Die elektrischen Kräfte/Zusammenstellung:§15

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§. 15. Fünf allgemeine Sätze über Curven-Integrale.

     Erster Satz. Sind $x,y,z\,$ und $x+\mathrm {D} x,y+\mathrm {D} y,z+\mathrm {D} z\,$ zwei aufeinanderfolgende Puncte einer geschlossenen, unend­lich kleinen, ebenen Curve, und sind ferner

$U=U(x,y,z),\quad V=V(x,y,z),\quad W=W(x,y,z)\,$

beliebig gegebene Functionen, so wird das über jene Curve hinerstreckte Integral

$(17.a)\,$

${\mathit {\Sigma }}\ (U\mathrm {D} x+V\mathrm {D} y+W\mathrm {D} z)\,$

einen Werth besitzen, der sich ausdrücken lässt durch:

$(17.b)\,$

$\lambda \left[\alpha \left({\frac {\partial W}{\partial y}}-{\frac {\partial V}{\partial z}}\right)+\beta \left({\frac {\partial U}{\partial z}}-{\frac {\partial W}{\partial x}}\right)+\gamma \left({\frac {\partial V}{\partial x}}-{\frac {\partial U}{\partial y}}\right)\right],\,$

oder auch durch:

$(17.c)\,$

$\lambda \left[{\frac {\partial (\gamma V-\beta W)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\alpha W-\gamma U)}{\partial y}}+{\frac {\partial (\beta U-\alpha V)}{\partial z}}\right].\,$

In diesem Ausdrucke bezeichnet $\lambda \,$ den Quadratinhalt der von der Curve umgrenzten ebenen Fläche; ferner bezeich­nen daselbst $\alpha ,\beta ,\gamma \,$ die Richtungscosinus derjenigen auf $\lambda \,$ errichteten Normale, welche positiv liegt zu der durch $\mathrm {D} x,\mathrm {D} y,\mathrm {D} z\,$ indicirten Umlaufrichtung; endlich bezeichnen daselbst [nämlich in (17.b, c)] $x,y,z\,$ die Coordinaten eines Punctes, welcher auf $\lambda \,$ selber oder unendlich nahe an $\lambda \,$ beliebig gewählt werden darf.

     Beweis. — Um den Satz zu beweisen, setzen wir

$(18.)\,$

$x=x_{m}+\xi ,\quad y=y_{m}+\eta ,\quad z=z_{m}+\zeta ,\,$

und folglich:

$(19.)\,$

$\mathrm {D} x=\mathrm {D} \xi ,\quad \mathrm {D} y=\mathrm {D} \eta ,\quad \mathrm {D} z=\mathrm {D} \zeta ,\,$

wo $m\,$ irgend ein fester Punct sein soll, der entweder auf $\lambda \,$ selber oder unendlich nahe an $\lambda \,$ liegt, und $x_{m},y_{m},z_{m}\,$ die Coordinaten dieses Punctes vorstellen sollen. Alsdann wird:

$U\cdot \mathrm {D} x=U(x,y,z)\cdot \mathrm {D} x=U(x_{m}+\xi ,y_{m}+\eta ,z_{m}+\zeta )\cdot \mathrm {D} \xi ,\,$

und folglich durch Entwickelung nach $\xi ,\eta ,\zeta :\,$

$U\mathrm {D} x=\left[U_{m}+\left({\frac {\partial U}{\partial x}}\right)_{m}\xi +\left({\frac {\partial U}{\partial y}}\right)_{m}\eta +\left({\frac {\partial U}{\partial z}}\right)_{m}\zeta \right]\mathrm {D} \xi .\,$

Hieraus folgt, wenn man über die Randcurve von $\lambda \,$ integrirt, sofort:

$(20.)\,$

${\mathit {\Sigma }}\ U\mathrm {D} x=U_{m}\ {\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} \xi +\left({\frac {\partial U}{\partial x}}\right)_{m}\ {\mathit {\Sigma }}\ \xi \mathrm {D} \xi +\left({\frac {\partial U}{\partial y}}\right)_{m}{\mathit {\Sigma }}\ \eta \mathrm {D} \xi +\left({\frac {\partial U}{\partial z}}\right)_{m}{\mathit {\Sigma }}\ \zeta \mathrm {D} \xi .\,$

     Nun ist ${\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} \xi =0;\,$ ebenso ${\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} (\xi ^{2})=0,\,$ d. i. ${\mathit {\Sigma }}\ \xi \mathrm {D} \xi =0.\,$ So­mit ergeben sich die Formeln:

$(21.a)\,$

${\begin{aligned}{\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} \xi &=0,\quad \quad {\mathit {\Sigma }}\ \xi \mathrm {D} \xi =0,\\{\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} \eta &=0,\quad \quad {\mathit {\Sigma }}\ \eta \mathrm {D} \eta =0,\\{\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} \zeta &=0,\quad \quad {\mathit {\Sigma }}\ \zeta \mathrm {D} \zeta =0.\end{aligned}}\,$

Ferner erhält man ${\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} (\eta \zeta )=0,\,$ d. i.

${\mathit {\Sigma }}\ (\eta \mathrm {D} \zeta +\zeta \mathrm {D} \eta )=0,\,$

und ausserdem durch Benutzung des Satzes (16.):

${\mathit {\Sigma }}\ (\eta \mathrm {D} \zeta -\zeta \mathrm {D} \eta )=2\alpha \lambda .\,$

Aus diesen beiden letzten Relationen folgt sofort ${\mathit {\Sigma }}\ \eta \mathrm {D} \zeta =\alpha \lambda ,\,$ und ${\mathit {\Sigma }}\ \zeta \mathrm {D} \eta =-\alpha \lambda .\,$ Somit ergeben sich die Formeln:

$(21.b)\,$

${\begin{aligned}{\mathit {\Sigma }}\ \eta \mathrm {D} \zeta &=\alpha \lambda ,&\quad \quad {\mathit {\Sigma }}\ \zeta \mathrm {D} \eta &=-\alpha \lambda ,\\{\mathit {\Sigma }}\ \zeta \mathrm {D} \xi &=\beta \lambda ,&\quad \quad {\mathit {\Sigma }}\ \xi \mathrm {D} \zeta &=-\beta \lambda ,\\{\mathit {\Sigma }}\ \xi \mathrm {D} \eta &=\gamma \lambda ,&\quad \quad {\mathit {\Sigma }}\ \eta \mathrm {D} \xi &=-\gamma \lambda .\end{aligned}}\,$

     Mit Hülfe der Formeln (21.a, b) erhält man nun aus (20.) sofort:

$(22.)\,$

${\begin{aligned}{\mathit {\Sigma }}\ U\ \mathrm {D} x&=\lambda \left[\beta \left({\frac {\partial U}{\partial z}}\right)_{m}-\gamma \left({\frac {\partial U}{\partial y}}\right)_{m}\right];\ {\text{ebenso wird:}}\\{\mathit {\Sigma }}\ V\ \mathrm {D} y&=\lambda \left[\gamma \left({\frac {\partial V}{\partial x}}\right)_{m}-\alpha \left({\frac {\partial V}{\partial z}}\right)_{m}\right],\\{\mathit {\Sigma }}\ W\ \mathrm {D} z&=\lambda \left[\alpha \left({\frac {\partial W}{\partial y}}\right)_{m}-\beta \left({\frac {\partial W}{\partial x}}\right)_{m}\right].\end{aligned}}\,$

Hieraus aber folgt durch Addition:

$(23.)\,$

${\begin{aligned}&{\mathit {\Sigma }}(U\mathrm {D} x+V\mathrm {D} y+W\mathrm {D} z)\\=&\lambda \left[\alpha \left({\frac {\partial W}{\partial y}}-{\frac {\partial V}{\partial z}}\right)+\beta \left({\frac {\partial U}{\partial z}}-{\frac {\partial W}{\partial x}}\right)+\gamma \left({\frac {\partial V}{\partial x}}-{\frac {\partial U}{\partial y}}\right)\right]_{m},\end{aligned}}\,$

wo der angehängte Index $m\,$ andeuten soll, dass der ganze Ausdruck zu beziehen ist auf den vorhin festgesetzten Punct $m.\,$ Dieser Punct $m\,$ aber konnte auf $\lambda \,$ oder in unendlicher Nähe von $\lambda \,$ beliebig ge­wählt werden. Der aufgestellte Satz ist daher durch die Formel (23.) vollständig bewiesen.

     Zweiter Satz. Es seien $x,y,z\,$ und $x+\mathrm {D} x,y+\mathrm {D} y,z+\mathrm {D} z\,$ (ebenso wie im vorhergehenden Satz) zwei aufeinander folgende Puncte einer unendlich kleinen ebenen geschlos­senen Curve; von analoger Bedeutung seien $x_{1},y_{1},z_{1}\,$ und $x_{1}+\mathrm {D} x_{1},y_{1}+\mathrm {D} y_{1},z_{1}+\mathrm {D} z_{1},\,$ für irgend eine andere solche Curve; mit Bezug auf diese Puncte seien die Bezeichnungen eingeführt:

$(24.)\,$

${\begin{aligned}(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}+(z-z_{1})^{2}=r^{2}=R,\\x-x_{1}=\xi ,\quad y-y_{1}=\eta ,\quad z-z_{1}=\zeta ;\end{aligned}}\,$

endlich sei $f=f(r)\,$ eine beliebig gegebene Function von $r,\,$ und zur Abkürzung gesetzt:

$(24.b)\,$

${\frac {df}{dR}}=f^{\mathrm {I} },\quad \quad {\frac {d^{2}f}{dR^{2}}}=f^{\mathrm {II} };-\,$

alsdann wird das über beide Curven ausgedehnte Integral:

$(24.c)\,$

$K={\mathit {\Sigma \Sigma }}\ [f(\mathrm {D} x\mathrm {D} x_{1}+\mathrm {D} y\mathrm {D} y_{1}+\mathrm {D} z\mathrm {D} z_{1})]\,$

dargestellt sein durch den Ausdruck:

$(24.d)\,$

$4\lambda \lambda _{1}\left\lbrace {\begin{aligned}f^{\mathrm {II} }(\alpha \xi +\beta \eta +\gamma \zeta )(\alpha _{1}\xi +\beta _{1}\eta +\gamma _{1}\zeta )\\-(f^{\mathrm {II} }r^{2}+f^{\mathrm {I} })(\alpha \alpha _{1}+\beta \beta _{1}+\gamma \gamma _{1})\end{aligned}}\right\rbrace .\,$

Dieser Ausdruck ist bezogen zu denken auf irgend zwei Puncte $m\,$ und $m_{1},\,$ welche auf $\lambda \,$ und $\lambda _{1}\,$ beliebig gewählt sein können; dabei haben $\lambda ,\alpha ,\beta ,\gamma \,$ in Bezug auf die eine Curve die bekannte (im vorhergehenden Satz explicirte) Bedeutung, und $\lambda _{1},\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1}\,$ die analoge Bedeutung in Bezug auf die andere Curve.

     Beweis. - Das vorgelegte Integral

$(25.)\,$

$K={\mathit {\Sigma \Sigma }}\ [f\mathrm {D} x_{1}\cdot \mathrm {D} x+f\mathrm {D} y_{1}\cdot \mathrm {D} y+f\mathrm {D} z_{1}\cdot \mathrm {D} z]\,$

nimmt, falls man mit Hülfe des vorhergehenden Satzes (17.a, b, c) zunächst die Integration nach $\mathrm {D} x,\mathrm {D} y,\mathrm {D} z\,$ ausführt, folgende Gestalt an:

$(26.)\,$

$K=\lambda \ \cdot {\mathit {\Sigma }}\left[{\frac {\partial [f(\gamma \mathrm {D} y_{1}-\beta \mathrm {D} z_{1})]}{\partial x}}+{\frac {\partial [f(\alpha \mathrm {D} z_{1}-\gamma \mathrm {D} x_{1})]}{\partial y}}+{\frac {\partial [f(\beta \mathrm {D} x_{1}-\alpha \mathrm {D} y_{1})]}{\partial z}}\right];\,$

hierfür kann geschrieben werden:

$(27.)\,$

$K=\lambda \cdot {\mathit {\Sigma }}\ [U_{1}\mathrm {D} x_{1}+V_{1}\mathrm {D} y_{1}+W_{1}\mathrm {D} z_{1}],\,$

wo alsdann $U_{1},V_{1},W_{1}\,$ die Bedeutungen haben:

$(28.)\,$

${\begin{aligned}U_{1}&=\beta \ {\frac {\partial f}{\partial z}}-\gamma \ {\frac {\partial f}{\partial y}},\\V_{1}&=\gamma \ {\frac {\partial f}{\partial x}}-\alpha \ {\frac {\partial f}{\partial z}},\\W_{1}&=\alpha \ {\frac {\partial f}{\partial y}}-\beta \ {\frac {\partial f}{\partial x}}.\end{aligned}}\,$

     Bringt man nun die in (27.) noch vorhandene Integration ebenfalls zur Ausführung, wiederum mit Hülfe des Satzes (17.a, b, c); so erhält man:

$(29.)\,$

$K=\lambda \lambda _{1}\left[{\frac {\partial (\gamma _{1}V_{1}-\beta _{1}W_{1})}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial (\alpha _{1}W_{1}-\gamma _{1}U_{1})}{\partial y_{1}}}+{\frac {\partial (\beta _{1}U_{1}-\alpha _{1}V_{1})}{\partial z_{1}}}\right].\,$

     Aus (28.) ergibt sich:

$\gamma _{1}V_{1}-\beta _{1}W_{1}=(\alpha \alpha _{1}+\beta \beta _{1}+\gamma \gamma _{1}){\frac {\partial f}{\partial x}}-\alpha \left(\alpha _{1}{\frac {\partial f}{\partial x}}+\beta _{1}{\frac {\partial f}{\partial y}}+\gamma _{1}{\frac {\partial f}{\partial z}}\right),\,$

also mit Rücksicht auf (24.a, b):

$\gamma _{1}V_{1}-\beta _{1}W_{1}=[(\alpha \alpha _{1}+\beta \beta _{1}+\gamma \gamma _{1})\ \xi -\alpha (\alpha _{1}\xi +\beta _{1}\eta +\gamma _{1}\zeta )]\ 2f^{\mathrm {I} }.\,$

Hieraus folgt durch Differentiation nach $x_{1}:\,$

$(30.)\,$

${\begin{aligned}{\frac {\partial (\gamma _{1}V_{1}-\beta _{1}W_{1})}{\partial x_{1}}}=[(\alpha \alpha _{1}+\beta \beta _{1}+\gamma \gamma _{1})\xi -\alpha (\alpha _{1}\xi +\beta _{1}\eta +\gamma _{1}\zeta )](-4\xi f^{\mathrm {II} })\\+[(\alpha \alpha _{1}+\beta \beta _{1}+\gamma \gamma _{1})-\alpha \alpha _{1}](-2f^{\mathrm {I} });\end{aligned}}\,$

es ist nämlich zu beachten, dass z.B. $\xi =x-x_{1};\,$ mithin ${\frac {\partial \xi }{\partial x_{1}}}=-1\,$ ist. Bildet man die mit (30.) analogen Ausdrücke, und substituirt man alle diese Ausdrücke in (29.) so ergiebt sich sofort:

$(31.)\,$

$K=\lambda \lambda _{1}\left\lbrace {\begin{aligned}-4f^{\mathrm {II} }(\alpha \alpha _{1}+\beta \beta _{1}+\gamma \gamma _{1})r^{2}+4f^{\mathrm {II} }(\alpha \xi +\cdots )(\alpha _{1}\xi +\cdots )\\-4f^{\mathrm {I} }(\alpha \alpha _{1}+\beta \beta _{1}+\gamma \gamma _{1})\end{aligned}}\right\rbrace .\,$

Dies aber ist der behauptete Ausdruck (24.d).

     Beispiel. — Für den Specialfall

$(32.)\,$

$f={\frac {1}{\sqrt {R}}}={\frac {1}{r}}\,$

nehmen die Differentialquotienten (24.b) folgende Werthe an:

${\begin{aligned}f^{\mathrm {I} }&=-{\frac {1}{2R{\sqrt {R}}}}=-{\frac {1}{2r^{3}}},\\f^{\mathrm {II} }&=+{\frac {3}{4R^{2}{\sqrt {R}}}}=+{\frac {3}{4r^{5}}};\end{aligned}}\,$

woraus folgt:

$f^{\mathrm {II} }r^{2}+f^{\mathrm {I} }={\frac {1}{4r^{3}}}.\,$

In diesem Specialfalle gewinnt also unser Satz (24.c, d) folgende Gestalt:

$(33.)\,$

${\begin{aligned}&{\mathit {\Sigma }}{\mathit {\Sigma }}{\frac {\mathrm {D} x\mathrm {D} x_{1}+\mathrm {D} y\mathrm {D} y_{1}+\mathrm {D} z\mathrm {D} z_{1}}{r}}\\=\lambda \lambda _{1}&\left({\frac {3(\alpha \xi +\beta \eta +\gamma \zeta )(\alpha _{1}\xi +\beta _{1}\eta +\gamma _{1}\zeta )}{r^{5}}}-{\frac {(\alpha \alpha _{1}+\beta \beta _{1}+\gamma \gamma _{1})}{r^{3}}}\right);\end{aligned}}\,$

oder, was dasselbe ist, folgende:

$(34.)\,$

${\begin{aligned}&{\mathit {\Sigma \Sigma }}\ {\frac {\mathrm {D} x\mathrm {D} x_{1}+\mathrm {D} y\mathrm {D} y_{1}+\mathrm {D} z\mathrm {D} z_{1}}{r}}\\=\lambda \lambda _{1}&\left({\frac {3[\alpha (x-x_{1})+\cdots ][\alpha _{1}(x-x_{1})+\cdots ]}{r^{5}}}-{\frac {[\alpha \alpha _{1}+\cdots ]}{r^{3}}}\right).\end{aligned}}\,$

     Die rechte Seite dieser Formel, in welcher unter $x,y,z\,$ und $x_{1},y_{1},z_{1}\,$ die Coordinaten der Puncte $m\,$ und $m_{1}\,$ unter $r\,$ die gegen seitige Entfernung dieser Puncte, endlich unter $\alpha ,\beta ,\gamma \,$ und $\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1}\,$ die Richtungscosinus der in diesen Puncten auf $\lambda \,$ und $\lambda _{1}\,$ errichteten Normalen zu verstehen sind, lässt sich weiter vereinfachen. Bezeich­net man nämlich die eben genannten Normalen kurzweg mit $n\,$ und $n_{1},\,$ so ergiebt sich sofort:

${\begin{aligned}r^{2}&=(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}+(z-z_{1})^{2},\\r{\frac {\partial r}{\partial n}}&=(x-x_{1})\alpha +(y-y_{1})\beta +(z-z_{1})\gamma .\\r{\frac {\partial r}{\partial n_{1}}}&=-[(x-x_{1})\alpha _{1}+(y-y_{1})\beta _{1}+(z-z_{1})\gamma _{1}],\\r{\frac {\partial ^{2}r}{\partial n\ \partial n_{1}}}+{\frac {\partial r}{\partial n}}{\frac {\partial r}{\partial n_{1}}}&=-(\alpha \alpha _{1}+\beta \beta _{1}+\gamma \gamma _{1}).\end{aligned}}\,$

Demgemäss kann die rechte Seite jener Formel auch so geschrieben werden :

$\lambda \lambda _{1}\left(-{\frac {3}{r^{3}}}{\frac {\partial r}{\partial n}}{\frac {\partial r}{\partial n_{1}}}+{\frac {1}{r^{3}}}\left(r{\frac {\partial ^{2}r}{\partial n\ \partial n_{1}}}+{\frac {\partial r}{\partial n}}{\frac {\partial r}{\partial n_{1}}}\right)\right),\,$

oder auch so:

$\lambda \lambda _{1}\left(-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {\partial r}{\partial n}}{\frac {\partial r}{\partial n_{1}}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}r}{\partial n\ \partial n_{1}}}\right),\,$

oder endlich auch so:

$-\lambda \lambda _{1}{\frac {\partial ^{2}{\frac {1}{r}}}{\partial n\ \partial n_{1}}}.\,$

Jene Formel selber nimmt daher die Gestalt an:

$(35.)\,$

${\mathit {\Sigma \Sigma }}\ {\frac {\mathrm {D} x\mathrm {D} x_{1}+\mathrm {D} y\mathrm {D} y_{1}+\mathrm {D} z\mathrm {D} z_{1}}{r}}=-\lambda \lambda _{1}{\frac {\partial ^{2}{\frac {1}{r}}}{\partial n\ \partial n_{1}}}.\,$

„Sind also zwei unendlich kleine ebene geschlossene Curven gegeben mit den Elementen $\mathrm {D} s\,$ und $\mathrm {D} s_{1}\,$ und bezeichnet $r\,$ die Entfer­nung zweier solcher Elemente von einander, so wird das über beide Curven ausgedehnte Integral

$(36.a)\,$

${\mathit {\Sigma \Sigma }}\ {\frac {\mathrm {D} s\mathrm {D} s_{1}\ \cos \ (\mathrm {D} s,\mathrm {D} s_{1})}{r}}\,$

„einen Werth besitzen, welcher sich ausdrücken lässt durch:

$(36.b)\,$

$-\lambda \lambda _{1}{\frac {\partial ^{2}{\frac {1}{r}}}{\partial n\ \partial n_{1}}}.\,$

„In diesem Ausdruck bezeichnen $\lambda ,\lambda _{1}\,$ die von den beiden Curven be grenzten Flächen; ferner ist daselbst unter $r\,$ die gegenseitige Entfernung zweier Puncte $m,m_{1}\,$ zu verstehen, welche auf $\lambda ,\lambda _{1}\,$ beliebig gewählt werden dürfen; endlich sind unter $n,n_{1}\,$ diejenigen auf $\lambda ,\lambda _{1}\,$ in den Puncten $m,m_{1}\,$ errichteten Normalen zu verstehen, welche positiv liegen zu den durch $\mathrm {D} s,\mathrm {D} s_{1}\,$ indicirten Umlaufrichtungen ^[1].“

     Dritter Satz. Ist eine lediglich von $r\,$ abhängende Function $f\,$ von solcher Beschaffenheit gegeben, dass für sie das (im vorgehenden Satz genannte) Integral

$(37.)\,$

$K={\mathit {\Sigma \Sigma }}\ [f(\mathrm {D} x\mathrm {D} x_{1}+\mathrm {D} y\mathrm {D} y_{1}+\mathrm {D} z\mathrm {D} z_{1})]\,$

jederzeit verschwindet, wie beschaffen die beiden geschlossenen Curven, über welche das Integral sich ausdehnt, ihrer Lage, Grösse und Gestalt nach auch sein mögen; — so folgt daraus, dass jene Function $f\,$ eine Constante ist.

     Beweis. — Es ist vorausgesetzt, $f\,$ wäre von solcher Beschaffenheit, dass $K\,$ verschwindet für zwei ganz beliebige geschlossene Curven. Aus dieser Voraussetzung folgt, dass $K\,$ z. B. auch dann verschwindet, wenn die Curven unendlich klein und eben sind; in diesem Falle aber hat $K,\,$ nach (24.c, d), den Werth

$(38.)\,$

$K=4\lambda \lambda _{1}\left\lbrace {\begin{aligned}f^{\mathrm {II} }(\alpha \xi +\beta \eta +\gamma \zeta )\ (\alpha _{1}\xi +\beta _{1}\eta +\gamma _{1}\zeta )\\-(f^{\mathrm {II} }r^{2}+f^{\mathrm {I} })\ (\alpha \alpha _{1}+\beta \beta _{1}+\gamma \gamma _{1})\end{aligned}}\right\rbrace .\,$

Aus der gemachten Voraussetzung folgt mithin, dass dieser Ausdruck (38.) verschwindet, und zwar immer verschwindet, wie beschaffen die relative Lage der unendlich kleinen Curven auch sein mag. Oder mit andern Worten: aus der gemachten Voraussetzung folgt, dass dieser Ausdruck (38.) verschwindet für beliebige Werthe der Richtungscosinus:

${\begin{aligned}&\alpha ,&\beta ,&&\gamma ,\\&\alpha _{1},&\beta _{1},&&\gamma _{1},\\&{\frac {\xi }{r}},&{\frac {\eta }{r}},&&{\frac {\zeta }{r}}.\end{aligned}}\,$

Solches constatirt, ergiebt sich sofort, dass $f^{\mathrm {I} }\,$ und $f^{\mathrm {II} }\,$ identisch mit Null sein müssen, dass also $f\,$ selber unabhängig von $R,\,$ oder (was dasselbe) unabhängig von $r\,$ sein muss. W. z. b. w.

     Vierter Satz. Es seien $\mathrm {D} s\,$ und $\mathrm {D} s_{1}\,$ die Elemente zweier geschlossener Curven, und $r\,$ ihre gegenseitige Entfernung; ausserdem sei gesetzt:

$\cos \ (\mathrm {D} s,\mathrm {D} s_{1})=\mathrm {E} ,\quad \cos \ (\mathrm {D} s,r)=\Theta ,\quad \cos \ (\mathrm {D} s_{1},r)=\Theta _{1},\,$

wo $r\,$ gerechnet sein soll von $\mathrm {D} s_{1}\,$ nach $\mathrm {D} s.\,$

     Alsdann wird für eine beliebige nur von $r\,$ abhängende Function $F=F(r)\,$ jederzeit die Gleichung stattfinden:

$(39.)\,$

${\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {D} s\mathrm {D} s_{1}\left[\left(\int {\frac {Fdr}{r}}\right)\mathrm {E} +F\Theta \Theta _{1}\right]=0,\,$

die Integration ausgedehnt gedacht über jene beiden geschlossenen Curven.

     Beweis. — Der Satz ist, abgesehen von der etwas abweichenden Form, identisch mit einem schon früher (pag. 69) gefundenem Satze.

     Fünfter Satz. Hält man fest an den Bezeichnungen des vorhergehenden Satzes, versteht man ferner unter $E=E(r)\,$und $F=F(r)\,$ irgend zwei nur von $r\,$ abhängende Functionen, und ist bekannt, dass das über zwei geschlossene Curven ausgedehnte Integral

$(40.a)\,$

$L={\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {D} s\mathrm {D} s_{1}\ (E\mathrm {E} -F\Theta \Theta _{1})\,$

jederzeit verschwindet, wie beschaffen jene beiden geschlos­senen Curven auch sein mögen; — so folgt daraus, dass die beiden Functionen $E\,$ und $F\,$ miteinander verknüpft sind durch die Relation:

$(40.b)\,$

$r{\frac {dE}{dr}}+F=0.\,$

     Beweis. — Addirt man zu dem Integrale

$L={\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {D} s\mathrm {D} s_{1}\ (E\mathrm {E} -F\Theta \Theta _{1})\,$

das zufolge des vorhergehenden Satzes jederzeit verschwindende Integral (39.):

${\mathit {\Sigma \Sigma }}\mathrm {D} s\mathrm {D} s_{1}\left[\left(\int {\frac {Fdr}{r}}\right)\mathrm {E} +F\Theta \Theta _{1}\right],\,$

so erhält man

$L={\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {D} s\mathrm {D} s_{1}\ \left(E+\int {\frac {Fdr}{r}}\right)\mathrm {E} ,\,$

d.i.

$L={\mathit {\Sigma \Sigma }}\left[\left(E+\int {\frac {Fdr}{r}}\right)(\mathrm {D} x\mathrm {D} x_{1}+\mathrm {D} y\mathrm {D} y_{1}+\mathrm {D} z\mathrm {D} z_{1})\right],\,$

wo $\mathrm {D} x,\mathrm {D} y,\mathrm {D} z\,$ und $\mathrm {D} x_{1},\mathrm {D} y_{1},\mathrm {D} z_{1}\,$ die rechtwinkligen Projectionen von $\mathrm {D} s\,$ und $\mathrm {D} s_{1}\,$ vorstellen.

     In Betreff der Functionen $E,F\,$ ist nun in unserm Satze als bekannt vorausgesetzt, dass dieses Integral $L\,$ verschwindet für zwei geschlossene Curven, wie beschaffen dieselben auch sein mögen. Aus dieser Voraussetzung aber folgt mit Rückblick auf (37.) sofort, dass die Function

$E+\int {\frac {Fdr}{r}}\,$

eine Constante ist. Es ergiebt sich also:

$E+\int {\frac {Fdr}{r}}={\text{Const.}},\,$

und hieraus durch Differentiation nach $r:\,$

${\frac {dE}{dr}}+{\frac {F}{r}}=0;\ {\text{w. z. b. w.}}\,$

     Corollar. Sind die Functionen

$U=U(x,y,z),\quad V=V(x,y,z),\quad W=W(x,y,z)\,$

von solcher Beschaffenheit, dass das über eine in sich zurücklaufende Curve hinerstreckte Integral

${\mathit {\Sigma }}\ (U\mathrm {D} x+V\mathrm {D} y+W\mathrm {D} z),\,$

wie jene Curve im Uebrigen auch beschaffen sein mag, jederzeit verschwindet, so wird der Ausdruck

$U\mathrm {D} x+V\mathrm {D} y+W\mathrm {D} z\,$

ein vollständiges Differential sein.

     Der Beweis dieser Behauptung ergiebt sich unmittelbar durch Anwendung des ersten Satzes ^[2]. Auch erkennt man leicht, dass, mit Bezug auf ein Gebiet von $n\,$ Dimensionen, Analoges gelten wird von einem Ausdruck von der Form:

$U_{1}\mathrm {D} x_{1}+U_{2}\mathrm {D} x_{2}+U_{3}\mathrm {D} x_{3}\ldots .+U_{n}\mathrm {D} x_{n},\,$

wo jedes $U\,$ eine Function von $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots x_{n}\,$ vorstellen soll.

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1. Jedem der Elemente $\mathrm {D} s,\mathrm {D} s_{1}\,$ ist nämlich eine bestimmte Richtung zuertheilt zu denken. Denn sonst würde $\cos \ (\mathrm {D} s,\mathrm {D} s_{1}),\,$ und ebenso also auch das Integral (36.a), um dessen Werthermittelung es sich handelt, keine bestimmte Bedeutung haben.
2. Selbstverständlich sind, wenn jener erste Satz (pag. 88), und ebenso das hier angegebene Corollar, wirklich strenge sein sollen, noch gewisse Bedingungen der Stetigkeit und Eindeutigkeit hinzuzufügen. Derartige Bedingungen sind hier (und auch an andern Stellen dieses Werkes) absichtlich unterdrückt worden, um nicht, durch allerhand leicht zu suppeditirendes Beiwerk, den Blick von der Hauptsache abzulenken.