Die elektrischen Kräfte/Zusammenstellung:§24

« Zusammenstellung:§23	Carl Gottfried Neumann Die elektrischen Kräfte	Zusammenstellung:§25 »
fertig Fertig! Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle Korrektur gelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext.
Für eine seitenweise Ansicht und den Vergleich mit den zugrundegelegten Scans, klicke bitte auf die entsprechende Seitenzahl (in eckigen Klammern).

§. 24. Betrachtungen zur Ergänzung des Vorhergehenden.

Es soll hier der Beweis geliefert werden für die ausgesprochene Behauptung, dass der Gleichung (53.) Genüge geschieht, wenn man in ihr für $\sigma$ eine völlig willkührliche Function von $r$ einsetzt.

Gehören die Puncte $\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)$ und $\left(x_{1},y_{1},z_{1}\right)$ zwei Ringen an, welche ohne Gleitstellen, jedoch biegsam sind, und ihrer Lage und Gestalt nach von Augenblick zu Augenblick sich ändern, so werden die Coordinaten jener beiden Puncte in folgender Weise darstellbar sein:

(55.)

${\begin{array}{lll}x_{0}=\lambda \left(s_{0},t\right),&&x_{1}=\Lambda \left(s_{1},t\right),\\y_{0}=\mu \left(s_{0},t\right),&&y_{1}={\mathsf {M}}\left(s_{1},t\right),\\z_{0}=\nu \left(s_{0},t\right),&&z_{1}={\mathsf {N}}\left(s_{1},t\right),\end{array}}$

wo $s_{0},s_{1}$, die Bogenlängen der beiden Puncte sind, und $t$ die Zeit bezeichnet. Diesen Darstellungen entsprechend, sind die Formeln zu bemerken:

(56.)

$\Theta _{0}=+{\frac {\partial r}{\partial s_{0}}},\quad \Theta _{1}=-{\frac {\partial r}{\partial s_{1}}},$

wo $r,\Theta _{0},\Theta _{1}$ dieselben Grössen sein sollen, wie im Ampère’schen Gesetz (pag. 44).

Zur Untersuchung sei nun vorgelegt das über die beiden Ringe ausgedehnte Integral:

(57.)

$K=\Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}U\left(\Theta _{0}d\Theta _{1}-\Theta _{1}d\Theta _{0}\right)$

wo $U$ eine beliebige Function von $r$ vorstellen mag, und $d\Theta _{0},\ d\Theta _{1}$ die dem Zeitelement $dt$ entsprechenden Aenderungen von $\Theta _{0},\Theta _{1}$ bezeichnen sollen. Dieses Integral $K$ kann mit Rücksicht auf (55.), (56.) auch so geschrieben werden:

(58.)

$K=dt\cdot \Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}U\left(-{\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}{\frac {\partial ^{2}r}{\partial s_{1}\partial t}}+{\frac {\partial r}{\partial s_{1}}}{\frac {\partial ^{2}r}{\partial s_{0}\partial t}}\right),$

oder, wenn $\int U\ dr=V$, mithin $U={\frac {dV}{dr}}$ gesetzt wird, auch so:

(59.)

$K=dt\cdot \Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\left(-{\frac {\partial V}{\partial s_{0}}}{\frac {\partial ^{2}r}{\partial s_{1}\partial t}}+{\frac {\partial V}{\partial s_{1}}}{\frac {\partial ^{2}r}{\partial s_{0}\partial t}}\right).$

Nun findet aber, weil $U,V$ lediglich Functionen von $r$ sein sollen, die identische Gleichung statt:

$-{\frac {\partial V}{\partial s_{0}}}{\frac {\partial ^{2}r}{\partial s_{1}\partial t}}+{\frac {\partial V}{\partial s_{1}}}{\frac {\partial ^{2}r}{\partial s_{0}\partial t}}\equiv -{\frac {\partial }{\partial s_{1}}}\left({\frac {\partial V}{\partial s_{0}}}{\frac {\partial r}{\partial t}}\right)+{\frac {\partial }{\partial s_{0}}}\left({\frac {\partial V}{\partial s_{1}}}{\frac {\partial r}{\partial t}}\right).$

Somit folgt aus (59.):

(60.)

$K=0,\,$

w. z. b. w.