchenden Ausdrücke sind nichts Anderes als ganze Functionen von Quaternionen mit reellen Coefficienten. Man setze jetzt für die Quaternionen

wo beliebige reelle Größen sind, so kann man auch nach diesen letzteren ordnen. Wenn der Ausdruck für alle Werthe der , also auch der Größen verschwindet, ergiebt eine nähere Ueberlegung, daß die Quaternion verschwinden muß, welche mit dem Product

multiplicirt ist. Es muß also dann ein Ausdruck gleich Null sein in dessen sämmtlichen Gliedern genau Mal, genau Mal, genau Mal als Factor vorkommt. Es könnten also noch Gleichungen von folgender Form hinzukommen:

(4)

wo die Größen reelle Coefficienten sind, und die Summe über gewisse Permutationen bestimmter Zahlen sich erstreckt. Die Zahlen sind aus der Reihe entnommen, und es können auch gleiche unter denselben sein.

Hier möge nur der Fall betrachtet werden, in welchem die Größen von einander verschieden sind; man könnte die andern Fälle auf diesen zurückführen, was hier nicht ausgeführt werden soll. Man denke sich jetzt

für eingesetzt und entsprechend mit den Quaternionen verfahren, dann kann man nach den Größen ordnen. Mit dem Product

welches ich als Beispiel herausgreife, erscheint die Quaternion multiplicirt, welche aus dem Ausdruck (4) dadurch hervorgeht, daß die Einheiten

beziehungsweise für gesetzt werden.

Wenn die Gleichung (4)

bestehen soll, so muß dieselbe auch erfüllt sein, wenn für die Größen irgend welche Einheiten aus der Reihe

gesetzt werden. Aus dem unmittelbar vorhergehenden folgt zugleich, daß es auch hinreicht, wenn die Gleichung bei jeder Wahl der Einheiten erfüllt ist.

In der That existiren solche Gleichungen. Es ist

(5)

wenn die Summe über alle Permutationen der Zahlen erstreckt wird, und dabei das obere oder untere Vorzeichen genommen wird, je nachdem die Substitution

eine gerade oder eine ungerade ist. Setzt man auf der linken Seite der Gleichung (5) zwei der Quaternionen einander gleich, so heben sich je zwei Glieder gegeneinander auf, nämlich zwei solche, welche durch Vertauschung der beiden gleichgesetzten Größen aus einander hervorgehen. Um nun die Probe für die Richtigkeit der Gleichung (5) zu machen, setze man für irgend welche 4 aus den Einheiten . Nimmt man dabei zwei oder mehr gleiche Einheiten, so verschwindet nach dem Vorhergehenden der Ausdruck. Man hat also nur noch gleich einer Permutation von zu setzen. Man setze zunächst . Faßt man dabei allemal solche Glieder zusammen, in welchen die Buchstaben dieselbe Stellung zu einander einnehmen, so erhält man 6 Aggregate von je 4 Gliedern, z. B.

Da nun gesetzt ist, haben die 4 Glieder allemal denselben Werth, wenn man vom Vorzeichen absieht, und das Vorzeichen ist bei zwei Gliedern gleich und entgegengesetzt dem Vorzeichen der beiden andern. Es wird also der ganze Ausdruck Null. Dasselbe geschieht auch, wenn oder gleich gesetzt wird.

Damit ist die Allgemeingiltigkeit der Gleichung (5) nachgewiesen. Entsprechend könnte man die entsprechende Gleichung

beweisen. Diese läßt sich übrigens direct aus der andern ableiten, indem man in dem neuen Ausdruck jedesmal solche Glieder zusammenfaßt, welche denselben äußersten Factor links besitzen. Dasselbe gilt von den Ausdrücken, welche analog aus mehr als fünf Quaternionen gebildet werden können.

Die Frage, ob das System der Gleichungen (2) durch die Gleichung (5) vollständig gemacht wird, bleibt noch offen.

Anmerkungen (Wikisource)

  1. Dritte Zeile zweite Gleichung korrigiert. Vorlage: