David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie/Kapitel 7.17

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David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie (1932) von David Hilbert 7.17 Die Existenz der Geschlechter im quadratischen Körper.

7.18 Die Existenz der Geschlechter im quadratischen Körper. →

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17. Die Geschlechter im quadratischen Körper und ihre Charakterensysteme.

§ 64. Das Symbol $\left({\frac {n,\ m}{w}}\right)$.

Bei der weiteren Entwickelung der Theorie der quadratischen Körper, insbesondere behufs einer gewissen Einteilung der Idealklassen eines und desselben Körpers, bedienen wir uns eines neuen Symbols. Sind $n$, $m$ ganze rationale Zahlen, dabei $m$ nicht Quadratzahl, und ist $w$ eine beliebige rationale Primzahl, so bezeichne das Symbol $\textstyle \left({\frac {n,\,m}{w}}\right)$ den Wert $+1$, sobald die Zahl $n$ mit der Norm einer ganzen Zahl des durch ${\sqrt {m}}$ bestimmten quadratischen Körpers $k\left({\sqrt {m}}\right)$ kongruent ist nach der Primzahl $w$, und sobald außerdem auch für jede höhere Potenz von $w$ eine ganze Zahl in $k\left({\sqrt {m}}\right)$ existiert, deren Norm der Zahl $n$ nach jener Potenz von $w$ kongruent ist; in jedem anderen Falle setzen wir $\textstyle \left({\frac {n,\,m}{w}}\right)=-1$. Diejenigen ganzen rationalen Zahlen $n$, für welche $\textstyle \left({\frac {n,\,m}{w}}\right)=+1$ ist, sollen Normenreste des Körpers $k\left({\sqrt {m}}\right)$ nach $w$ diejenigen Zahlen $n$, für welche $\textstyle \left({\frac {n,\,m}{w}}\right)=-1$ ist, Normennichtreste des Körpers $k\left({\sqrt {m}}\right)$ nach $w$ heißen. Ist $m$ eine Quadratzahl, so werde unter $\textstyle \left({\frac {n,\,m}{w}}\right)$ stets $+1$ verstanden. Über die zur Berechnung dienenden Eigenschaften des Symbols $\textstyle \left({\frac {n,\,m}{w}}\right)$ gibt der folgende Satz Aufschluß:

Satz 98. Bedeuten $n$ und $m$ ganze rationale, nicht durch $w$ teilbare Zahlen, so gelten folgende Regeln:

für ungerade Primzahlen $w$ wird

$\left({\frac {n,\,m}{w}}\right)=+1,$

$(a')$

$\left({\frac {n,\,w}{w}}\right)=\left({\frac {w,\,n}{w}}\right)=\left({\frac {n}{w}}\right)$;

$(a'')$

für $w=2$ wird

$\left({\frac {n,\,m}{2}}\right)=\left(-1\right)^{{\frac {n-1}{2}}\cdot {\frac {m-1}{2}}}$,

$(b')$

$\left({\frac {n,\,2}{2}}\right)=\left({\frac {2,\,n}{2}}\right)=\left(-1\right)^{\frac {n^{2}-1}{8}}$.

$(b'')$

Ferner gelten allgemein für beliebige ganze rationale Zahlen $n$, $n'$, $m$, $m'$ und in bezug auf jede Primzahl $w$ die Formeln:

$\left({\frac {-m,\,m}{w}}\right)=+1$,

$(c')$

$\left({\frac {n,\,m}{w}}\right)=\left({\frac {m,\,n}{w}}\right)$,

$(c'')$

$\left({\frac {nn',m}{w}}\right)=\left({\frac {n,m}{w}}\right)\left({\frac {n',m}{w}}\right),$

$(c''')$

$\left({\frac {n,\,mm'}{w}}\right)=\left({\frac {n,\,m}{w}}\right)\left({\frac {n,\,m'}{w}}\right)$.

$(c'''')$

Beweis. Zunächst ist folgende Tatsache selbstverständlich: Wenn $n$ selbst Norm einer ganzen Zahl im Körper $k\left({\sqrt {m}}\right)$ ist, so gilt $\textstyle \left({\frac {n,\,m}{w}}\right)=+1$. Da insbesondere $-m$ die Norm von ${\sqrt {m}}$ ist, so folgt daraus die Richtigkeit der Formel $(c')$. Sind ferner $n$ und $n'$ zwei ganze rationale Zahlen $\neq 0$, deren Quotient die Norm einer ganzen oder gebrochenen Zahl in $\textstyle k\left({\sqrt {m}}\right)$ ist, so folgt $\textstyle \left({\frac {n,\,m}{w}}\right)=\left({\frac {n',\,m}{w}}\right)$ aus der Definition dieser Symbole. Ist der Quotient $\textstyle {\frac {n}{n'}}$ das Quadrat einer rationalen Zahl, so ergibt sich insbesondere die einfache Tatsache, daß der Wert des Symbols $\textstyle \left({\frac {n,\,m}{w}}\right)$ ungeändert bleibt, wenn man in $n$ eine Quadratzahl als Faktor zusetzt oder einen darin vielleicht vorhandenen solchen Faktor unterdrückt. Wir nehmen im folgenden der Einfachheit halber an, daß weder $n$ noch $m$ durch das Quadrat einer Primzahl teilbar ist.

Um die Richtigkeit des ganzen Formelsystems zu erkennen, behandeln wir der Reihe nach die folgenden drei Fälle:

     1. Es sei $w$ eine ungerade, in $m$ aufgehende Primzahl.

Ist $n$ nicht auch durch $w$ teilbar, so wird offenbar die Kongruenz

$4n\equiv (2x+y)^{2}-my^{2}$ bez. $n\equiv x^{2}-my^{2}$, $(w)$,

(22)

in ganzen rationalen Zahlen $x$, $y$ dann und nur dann lösbar sein, wenn $\textstyle \left({\frac {n}{w}}\right)=+1$ ist. Umgekehrt, wenn die letztere Bedingung statthat, so ist die Kongruenz $n\equiv x^{2}$ auch nach jeder Potenz von $w$ lösbar, und mithin gilt das nämliche offenbar von der Kongruenz (22). Unter den gemachten Annahmen ist daher $\textstyle \left({\frac {n,\,m}{w}}\right)=\left({\frac {n}{w}}\right)$.

Wird andererseits auch $n$ teilbar durch $w$ vorausgesetzt, so folgt:

$\left({\frac {n,\,m}{w}}\right)=\left({\frac {-nm,\,m}{w}}\right)=\left({\frac {-{\frac {nm}{w^{2}}},\,m}{w}}\right)=\left({\frac {-{\frac {nm}{w^{2}}}}{w}}\right)$.

     2. Es sei $w$ eine ungerade, in $m$ nicht aufgehende Primzahl.

Ist auch $n$ nicht durch $w$ teilbar, so hat die Kongruenz $n\equiv x^{2}-my^{2}$ nach $w$ stets Lösungen. Denn die rechte Seite dieser Kongruenz ergibt für die Systeme $\textstyle x=1$, $2$, …, ${\frac {w-1}{2}}$, $y=0$ sämtliche quadratischen Reste und im Falle

$\left({\frac {-m}{w}}\right)=+1$

für die Systeme $x=0$, $y=1$, $2$, …, $\textstyle {\frac {w-1}{2}}$ sämtliche quadratischen Nichtreste nach $w$. Hat man dagegen $\textstyle \left({\frac {-m}{w}}\right)=+1$, und ist etwa $a$ der kleinste positive quadratische Nichtrest für die Primzahl $w$, so sei $y=b$ eine Wurzel der alsdann gewiß lösbaren Kongruenz $-my^{2}\equiv a-1$ nach $w$; wegen $a\equiv 1-mb^{2}$ nach $w$ stellt dann die Form $x^{2}-m(bx)^{2}$ für $x=1$, $2$, …, $\textstyle {\frac {w-1}{2}}$ die sämtlichen quadratischen Nichtreste nach $w$ dar. Aus der Lösbarkeit der Kongruenz $n\equiv x^{2}-my^{2}$ nach $w$ folgt leicht, daß diese Kongruenz auch nach jeder Potenz von $w$ lösbar ist, d. h. es wird unter den gegenwärtigen Annahmen

$\left({\frac {n,\,m}{w}}\right)=+1$.

Setzen wir andererseits $n$ durch $w$ teilbar voraus, aber der anfänglichen Festsetzung zufolge nicht teilbar durch $w^{2}$, so würde eine Auflösung der Kongruenz $n\equiv x^{2}-my^{2}$ nach $w^{2}$ in $\alpha =x-{\sqrt {m}}y$ eine solche ganze Zahl des Körpers $k\left({\sqrt {m}}\right)$ darbieten, für welche die Norm $\alpha \cdot s\alpha =n(\alpha )$ nur $w$, aber nicht $w^{2}$ als Faktor enthielte, d. h. $w$ zerfiele im Körper $k\left({\sqrt {m}}\right)$ in zwei voneinander verschiedene Primideale ${\mathfrak {w}}$ und ${\mathfrak {w}}'$; die notwendige Bedingung hierfür ist nach

Satz 97: $\textstyle \left({\frac {m}{w}}\right)=+1$. Umgekehrt, wenn diese Bedingung erfüllt ist, so ist in der Tat $w$ im Körper $k\left({\sqrt {m}}\right)$ ein Produkt ${\mathfrak {ww}}'$ zweier verschiedener Primideale. Bezeichnet dann $\alpha$ eine ganze Zahl in $k\left({\sqrt {m}}\right)$, welche durch $w$, aber weder durch ${\mathfrak {w}}^{2}$ noch durch ${\mathfrak {w}}'$ teilbar ist, so folgt:

$\left({\frac {n,\,m}{w}}\right)=\left({\frac {n\cdot n(\alpha ),\,m}{w}}\right)=\left({\frac {{\frac {n\cdot n(\alpha )}{w^{2}}},\,m}{w}}\right)=+1$.

Damit ist bewiesen, daß unter der gegenwärtigen Annahme stets $\textstyle \left({\frac {n,\,m}{w}}\right)=\left({\frac {m}{w}}\right)$ ist.

Die bisher gewonnenen Resultate lassen unmittelbar die Richtigkeit der Formeln $(a')$‚ $(a'')$ erkennen; ferner ergeben sie für ungerade Primzahlen $w$ vollständig die Formeln $(c'')$‚ $(c''')$‚ wenn man der Reihe nach die verschiedenen möglichen Fälle in Hinsicht auf Teilbarkeit oder Nichtteilbarkeit der Zahlen $n$, $n'$, $m$ durch $w$ in Betracht zieht.

     3. Im Falle $w=2$ stellen wir zunächst folgende Betrachtung an: Es sei $f(x,\,y)$ eine ganzzahlige homogene Funktion zweiten Grades von $x$, $y$ und $n$ eine ungerade ganze rationale Zahl; wenn die Kongruenz $n\equiv f(x,\,y)$ nach $2^{3}$ durch ganze rationale Zahlen $x$, $y$ lösbar ist, so ist diese Kongruenz auch nach jeder höheren Potenz $2^{e+1}(e\geqq 3)$ lösbar. Wir beweisen dies durch einen Schluß von $e$ auf $e+1$. Es seien $a$, $b$ zwei ganze rationale Zahlen, für welche $n\equiv f(a,\,b)$ nach $2^{e}$ gilt, wobei der Exponent $e\geqq 3$ sei. Ist dann nicht auch zugleich $n\equiv f(a,\,b)$ nach $2^{e+1}$, sondern vielmehr $n\equiv f(a,\,b)+2^{e}$ nach $2^{e+1}$, so bestimmen wir, was wegen $e\geqq 3$ angängig ist, eine ganze rationale Zahl $c$ derart, daß $c^{2}\equiv 1+2^{e}$ nach $2^{e+1}$ ist; dann wird

$f(ca,\,cb)=c^{2}f(a,\,b)\equiv f(a,\,b)+2^{e}f(a,\,b)\equiv f(a,\,b)+2^{e}\equiv n,\,(2^{e+1})$,

und hiermit ist die Behauptung bewiesen.

Um nun zunächst für ein ungerades $n$ das Symbol $\textstyle \left({\frac {n,\,m}{2}}\right)$ zu bestimmen, müssen wir untersuchen, für welche zusammengehörigen Werte von $n$ und $m$ die Kongruenzen

${\begin{aligned}n\equiv x^{2}+xy-{\frac {m-1}{4}}y^{2},&\mathrm {\quad bez.\quad } &n\equiv x^{2}-my^{2},\,(2^{3})\\((m\equiv 1,\,(4))&&((m\equiv 2,\,3,\,(4))\end{aligned}}$

(23)

lösbar sind. Eine kurze Rechnung liefert folgende Tabelle, in welcher unter der Rubrik $m$ die sechs hier in Frage kommenden Reste von $m$ nach $2^{3}$ und unter der Rubrik $n$ diejenigen ungeraden Reste von $n$ nach $2^{3}$ verzeichnet stehen, für welche jedesmal die zugehörige Kongruenz (23) nach $2^{3}$ lösbar ist.

$m$	$n$
1	1, 3, 5, 7
2	1, 7
3	1, 5
5	1, 3, 5, 7
6	1, 3
7	1, 5

Diese Tabelle lehrt für den Fall, daß $n$, $m$ ungerade sind, die Richtigkeit der Gleichung $(b')$; und für den Fall, daß $n$ ungerade und $m$ gerade, $=2m'$, ist, entspringt aus ihr:

$\left({\frac {n,\,2m'}{2}}\right)=(-1)^{{\frac {n^{2}-1}{8}}+{\frac {n-1}{2}}\cdot {\frac {m'-1}{2}}}$.

Ist andererseits $n$ gerade, $=2n'$‚ und $m$ ungerade, so haben wir die beiden Fälle $m\equiv 1$ und $m\equiv 3$ nach $4$ zu unterscheiden. Im ersteren Falle muß die Zahl $2$ im Körper $k\left({\sqrt {m}}\right)$ jedenfalls das Produkt zweier verschiedener Primideale sein, sobald $n=2n'$ Normenrest nach 2 in $k\left({\sqrt {m}}\right)$ sein soll, d. h. es muß $\textstyle \left({\frac {m}{2}}\right)=+1$ sein. Ist diese Bedingung erfüllt, so kann man stets in $k\left({\sqrt {m}}\right)$ eine Zahl $\alpha$ finden, für welche die Norm $n(\alpha )$ durch $2$, aber nicht durch $4$ teilbar ist; dann folgt:

$\left({\frac {2n',\,m}{2}}\right)=\left({\frac {2n\cdot n(\alpha ),\,m}{2}}\right)=\left({\frac {{\frac {n'\cdot n(\alpha )}{2}},\,m}{2}}\right)$,

und dieses letztere Symbol ist nach Formel $(b')$ gleich $+1$; mithin gilt in diesem Falle die Formel:

$\left({\frac {2n',\,m}{2}}\right)=\left({\frac {m}{2}}\right)=(-1)^{\frac {m^{2}-1}{8}}$.

In dem anderen Falle, $m\equiv 3$ nach $4$, hängt der Wert des fraglichen Symbols von der Lösbarkeit der Kongruenz $2n'\equiv x^{2}-my^{2}$ nach beliebig hohen Potenzen $2^{e}$ ab, und jede solche Kongruenz ist, wie man leicht sieht, dann und nur dann lösbar, wenn die Kongruenz $m\equiv x^{2}-2n'y^{2}$ nach der nämlichen Potenz $2^{e}$ lösbar ist; also findet man hier:

$\left({\frac {2n',\,m}{2}}\right)=\left({\frac {m,\,2n'}{2}}\right)$.

Sind endlich die Zahlen $n$ und $m$ beide durch $2$ teilbar, und ist $n=2n'$ und $m=2m'$, so gilt die Formel:

$\left({\frac {2n',\,2m'}{2}}\right)=\left({\frac {-2^{2}n'm',\,2m'}{2}}\right)=\left({\frac {-n'm',\,2m'}{2}}\right)$.

Aus den gewonnenen Resultaten folgt unmittelbar die Formel (b″); zugleich erkennen wir, daß die Formeln (c″)‚ (c⁗) auch für $w=2$ gültig sind. Die Formel (c⁗) folgt allgemein durch Verbindung von (c‴) mit (c″). Damit ist der Beweis des Satzes 98 in allen Teilen erbracht.

Aus den Formeln (a′), (a″)‚ (b′), (b″) in Satz 98 läßt sich folgende Tatsache ableiten:

Wenn man ein vollständiges System zu $w$ primer und nach $w^{e}$ inkongruenter Zahlen ins Auge faßt, wo $e\geqq 1$ und im Falle $w=2$ sogar $e>2$ sei, so sind entweder alle diese Zahlen Normenreste des quadratischen Körpers $k({\sqrt {m}})$ nach $w$ oder nur die Hälfte, je nachdem $w$ zu der Diskriminante von $k({\sqrt {m}})$ prim ist oder nicht.

§ 65. Das Charakterensystem eines Ideals.

Wir bezeichnen die verschiedenen in der Diskriminante des Körpers $k({\sqrt {m}})$ aufgehenden rationalen Primzahlen, deren Anzahl $t$ sei, mit $l_{1}$, …, $l_{t}$. Zu einer jeden beliebigen ganzen rationalen Zahl $a$ gehören dann ganz bestimmte Werte ($=+1$ oder $-1$) der $t$ einzelnen Symbole

$\left({\frac {a,\,m}{l_{1}}}\right)$, …, $\left({\frac {a,\,m}{l_{t}}}\right)$,

deren Bedeutung aus dem vorigen Paragraphen zu ersehen ist; diese $t$ Einheiten $\pm 1$ sollen das Charakterensystem der Zahl $a$ im Körper $k({\sqrt {m}})$ heißen. Um auch einem jeden Ideal ${\mathfrak {a}}$ des Körpers $k({\sqrt {m}})$ in bestimmter Weise ein Charakterensystem zuzuordnen, unterscheiden wir die zwei Fälle, ob $k$ ein imaginärer oder ein reeller Körper ist. Im ersteren Falle sind die Normen von Zahlen in $k({\sqrt {m}})$ stets positiv; wir setzen $r=t$, ${\overline {n}}=+n({\mathfrak {a}})$ und bezeichnen die $r$ Einheiten

$\left({\frac {{\overline {n}},\,m}{l_{1}}}\right)$, …, $\left({\frac {{\overline {n}},\,m}{l_{r}}}\right)$

(24)

als das Charakterensystem des Ideals ${\mathfrak {a}}$; dasselbe ist durch das Ideal ${\mathfrak {a}}$ völlig eindeutig bestimmt. Im zweiten Falle bilden wir zunächst das Charakterensystem der Zahl $-1$:

$\left({\frac {-1,\,m}{l_{1}}}\right)$, …, $\left({\frac {-1,\,m}{l_{t}}}\right)$.

(25)

Fallen diese $t$ Einheiten sämtlich gleich $+1$ aus, so setzen wir wie im ersteren Falle ${\bar {n}}=+n({\mathfrak {a}})$, $r=t$ und bezeichnen wieder die $r$ Einheiten (24) als das Charakterensystem des Ideals ${\mathfrak {a}}$. Kommt dagegen unter den $t$ Charakteren (25) die Einheit $-1$ vor, so nehmen wir an, es sei etwa $\left({\frac {-1,\,m}{l_{t}}}\right)=-1$, und setzen $r=t-1$ und ${\bar {n}}=\pm n({\mathfrak {a}})$ mit solchem Vorzeichen $\pm$, daß $\left({\frac {{\bar {n}},\,m}{l_{t}}}\right)=+1$ wird, und nennen die bei dieser Annahme von $r$ und ${\bar {n}}$ entspringenden $r$ Einheiten (24) das Charakterensystem des Ideals ${\mathfrak {a}}$. Bei den so getroffenen Festsetzungen wird der folgende Satz 99 sich ergeben.

§ 66. Das Charakterensystem einer Idealklasse und der Begriff des Geschlechts.

Satz 99. Die Ideale einer und derselben Klasse im Körper $k({\sqrt {m}})$ besitzen alle dasselbe Charakterensystem.

Beweis. Gehören die Ideale ${\mathfrak {a}}$ und ${\mathfrak {a}}'$ in $k({\sqrt {m}})$ zu einer und derselben Idealklasse, so existiert eine ganze oder gebrochene Zahl $\alpha$ in $k({\sqrt {m}})$ von der Art, daß ${\mathfrak {a}}'=\alpha {\mathfrak {a}}$ wird. Alsdann ist $n({\mathfrak {a}}')=\pm n(\alpha )n({\mathfrak {a}})$, wo $\pm$ das Vorzeichen von $n(\alpha )$ bedeutet, und es wird daher:

$\left({\frac {n({\mathfrak {a}}'),\,m}{l}}\right)=\left({\frac {\pm n({\mathfrak {a}}),\,m}{l}}\right)$

für $l=l_{1},\,\ldots ,\,l_{t}$. Mit Rücksicht auf die Festsetzungen in § 65 erhält man sogleich den Satz 99.

Auf diese Weise ist einer jeden Idealklasse ein bestimmtes Charakterensystem zugeordnet. Wir rechnen nun alle diejenigen Idealklassen, welche ein und dasselbe Charakterensystem besitzen, in ein Geschlecht und definieren insbesondere das Hauptgeschlecht als die Gesamtheit aller derjenigen Klassen, deren Charakterensystem aus lauter positiven Einheiten besteht. Da das Charakterensystem der Hauptklasse offenbar von der letzteren Eigenschaft ist, so gehört die Hauptklasse stets zum Hauptgeschlecht. Aus der Formel (c‴) auf S. 162 entnehmen wir leicht die Tatsache, daß die Multiplikation der Idealklassen zweier Geschlechter die Idealklassen eines Geschlechtes liefert, dessen Charakterensystem durch Multiplikation der entsprechenden Charaktere beider Geschlechter erhalten wird. Im besonderen folgt, daß das Charakterensystem des Quadrates einer Idealklasse aus einem ganz beliebigen Geschlecht stets aus lauter positiven Einheiten besteht und mithin das Quadrat einer jeden Idealklasse stets dem Hauptgeschlecht angehört.

Jedes Geschlecht enthält offenbar gleich viel Klassen.

§ 67. Der Fundamentalsatz über die Geschlechter des quadratischen Körpers.

Es entsteht nun die Frage, ob ein jedes beliebige System von $r$ Einheiten $\pm 1$ das Charakterensystem eines Geschlechtes des Körpers $k({\sqrt {m}})$ sein kann. Die Beantwortung dieser Frage ist für die Theorie der quadratischen Körper von grundlegender Bedeutung; sie ist in folgendem Satz enthalten, dessen Beweis uns bis zum § 78 beschäftigen wird:

Satz 100. Ein beliebig vorgelegtes System von $r$ Einheiten $\pm 1$ ist dann und nur dann Charakterensystem eines Geschlechtes des Körpers $k({\sqrt {m}})$‚ wenn das Produkt der sämtlichen $r$ Einheiten $=+1$ ist. Die Anzahl der im Körper $k({\sqrt {m}})$ vorhandenen Geschlechter ist daher gleich $2^{r-1}$ [Gauss (1^[1])].

§ 68. Ein Hilfssatz über diejenigen quadratischen Körper, deren Diskriminanten nur durch eine einzige Primzahl teilbar sind.

Um uns dem durch den Satz 100 gesteckten Ziele zu nähern, beweisen wir zunächst folgenden Hilfssatz:

Hilfssatz 13. Wenn in der Diskriminante eines quadratischen Körpers $k=k({\sqrt {m}})$ nur eine einzige rationale Primzahl $l$ aufgeht, so ist die Anzahl der Idealklassen in $k$ ungerade. Das Charakterensystem besteht für den Körper $k$ aus dem einen, auf die Primzahl $l$ bezüglichen Charakter; dieser Charakter ist stets $=+1$, d. h. es gibt im Körper $k$ nur ein Geschlecht: das Hauptgeschlecht.

Beweis. Wir bezeichnen mit $s$ diejenige Substitution für die Zahlen des Körpers $k$, welche aus ihnen die Konjugierten entstehen läßt. Es bedeute im Falle $m>0$ wieder $\epsilon$ eine Grundeinheit des Körpers $k$, eine ebensolche Einheit stellen $-\epsilon ,{\frac {1}{\epsilon }},-{\frac {1}{\epsilon }}$ vor; wir beweisen dann zunächst, daß bei der im Hilfssatze gemachten Voraussetzung notwendig $n(\epsilon )=\epsilon \cdot s\epsilon =-1$ ausfallen muß. In der Tat, nehmen wir an, es wäre $n(\epsilon )=+1$, so könnte man nach Satz 90 eine ganze Zahl $\alpha$ des Körpers $k$ finden derart, daß man $\epsilon ={\frac {\alpha }{s\alpha }}$ hätte; dann folgt $\alpha =\epsilon \cdot s\alpha$, d. h. jeder in $\alpha$ aufgehende ideale Primfaktor ginge auch in $s\alpha$ auf. Da für $m>0$ unter der im Hilfssatze gemachten Voraussetzung ${\sqrt {m}}$ der einzige, seinem konjugierten gleiche und nicht zugleich rationale Primfaktor in $k$ ist, so muß entweder $\alpha =\eta a$ oder $=\eta {\sqrt {m}}a$ sein, wo $\eta$ eine Einheit und $a$ eine ganze rationale positive oder negative Zahl bedeutet; hieraus würde $\epsilon =\pm \eta ^{1-s}=\pm \eta ^{2}$ hervorgehen, und dies widerspräche der Annahme, daß $\epsilon$ eine Grundeinheit des Körpers $k$ ist.

Nunmehr gehen wir dazu über, den ersten Teil des Hilfssatzes zu beweisen. Wäre für den Körper $k$ die Klassenanzahl $h$ eine gerade Zahl, so müßte es nach Satz 57 in $k$ ein nicht zur Hauptklasse gehöriges Ideal ${\mathfrak {j}}$ geben derart, daß ${\mathfrak {j}}^{2}\sim 1$ ist; wegen ${\mathfrak {j}}\cdot s{\mathfrak {j}}\sim 1$ würde hieraus ${\mathfrak {j}}\sim s{\mathfrak {j}}$ folgen. Setzen wir ${\mathfrak {j}}=\alpha \cdot s{\mathfrak {j}}$ oder ${\mathfrak {j}}^{1-s}=\alpha$, so ist $\alpha$ eine Zahl in $k$, deren Norm $n(\alpha )=\pm 1$ sein muß. Im Falle, daß hier das positive Vorzeichen statthätte, setze man $\beta =\alpha$; der andere Fall ist von vornherein nur bei einem reellen Körper denkbar; wir setzen dann $\beta =\varepsilon \alpha$, wo $\varepsilon$, wie vorhin, die Grundeinheit in $k$ bedeutet. Unter den getroffenen Festsetzungen hätte man jedesmal $n(\beta )=+1$, und mithin wäre nach Satz 90 stets ${\frac {1}{\beta }}=\gamma ^{1-s}$, wo $\gamma$ eine ganze Zahl in $k$ bezeichnet. Aus $\alpha ={\mathfrak {j}}^{1-s}$ entstünde dann $(\gamma {\mathfrak {j}})^{1-s}=1$, d. h. $(\gamma ){\mathfrak {j}}=s(\gamma {\mathfrak {j}})$, und hieraus würde, ähnlich wie vorhin, folgen, daß das Ideal $(\gamma ){\mathfrak {j}}$ entweder $=(a)$ oder $=(a){\mathfrak {l}}$ sein muß, wo $a$ eine ganze rationale Zahl und ${\mathfrak {l}}$ den einzigen in $k$ vorhandenen, seinem Konjugierten gleichen und nicht zugleich rationalen Primfaktor bezeichnet. Nun ist für $m\neq -1$ dieser Primfaktor ${\mathfrak {l}}={\sqrt {m}}$ und für $m=-1$ offenbar ${\mathfrak {l}}=1+{\sqrt {-1}}$, also stets ${\mathfrak {l}}\sim 1$; somit würde ${\mathfrak {j}}\sim 1$ folgen, was der über ${\mathfrak {j}}$ gemachten Annahme zuwiderläuft.

Ist $k$ ein reeller Körper, so folgt zugleich aus $n(\varepsilon )=-1$, daß

$\left({\frac {-1,m}{l}}\right)=+1$

ist, und es besteht mithin gemäß § 65 in jedem Falle das Charakterensystem für ein Ideal ${\mathfrak {j}}$ im Körper $k$ aus der einen Einheit $\left({\frac {+n({\mathfrak {j}}),m}{l}}\right)$; dieser eine Charakter ist für jedes Ideal ${\mathfrak {j}}$ in $k$ gleich $+1$, da sonst die Gesamtheit der Idealklassen von $k$ in zwei Geschlechter zerfiele und somit die Klassenanzahl $h$ gerade sein müßte.

Der eben bewiesene Hilfssatz 13 zeigt die Richtigkeit des Fundamentalsatzes 100 im einfachsten Falle, nämlich für diejenigen quadratischen Körper, deren Diskriminante $d$ nur eine einzige rationale Primzahl enthält.

§ 69. Das Reziprozitätsgesetz für quadratische Reste. Ein Hilfssatz über das Symbol $\left({\frac {n,m}{w}}\right)$.

Satz 101. Sind $p$, $q$ rationale positive, voneinander verschiedene, ungerade Primzahlen, so gilt die Regel:

$\left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}\cdot {\frac {q-1}{2}}}$

das sogenannte Reziprozitätsgesetz für quadratische Reste. Überdies gelten die folgenden Regeln:

$\left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p-1}{2}}$, $\left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}$,

die sogenannten Ergänzungssätze zum quadratischen Reziprozitätagesetz [Gauss (1^[1])].

Beweis. Ist $k({\sqrt {m}})$ ein Körper, dessen Diskriminante nur eine Primzahl $l$ enthält, und bedeutet $n$ die Norm eines Ideals in diesem Körper $k$, so ist nach dem Hilfssatze 13 stets $\left({\frac {n,\,m}{l}}\right)=+1$. Nun ist nach Satz 96 oder 97 insbesondere jede positive ungerade und in $m$ nicht aufgehende rationale Primzahl, von welcher $m$ quadratischer Rest ist, Norm eines Ideals in $k({\sqrt {m}})$. Die Benutzung dieses Umstandes liefert uns die nachstehende Tabelle; in derselben bedeuten $p$, $p'$ irgend voneinander verschiedene positive rationale und der Zahl $1$ nach $4$ kongruente Primzahlen, und andererseits bedeuten $q$, $q'$ voneinander verschiedene positive rationale und der Zahl $3$ nach $4$ kongruente Primzahlen, während $r$ eine positive rationale ungerade Primzahl bezeichnet, von welcher kein bestimmter Restcharakter nach $4$ vorausgesetzt wird.

				Wenn:	so ist:
	$m$	$l$	$n$	$\left({\frac {m}{n}}\right)=+1$	$\left({\frac {n,\,m}{l}}\right)=+1$
1.	$-1$	$2$	$r$	$\left({\frac {-1}{r}}\right)=+1$	$\left({\frac {r,\,-1}{2}}\right)=(-1)^{\frac {r-1}{2}}=+1$
2.	$2$	$2$	$r$	$\left({\frac {2}{r}}\right)=+1$	$\left({\frac {r,\,2}{2}}\right)=(-1)^{\frac {r^{2}-1}{8}}=+1$
3.	$p$	$p$	$p'$	$\left({\frac {p}{p'}}\right)=+1$	$\left({\frac {p',\,p}{p}}\right)=\left({\frac {p'}{p}}\right)=+1$
4.	$p$	$p$	$q$	$\left({\frac {p}{q}}\right)=+1$	$\left(-{\frac {q,\,p}{p}}\right)=\left({\frac {q}{p}}\right)=+1$
5.	$-q$	$q$	$p$	$\left({\frac {-q}{p}}\right)=+1$	$\left({\frac {p,\,-q}{q}}\right)=\left({\frac {p}{q}}\right)=+1$
6.	$-q$	$q$	$q'$	$\left({\frac {-q}{q'}}=\right)+1$	$\left({\frac {q',\,-q}{q}}\right)=\left({\frac {q'}{q}}\right)=+1$

Nehmen wir die in einem Körper $k({\sqrt {p}})$ aus $n(\varepsilon )=-1$ folgende Tatsache, daß $\left({\frac {-1}{p}}\right)=+1$ ist, zur Zeile 1 dieser Tabelle hinzu, so folgt allgemein $\left({\frac {-1}{r}}\right)=(-1)^{\frac {r-1}{2}}$. Wenden wir ferner die am Eingange dieses Beweises genannte Tatsache auf die Primzahl $n=2$ an, und berücksichtigen wir, daß die Zahl $2$ stets gleich der Norm eines Ideals in $k({\sqrt {p}})$ oder in $k({\sqrt {-q}})$ ist, sobald $(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}=+1$, bezüglich $(-1)^{\frac {q^{2}-1}{8}}=+1$ statthat, so folgt, daß unter der letzteren Voraussetzung stets $\left({\frac {2,\,p}{p}}\right)=\left({\frac {2}{p}}\right)=+1$, bezüglich $\left({\frac {2,-q}{q}}\right)=\left({\frac {2}{q}}\right)=+1$ ist, d. h.: wenn $(-1)^{\frac {r^{2}-1}{8}}=+1$ ist, so ist $\left({\frac {2}{r}}\right)=+1$. Nehmen wir diese Tatsache zur Zeile 2 der obigen Tabelle hinzu, so folgt allgemein $\left({\frac {2}{r}}\right)=(-1)^{\frac {r^{2}-1}{8}}$. Aus dem Inhalte der Zeile 3 folgt $\left({\frac {p}{p'}}\right)=\left({\frac {p'}{p}}\right)$. Aus Zeile 4 und 5 folgt $\left({\frac {p}{q}}\right)=\left({\frac {q}{p}}\right)$; Zeile 6 ergibt nur, daß aus

$\left({\frac {-q}{q'}}\right)=+1$ auch $\left({\frac {q'}{q}}\right)=+1$

folgt.

Um allgemein das Reziprozitätsgesetz für zwei rationale Primzahlen $q$, $q'$, die beide kongruent 3 nach 4 sind, nachzuweisen, betrachtet man am einfachsten den quadratischen Körper $k({\sqrt {qq'}})$. Da wegen $\left({\frac {-1,qq'}{q}}\right)=-1$ die Norm der Grundeinheiten $\varepsilon$ dieses Körpers jedenfalls gleich $+1$ sein muß, so gibt es nach Satz 90 eine ganze Zahl $\alpha$ in $k({\sqrt {qq'}})$ von der Beschaffenheit, daß $\varepsilon =\alpha ^{1-s}={\frac {\alpha }{s\alpha }}$ wird, wo $s\alpha$ die zu $\alpha$ konjugierte Zahl bedeutet, und hieraus schließen wir leicht, daß das in $q$ enthaltene ambige Primideal ${\mathfrak {q}}$ notwendig ein Hauptideal sein muß. Folglich ist bei geeigneter Wahl des Vorzeichens gleichzeitig

$\left({\frac {\pm q,qq'}{q}}\right)=+1$ und $\left({\frac {\pm q,qq'}{q'}}\right)=+1$,

es ist daher in jedem Falle

$\left({\frac {q,qq'}{q}}\right)=\left({\frac {q,qq'}{q'}}\right)$

das heißt mit Rücksicht auf die Formel (c') in Satz 98

$-\left({\frac {q'}{q}}\right)=\left({\frac {q}{q'}}\right)$

Hilfssatz 14. Wenn $n$ und $m$ zwei beliebige ganze rationale Zahlen bedeuten, welche nicht beide negativ sind, so ist

$\prod _{(w)}\left({\frac {n,m}{w}}\right)=+1$

wo das Produkt linker Hand über sämtliche rationale Primzahlen $w$ zu erstrecken ist.

Beweis. Bedeuten $p$, $q$ beliebige rationale ungerade, voneinander verschiedene Primzahlen, so folgen aus den Regeln (a’’), (b’), (b’’) in § 64 und aus Satz 101 leicht die Formeln:

${\begin{aligned}\left({\frac {-1,2}{2}}\right)=+1,&\qquad &\left({\frac {-1,p}{2}}\right)\left({\frac {-1,p}{p}}\right)=+1,\\\left({\frac {2,2}{2}}\right)=+1,&&\left({\frac {2,p}{2}}\right)\left({\frac {2,p}{p}}\right)=+1,\\\left({\frac {p,p}{2}}\right)\left({\frac {p,p}{p}}\right)=+1,&&\left({\frac {p,q}{2}}\right)\left({\frac {p,q}{p}}\right)\left({\frac {p,q}{q}}\right)=+1;\end{aligned}}$

mit Rücksicht auf die Regel (a’) in § 64 besteht danach der Hilfssatz 14 für den Fall, daß die Zahlen $n$, $m$ gleich $\pm 1$ sind oder nur einen Primzahlfaktor enthalten. Wegen der Formeln (c’’’) , (c’’’’) in § 64 gilt demnach der Hilfssatz 14 allgemein.

Zugleich folgt wegen $\left({\frac {-1,-1}{2}}\right)=-1$, daß, wenn die Zahlen $n$ und $m$ beide negativ angenommen werden, das entsprechende Produkt $\prod _{(w)}$ den Wert $-1$ hat. Die im Hilfssatze 14 ausgesprochene und diese weitere Behauptung erhalten, wie man leicht erkennt, einen einheitlichen Ausdruck, wenn man sich des neuen Symbols $\left({\frac {n,m}{-1}}\right)=\pm 1$ bedienen will, wo rechter Hand das positive oder das negative Vorzeichen gelten soll, je nachdem wenigstens eine der beiden Zahlen $n$, $m$ positiv ist oder beide negativ ausfallen.

§ 70. Beweis der im Fundamentalsatz 100 ausgesprochenen Beziehung zwischen den sämtlichen Charakteren eines Geschlechts.

Der im § 69 bewiesene Hilfssatz 14 dient dazu, um den einen Teil unseres Fundamentalsatzes 100 zu beweisen. Bedeutet $A$ irgendeine Idealklasse des Körpers $k({\sqrt {m}})$, ist dann ${\mathfrak {a}}$ ein zu $2$ und zu $d$ primes Ideal der Klasse $A$, und wird ${\overline {n}}=\pm n({\mathfrak {a}})$ die mit dem betreffenden Vorzeichen gemäß § 65 versehene Norm des Ideals ${\mathfrak {a}}$‚ so ist das Produkt der sämtlichen Charaktere der Klasse $A$ durch den Ausdruck:

$\left({\frac {{\overline {n}},m}{l_{1}}}\right)\cdots \left({\frac {{\overline {n}},m}{l_{r}}}\right)$

gegeben. Da $n({\mathfrak {a}})$ die Norm eines Ideals ist, so muß eine jede in ${\overline {n}}$ zu ungerader Potenz vorkommende rationale Primzahl $p$ im Körper $k({\sqrt {m}})$ zerlegbar sein; es ist mithin nach Satz 96 $m$ von jeder solchen Primzahl $p$ quadratischer Rest. Aus Hilfssatz 14 und unter Heranziehung der Formeln (c’’’), (a’)‚ (a’’) aus Satz 98 folgt daher:

$\prod _{(w)}\left({\frac {{\overline {n}},m}{w}}\right)=+1,$

wenn $w$ alle in $m$ enthaltenen ungeraden Primzahlen und die Primzahl $2$ durchläuft.

Kommt nun in der Diskriminante $d$ des Körpers $k({\sqrt {m}})$ die Primzahl $2$ vor, so ist schon hiermit bewiesen, daß für jede Klasse in $k({\sqrt {m}})$ das Produkt sämtlicher Charaktere $=+1$ ist.

Kommt dagegen die Primzahl $2$ in $d$ nicht vor, so hat man, wegen $m\equiv 1$ nach $4$, stets $\left({\frac {{\overline {n}},m}{2}}\right)=+1$‚ und damit ist auch in diesem Falle der gewünschte Nachweis erbracht.

Durch den soeben geführten Nachweis, daß das Produkt aller Charaktere $=+1$ ist, erkennen wir zugleich, daß die Anzahl der Geschlechter im quadratischen Körper $k\left({\sqrt {m}}\right)$ höchstens gleich der Hälfte aller an sich denkbaren Charakterensysteme, d. h. höchstens gleich $2^{r-1}$ sein kann.

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1. Disquisitiones arithmeticae. Werke 1 (1801).

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