David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie/Kapitel 7.25

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David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie (1932) von David Hilbert 7.25 Das Reziprozitätsgesetz für $l$-te Potenzreste zwischen einer rationalen Zahl und einer Zahl des Körpers der $l$-ten Einheitswurzeln.

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25. Das Reziprozitätsgesetz für ${\boldsymbol {l}}$-te Potenzreste zwischen einer rationalen Zahl und einer Zahl des Körpers der ${\boldsymbol {l}}$-ten Einheitswurzeln.

§ 113. Der Potenzcharakter einer Zahl und das Symbol $\left\lbrace {\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right\rbrace$.

Es sei $l$ eine ungerade Primzahl, $\zeta =\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l}}$‚ und $k(\zeta )$ bezeichne den durch $\zeta$ bestimmten Kreiskörper. Ist dann $p$ eine rationale, von $l$ verschiedene Primzahl und ${\mathfrak {p}}$ ein in $p$ aufgehendes Primideal in $k(\zeta )$, und ist $f$ der Grad von ${\mathfrak {p}}$‚ so gilt nach Satz 24 für jede nicht durch ${\mathfrak {p}}$ teilbare ganze Zahl $\alpha$ des Körpers $k(\zeta )$ die Kongruenz

$\alpha ^{p^{f}-1}-1\equiv 0,\qquad ({\mathfrak {p}})$.

Da $p^{f}-1$ nach Satz 119 durch $l$ teilbar ist, so gestattet die linke Seite dieser Kongruenz die Zerlegung

$\alpha ^{p^{f}-1}-1=\prod \limits _{(c)}\left(\alpha ^{\frac {p^{f}-1}{l}}-\zeta ^{c}\right)$,

wo das Produkt über die Werte $c=0,\ 1,\ldots ,\ l-1$ zu erstrecken ist. Hieraus folgt, daß für einen und jedenfalls auch nur einen Wert $c$ die Kongruenz

$\alpha ^{\frac {p^{f}-1}{l}}\equiv \zeta ^{c},\qquad ({\mathfrak {p}})$

erfüllt ist. Man nennt die hier auftretende Einheitswurzel $\zeta ^{c}$ den Potenzcharakter der Zahl ${\boldsymbol {\alpha }}$ in Bezug auf das Primideal ${\mathfrak {p}}$ im Körper $k(\zeta )$ und bezeichnet diese Einheitswurzel $\zeta ^{c}$ durch das Symbol

$\left\lbrace {\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right\rbrace$,

so daß die Kongruenz

$\alpha ^{\frac {p^{f}-1}{l}}\equiv \left\lbrace {\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right\rbrace ,\qquad ({\mathfrak {p}})$

(45)

gilt [Kummer (10^[1])].

Sind $\alpha$ und $\beta$ zwei durch ${\mathfrak {p}}$ nicht teilbare ganze Zahlen in $k(\zeta )$, so besteht, wie hieraus leicht ersichtlich, die Gleichung

$\left\lbrace {\frac {\alpha \beta }{\mathfrak {p}}}\right\rbrace =\left\lbrace {\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right\rbrace \left\lbrace {\frac {\beta }{\mathfrak {p}}}\right\rbrace$.

Wenn insbesondere die ganze Zahl $\alpha$ nach dem Primideal ${\mathfrak {p}}$ der $l$-ten Potenz einer ganzen Zahl in $k(\zeta )$ kongruent ist, so heißt $\alpha$ ein $l$-ter Potenzrest nach dem Primideal ${\boldsymbol {\mathfrak {p}}}$ . Es gilt die Tatsache:

Satz 139. Bedeutet ${\mathfrak {p}}$ ein von ${\mathfrak {l}}=(1-\zeta )$ verschiedenes Primideal und $\alpha$ eine ganze zu ${\mathfrak {p}}$ prime Zahl in $k(\zeta )$, so ist $\alpha$ dann und nur dann $l$-ter Potenzrest nach ${\mathfrak {p}}$, wenn $\left\lbrace {\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right\rbrace =1$ ausfällt. Beweis. Ist $\alpha \equiv \beta ^{l}$ nach ${\mathfrak {p}}$, wo $\beta$ wieder eine Zahl in $k(\zeta )$ bedeutet, so folgt $\alpha ^{\frac {p^{f}-1}{l}}\equiv \beta ^{p^{f-1}}\equiv 1$ nach ${\mathfrak {p}}$, d. h. $\textstyle \left\{{\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right\}=1$. Um die Umkehrung hiervon zu zeigen, bezeichnen wir mit $\varrho$ eine Primitivzahl nach ${\mathfrak {p}}$ und setzen $\alpha \equiv \varrho ^{h}$ nach ${\mathfrak {p}}$. Nehmen wir $\textstyle \alpha ^{\frac {p^{f}-1}{l}}\equiv \varrho ^{\frac {h(p^{f}-1)}{l}}\equiv 1$ an, so folgt $\textstyle {\frac {h(p^{f}-1)}{l}}\equiv 0$ nach $p^{f}-1$, d. h. $h$ ist durch $l$ teilbar, und folglich ist $\alpha$ ein $l$-ter Potenzrest nach ${\mathfrak {p}}$, was zu beweisen war.

Für eine Primitivzahl $\varrho$ nach ${\mathfrak {p}}$ ist der Potenzcharakter $\textstyle \left\{{\frac {\varrho }{\mathfrak {p}}}\right\}$ sicherlich von $1$ verschieden. Denn in der Reihe der Potenzen $\varrho$, $\varrho ^{2}$, … ist $\varrho ^{p^{f-1}}$ die erste, welche $\equiv 1$ nach ${\mathfrak {p}}$ ausfällt, und also ist $\varrho ^{\frac {p^{f-1}}{l}}\not \equiv 1$ nach ${\mathfrak {p}}$.

Es sei $\textstyle \left\{{\frac {\varrho }{\mathfrak {p}}}\right\}=\zeta ^{g}$; man bestimme eine zu $p^{f}-1$ prime ganze rationale Zahl $g^{\ast }$ derart, daß $gg^{\ast }\equiv 1$ nach $l$ wird; dann ist offenbar $\varrho ^{\ast }=\varrho ^{g^{\ast }}$ eine solche Primitivzahl nach ${\mathfrak {p}}$, für welche $\textstyle \left\{{\frac {\varrho ^{\ast }}{\mathfrak {p}}}\right\}=\zeta$ ausfällt. Ist nun $\alpha$ eine ganze, nicht durch ${\mathfrak {p}}$ teilbare Zahl in $k(\zeta )$, und hat man $\alpha \equiv \varrho ^{\ast c}$ nach ${\mathfrak {p}}$, so besitzt $\alpha$ den Potenzcharakter $\zeta ^{c}$.

Hieraus ist leicht ersichtlich, daß das vollständige System der $p^{f}-1$ einander nach ${\mathfrak {p}}$ inkongruenten Zahlen $1$, $\varrho ^{*}$, $\varrho ^{*2}$, …, $\varrho ^{*p^{f-2}}$ in $l$ Teilsysteme zerfällt, von denen jedes $\textstyle {\frac {p^{f}-1}{l}}$ Zahlen vom nämlichen Potenzcharakter enthält. Insbesondere gibt es genau $\textstyle {\frac {p^{f}-1}{l}}$ einander inkongruente $l$-te Potenzreste nach ${\mathfrak {p}}$.

Ist ${\mathfrak {b}}$ ein beliebiges zu ${\mathfrak {l}}$ primes Ideal und $\alpha$ eine zu ${\mathfrak {b}}$ prime ganze Zahl in $k(\zeta )$, und wird ${\mathfrak {b=pq\ldots w}}$ gesetzt, wo ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {q}}$, … ${\mathfrak {w}}$ Primideale bedeuten, so werde das Symbol $\textstyle \left\{{\frac {\alpha }{\mathfrak {b}}}\right\}$ durch die Gleichung

$\left\{{\frac {\alpha }{\mathfrak {b}}}\right\}=\left\{{\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right\}\left\{{\frac {\alpha }{\mathfrak {q}}}\right\}\cdots \left\{{\frac {\alpha }{\mathfrak {w}}}\right\}$

definiert.

§ 114. Ein Hilfssatz über den Potenzcharakter der $l$-ten Potenz der Lagrangeschen Wurzelzahl.

Es ist Eisenstein gelungen, dasjenige Reziprozitätsgesetz zu entdecken und zu beweisen, welches im Körper $k(\zeta )$ zwischen einer rationalen Zahl und einer beliebigen Zahl dieses Körpers besteht; dabei ist wieder $\zeta =\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l}}$ gesetzt, und $l$ bedeutet eine ungerade Primzahl. Dieses Reziprozitätsgesetz ist zugleich ein bisher unentbehrliches Hilfsmittel zum Beweise des allgemeineren Kummerschen Reziprozitätsgesetzes (vgl. Kap. 31). Dem Beweise des Eisensteinschen Reziprozitätsgesetzes ist der folgende Hilfssatz vorauszuschicken: Hilfssatz 21. Es sei $\zeta =\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l}}$; ferner bedeute $p$ eine von $l$ verschiedene rationale Primzahl von der Form $p=ml+1$, $R$ eine Primitivzahl nach $p$ und ${\mathfrak {p}}$ das Primideal ersten Grades in $k(\zeta )$:

${\mathfrak {p}}=(p,\,\zeta -R^{-m})$;

es werde ${\mathsf {Z}}=\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{p}}$, die Lagrangesche Wurzelzahl

$\Lambda ={\mathsf {Z}}+\zeta {\mathsf {Z}}^{R}+\zeta ^{2}{\mathsf {Z}}^{R^{2}}+\cdots +\zeta ^{p-2}{\mathsf {Z}}^{R^{p-2}}$

und $\pi =\Lambda ^{l}$ gesetzt. Endlich bedeute $q$ eine beliebige, von $l$ und $p$ verschiedene rationale Primzahl, ${\mathfrak {q}}$ ein in $q$ aufgehendes Primideal des Körpers $k(\zeta )$ und $g$ den Grad von ${\mathfrak {q}}$: dann drückt sich der Potenzcharakter der Zahl $\pi =\Lambda ^{l}$ in bezug auf das Ideal ${\mathfrak {q}}$ durch die Formel aus

$\left\{{\frac {\pi }{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {q}{\mathfrak {p}}}\right\}^{g}$.

Beweis. Durch $g$-maliges Erheben in die $q$-te Potenz folgt die Kongruenz

$\Lambda ^{q^{g}}\equiv {\mathsf {Z}}^{q^{g}}+\zeta ^{q^{g}}{\mathsf {Z}}^{Rq^{g}}+\zeta ^{2q^{g}}{\mathsf {Z}}^{R^{2}q^{g}}+\cdots +\zeta ^{(p-2)q^{g}}{\mathsf {Z}}^{R^{p-2}q^{g}}$, ($q$).

(46)

Berücksichtigen wir, daß dem Satze 119 zufolge $q^{g}\equiv 1$ nach $l$ ist, und setzen $q^{g}\equiv R^{h}$ nach $p$, so wird die rechte Seite der Kongruenz (46)

${\mathsf {Z}}^{R^{h}}+\zeta {\mathsf {Z}}^{R^{h+1}}+\zeta ^{2}{\mathsf {Z}}^{R^{h+2}}+\cdots +\zeta ^{p-2}{\mathsf {Z}}^{R^{h+p-2}}=\zeta ^{-h}\Lambda$.

Hieraus folgt, da $\Lambda$ wegen des Satzes 138 prim zu $q$ ist, die Kongruenz

$\Lambda ^{q^{g-1}}\equiv \zeta ^{-h}$, ($q$),

und also ist auch gewiß

$\Lambda ^{q^{g-1}}=\pi ^{\frac {q^{g-1}}{l}}\equiv \zeta ^{-h}$, (${\mathfrak {q}}$),

d. h. es wird

$\left\{{\frac {\pi }{\mathfrak {q}}}\right\}=\zeta ^{-h}$.

(47)

Andererseits entnimmt man aus den Kongruenzen $q^{g}=R^{h}$ nach $p$ und $R^{m}=\zeta ^{-1}$ nach ${\mathfrak {p}}$ die Beziehungen:

$q^{\frac {g(p-1)}{l}}=q^{gm}\equiv R^{hm}\equiv \zeta ^{-h}$, (${\mathfrak {p}}$),

d. h. es ist

$\left\{{\frac {q^{g}}{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {q}{\mathfrak {p}}}\right\}^{g}=\zeta ^{-h}$;

(48)

die Gleichungen (47) und (48) zusammen ergeben den Hilfssatz 21.

§ 115. Beweis des Reziprozitätsgesetzes im Körper $k(\zeta )$ zwischen einer rationalen und einer beliebigen Zahl.

Es bedeute ${\mathfrak {l}}=(1-\zeta )$ das in $l$ aufgehende Primideal des Körpers $k(\zeta )$. Eine ganze Zahl $\alpha$ des Körpers $k(\zeta )$ heiße semiprimär, wenn sie zu ${\mathfrak {l}}$ prim und nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ einer ganzen rationalen Zahl kongruent ist. Eine ganze rationale, nicht durch $l$ teilbare Zahl ist hiernach stets semiprimär. Eine beliebige ganze, nicht durch ${\mathfrak {l}}$ teilbare Zahl $\alpha$ des Körpers $k(\zeta )$ kann durch Multiplikation mit einer geeigneten Potenz der Einheitswurzel $\zeta$ stets in eine semiprimäre Zahl verwandelt werden. Ist nämlich

$\alpha \equiv a+b(1-\zeta )$,  $({\mathfrak {l}}^{2})$,

wo $a$ und $b$ ganze rationale Zahlen bedeuten, so ist

$\zeta ^{b^{*}}\cdot \alpha \equiv a$,  $({\mathfrak {l}}^{2})$,

wenn $b^{*}$ aus der Kongruenz $ab^{*}\equiv b$ nach $l$ bestimmt wird. Die Zahl $\zeta ^{b^{*}}\cdot \alpha$ ist mithin semiprimär.

Nach dieser Vorbemerkung läßt sich nunmehr das Eisensteinsche Reziprozitätsgesetz, wie folgt, aussprechen:

Satz 140. Wenn $a$ eine beliebige ganze rationale, nicht durch die ungerade Primzahl $l$ teilbare Zahl und $\alpha$ eine beliebige semiprimäre und zu $a$ prime ganze Zahl des Körpers $k(\zeta )$ der $l$-ten Einheitswurzeln ist, so gilt in diesem Körper die Reziprozitätsgleichung

$\left\{{\frac {a}{\alpha }}\right\}=\left\{{\frac {\alpha }{a}}\right\}$.

[Eisenstein (2)^[2]].

Beweis. Wir verstehen unter $r$ eine Primitivzahl nach $l$ und schreiben $s=(\zeta :\zeta ^{r})$. Es werde zunächst angenommen, daß $a=q$ eine rationale Primzahl ist, und daß die Zahl $\alpha$ nur Primideale ersten Grades enthält. Es sei ${\mathfrak {q}}$ ein in $q$ aufgehendes Primideal in $k(\zeta )$ und $g$ der Grad von ${\mathfrak {q}}$, ferner sei $p$ eine in der Norm $n(\alpha )$ vorkommende rationale Primzahl, und es mögen ${\mathfrak {p}}$ und $\pi$ dazu die gleiche Bedeutung wie in Hilfssatz 21 haben. Ist nun $s^{u}$ eine beliebige Potenz der Substitution $s$, und wenden wir den Hilfssatz 21 auf die Primideale $s^{-u}{\mathfrak {q}}$ und ${\mathfrak {p}}$ an, so ergibt sich:

$\left\{{\frac {\pi }{s^{-u}{\mathfrak {q}}}}\right\}=\left\{{\frac {q}{\mathfrak {p}}}\right\}^{g}$.

Unterwerfen wir diese Gleichung der Substitution $s^{u}$, so folgt:

$\left\{{\frac {s^{u}\pi }{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {q}{s^{u}{\mathfrak {p}}}}\right\}^{g}$.

(49)

Die in der Norm $n(\alpha )$ vorkommenden, voneinander verschiedenen rationalen Primzahlen seien $p=ml+1$, $p^{*}=m^{*}l+1$, …; ferner mögen $R$, $R^{*}$, … bez. Primitivzahlen nach $p$, $p^{*}$, … bedeuten; endlich werde

${\mathfrak {p}}=(p,\,\zeta -R^{-m})$, ${\mathfrak {p}}^{*}=(p^{*},\,\zeta -R^{*-m^{*}})$, …

gesetzt, und es gestatte die Zahl $\alpha$ die Zerlegung

$\alpha ={\mathfrak {p}}^{F(s)}{\mathfrak {p}}^{*F^{*}(s)}\ldots$,

wo die Exponenten $F$ , $F^{*}$, … ganzzahlige Funktionen in $s$ vom Grade $l-2$ mit lauter Koeffizienten, die $\geqq 0$ sind, bedeuten.

Bezeichnen dann $\Lambda$, $\Lambda ^{*}$, … die bezüglichen, zu den Primzahlen $p$, $p^{*}$, … und deren Primitivzahlen $R$, $R^{*}$, … gehörigen Lagrangeschen Wurzelzahlen, und wird $\pi =\Lambda ^{l}$, $\pi ^{*}=\Lambda ^{*l}$, … gesetzt, so gelten nach Satz 138 die Zerlegungen:

${\begin{aligned}\pi &={\mathfrak {p}}^{r_{0}+r_{-1}s+r_{-2}s^{2}+\cdots +r_{-l+2}s^{l-2}},\\\pi ^{*}&={\mathfrak {p}}^{*r_{0}+r_{-1}s+r_{-2}s^{2}+\cdots +r_{-l+2}s^{l-2}},\\&\qquad \qquad \qquad \vdots \end{aligned}}$

wo $r_{-h}$ die kleinste positive ganze rationale Zahl bedeutet, welche der $-h$-ten Potenz $r^{-h}$ der Primitivzahl $r$ nach $l$ kongruent ist. Der Quotient

$\varepsilon ={\frac {\alpha ^{r_{0}+r_{-1}s+\cdots +r_{-l+2}s^{l-2}}}{\pi ^{F(s)}\pi ^{*F^{*}(s)}\ldots }}$

ist daher offenbar eine Einheit des Körpers $k(\zeta )$. Wir wollen beweisen, daß diese Einheit $\epsilon =\pm 1$ ist. Zu dem Zwecke bilden wir den Ausdruck

$\left|\varepsilon \right|^{2}=\varepsilon ^{1+s^{\frac {l-1}{2}}}={\frac {\alpha ^{\left(1+s^{\frac {l-1}{2}}\right)\left(r_{0}+r_{-1}s+\cdots +r_{-l+2}s^{l-2}\right)}}{\left(\left|\pi \right|^{2}\right)^{F(s)}\left(\left|\pi ^{*}\right|^{2}\right)^{F^{*}(s)}\ldots }}$

Wegen der für $h=0$, $1$, $2$, …, ${\frac {l-3}{2}}$ gültigen Gleichung

$r_{-h}+r_{-h-{\frac {l-1}{2}}}=l$

wird der Zähler des Bruches rechter Hand

$\alpha ^{\left(1+s^{\frac {l-1}{2}}\right)\left(r_{0}+r_{-1}s+\cdots +r_{-l+2}s^{l-2}\right)}=\alpha ^{l(1+s+\cdots +s^{l-2})}=(n(\alpha ))^{l}$.

Berücksichtigen wir, daß nach Satz 138 $|\pi |^{2}=p^{l}$, $|\pi ^{*}|^{2}=p^{*l}$, … wird, so ergibt sich $|\varepsilon |=1$. Nach Satz 48 ist folglich $\varepsilon$ bis auf einen Faktor $\pm 1$ eine Potenz der Einheitswurzel $\zeta$. Da andererseits nach Satz 138 die Kongruenzen

$\pi \equiv -1$, $\pi ^{*}\equiv -1$, …, $({\mathfrak {l}}^{l})$

bestehen, und daher $\pi$, $\pi ^{*}$, … sämtlich semiprimäre Zahlen sind, so ist auch $\varepsilon$ eine semiprimäre Zahl; mithin wird $\varepsilon =\pm 1$, und es folgt demnach:

$\alpha ^{r_{0}+r_{-1}s+\cdots +r_{-l+2}s^{l-1}}=\pm \pi ^{F(s)}\pi ^{*F^{*}(s)}\ldots$.

Diese Gleichung liefert unter Anwendung der Formel (49) die Reziprozitätsgleichung

$\left\{{\frac {\alpha ^{r_{0}+r_{-1}s+\cdots +r_{-l+2}s^{l-2}}}{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {q}{{\mathfrak {p}}^{F(s)}{\mathfrak {p}}^{*F^{*}(s)}\ldots }}\right\}^{g}=\left\{{\frac {q}{\alpha }}\right\}^{g}$

(50)

Berücksichtigen wir, daß

$\left\{{\frac {s\alpha }{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\alpha }{s^{-1}{\mathfrak {q}}}}\right\}^{r}$, $\left\{{\frac {s^{2}\alpha }{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\alpha }{s^{-2}{\mathfrak {q}}}}\right\}^{r^{2}}$, …, $\left\{{\frac {s^{l-2}\alpha }{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\alpha }{s^{-l+2}{\mathfrak {q}}}}\right\}^{r^{l-2}}$

ist, da ja die Symbole Potenzen von $\zeta$ darstellen, so folgt aus (50) die Gleichung

$\left\{{\frac {\alpha }{q^{g}}}\right\}=\left\{{\frac {q}{\alpha }}\right\}^{g}$ oder $\left\{{\frac {\alpha }{q}}\right\}=\left\{{\frac {q}{\alpha }}\right\}$;

damit ist der Satz 140 unter den zunächst gemachten Einschränkungen, daß $\alpha$ nur Primideale ersten Grades enthält und $a$ eine Primzahl ist, bewiesen.

Um die erstere Einschränkung zu beseitigen, nehmen wir jetzt an, es sei $\alpha$ eine beliebige semiprimäre, zu $q$ prime ganze Zahl in $k(\zeta )$, welche auch Primideale von höherem als erstem Grade enthalten kann. Wir bilden dann die Zahl

$\beta =\alpha ^{\prod \limits _{(e)}(1-s^{e})}$,

wo das im Exponenten stehende Produkt über sämtliche von $l-1$ verschiedene Teiler $e$ der Zahl $l-1$ zu erstrecken ist, und setzen

$\beta ={\mathfrak {\frac {j}{k}}}$

in solcher Weise, daß ${\mathfrak {j}}$ und ${\mathfrak {k}}$ zueinander prime Ideale bedeuten; dieselben enthalten dann, wie leicht ersichtlich, nur Primideale ersten Grades als Faktoren, und sie sind überdies nicht durch ${\mathfrak {l}}$ teilbar. Ist $h$ die Anzahl der Idealklassen des Körpers $k(\zeta )$, so wird nach Satz 51 ${\mathfrak {k}}^{h}=(\varkappa )$, wo $\varkappa$ eine ganze Zahl in $k(\zeta )$ bedeutet; setzen wir $\gamma =\beta \varkappa ^{l}$, so wird auch $\gamma$ eine ganze Zahl in $k(\zeta )$, welche nur Primideale ersten Grades als Primfaktoren enthält, und überdies ist offenbar $\gamma$ ebenso wie $\alpha$ semiprimär und zu $q$ prim. Nach dem oben Bewiesenen ist daher

$\left\{{\frac {\gamma }{q}}\right\}=\left\{{\frac {q}{\gamma }}\right\}$.

(51)

Der einfacheren Darstellung halber wollen wir nun allgemein, wenn $\varrho$, $\sigma$ zwei ganze zu $q$ prime Zahlen in $k(\zeta )$ bedeuten,

${\frac {\left\{{\frac {\varrho }{q}}\right\}}{\left\{{\frac {\sigma }{q}}\right\}}}=\left\{{\frac {\frac {\varrho }{\sigma }}{q}}\right\}$ und ${\frac {\left\{{\frac {q}{\varrho }}\right\}}{\left\{{\frac {q}{\sigma }}\right\}}}=\left\{{\frac {q}{\frac {\varrho }{\sigma }}}\right\}$

schreiben, was zu keinem Widerspruche mit den bisherigen Festsetzungen führt; dann folgt wegen $\textstyle \beta ={\frac {\gamma }{\varkappa ^{l}}}$ aus (51) offenbar die Gleichung

$\left\{{\frac {\beta }{q}}\right\}=\left\{{\frac {q}{\beta }}\right\}$.

(52)

Berücksichtigen wir die Gleichungen

$\left\{{\frac {s^{u}\alpha }{q}}\right\}=\left\{{\frac {\alpha }{q}}\right\}^{r^{u}}$ und $\left\{{\frac {q}{s^{u}\alpha }}\right\}=\left\{{\frac {q}{\alpha }}\right\}^{r^{u}}$,

so erkennen wir aus (52), daß

$\left\{{\frac {\alpha }{q}}\right\}^{\prod \limits _{(e)}(1-r^{e})}=\left\{{\frac {q}{\alpha }}\right\}^{\prod \limits _{(e)}(1-r^{e})}$

wird. Wenn wir bedenken, daß das auf beiden Seiten als Exponent stehende Produkt nicht durch $l$ teilbar ist, so ergibt sich hieraus

${\Bigg \lbrace }{\frac {\alpha }{q}}{\Bigg \rbrace }={\Bigg \lbrace }{\frac {q}{\alpha }}{\Bigg \rbrace }$.

Wird endlich auch die ganze rationale durch $l$ nicht teilbare Zahl $a$ beliebig angenommen, nur so, daß $a$ zu $\alpha$ prim ist, und wird $a=qq^{\ast }\ldots$ gesetzt, wo $q$, $q^{\ast },\ldots$ rationale Primzahlen bedeuten, so folgt durch Multiplikation der Gleichungen

${\Bigg \lbrace }{\frac {q}{\alpha }}{\Bigg \rbrace }={\Bigg \lbrace }{\frac {\alpha }{q}}{\Bigg \rbrace },\quad {\Bigg \lbrace }{\frac {q^{\ast }}{\alpha }}{\Bigg \rbrace }={\Bigg \lbrace }{\frac {\alpha }{q^{\ast }}}{\Bigg \rbrace },\ \ldots$

die Richtigkeit des Satzes 140 im allgemeinsten Falle.

1. Über allgemeine Reziprozitätsgesetze für beliebig hohe Potenzreste. Ber. K. Akad. Wiss. Berlin 1850.^{[WS 1]}
2. Beweis der allgemeinsten Reziprozitätsgesetze zwischen reellen und komplexen Zahlen. Ber. K. Akad. Wiss. Berlin 1850.^{[WS 2]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Kummer, Ernst Eduard: Die allgemeinen Reziprocitätsgesetze für beliebig hohe Potenzreste, in: Bericht über die zur Bekanntmachung geeigneten Verhandlungen der Königlich Preussischen Akademie, 1850, S. 154–165 Berlin-Brandenburgische Akademie
2. Eisenstein, Gotthold: Eine neue Gattung zahlentheoretischer Funktionen, welche von zwei Elementen abhängen und durch gewisse lineare Funktional-Gleichungen definiert werden, in: Bericht über die zur Bekanntmachung geeigneten Verhandlungen der Königlich Preussischen Akademie, 1850, S. 36–42 Berlin-Brandenburgische Akademie

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