Die elektrischen Kräfte/Zusammenstellung:§25

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§. 25. Betrachtung von Stromringen, welche behaftet sind mit sogenannten Gleitstellen.

Es seien gegeben zwei mit Gleitstellen behaftete Ringe $A$ und $B$, die in irgend welchen Bewegungen begriffen und von elektrischen Strömen durchflossen sind. Doch mögen die Ströme als gleichförmig vorausgesetzt werden.

Die zur Zeit $t$ im Ringe $A$ vorhandenen Elemente mögen mit ${\mathsf {D}}s_{0}$ benannt sein, und andererseits mögen diejenigen Elemente, welche während des Zeitelementes $dt$ in den Ring $A$ eintreten oder aus ihm ausscheiden, in dem früher angegebenen collectiven Sinne (pag. 65) mit $\Delta s_{0}$ bezeichnet sein. Analoge Bedeutungen mögen ${\mathsf {D}}s_{1}$ und $\Delta s_{1}$ besitzen für den Ring $B$.

Zur Vereinfachung wollen wir vorläufig annehmen, dass die Elemente $\Delta s_{0}$ und $\Delta s_{1}$ sämmtlich positiv sind, dass also während der Zeit $dt$ in beiden Ringen nur eintretende, nicht aber ausscheidende Elemente vorhanden sind.

Die elektromotorische Kraft eldy. Us: ${\mathfrak {E}}_{0}^{1}dt$, welche ${\mathsf {D}}s_{1}$ während der Zeit $dt$ in irgend einem Puncte von ${\mathsf {D}}s_{0}$, in der Richtung von ${\mathsf {D}}s_{0}$, hervorruft, hat (pag. 148) den Werth:

(1.)	${\mathfrak {E}}_{0}^{1}dt={\frac {J_{1}{\mathsf {D}}s_{1}\left[(d\Omega +{\mathsf {P}}dr)+\sigma \left(\Theta _{0}d\Theta _{1}-\Theta _{1}d\Theta _{0}\right)\right]}{2}}+\left(dJ_{1}\right){\mathsf {D}}s_{1}\Omega ,\qquad {\scriptstyle \left({{\mathsf {D}}s_{1} \atop {\mathsf {D}}s_{0}}\right)}$

wo $dJ_{1}$ den der Zeit $dt$ entsprechenden Zuwachs der Stromstärke vorstellt. Die rechter Hand beigefügte Signatur ${\scriptstyle \left({{\mathsf {D}}s_{1} \atop {\mathsf {D}}s_{0}}\right)}$ mag dienen, um diejenigen Elemente im Auge zu behalten, auf welche die Formel sich bezieht.

Die analoge Formel für die Einwirkung von $\Delta s_{1}$ auf ${\mathsf {D}}s_{0}$ lautet:

(2.)	${\mathfrak {E}}_{0}^{1}dt={\frac {Y_{1}\Delta s_{1}\left[(d\Omega -{\mathsf {P}}dr)+\sigma \left(\Theta _{0}d\Theta _{1}-\Theta _{1}d\Theta _{0}\right)\right]}{2}}+J_{1}\Delta s_{1}\Omega .\quad {\scriptstyle \left({\Delta s_{1} \atop {\mathsf {D}}s_{0}}\right)}$

Dass im letzten Gliede $J_{1}$ zu setzen ist, unterliegt keinem Zweifel. Denn $\Delta s_{1}$ ist ein während der Zeit $dt$ neu eintretendes Element; seine Stromstärke wächst also während dieser Zeit von 0 auf $J_{1}$ an. Fraglich aber erscheint, welcher Werth im ersten Gliede dem $Y_{1}$ beizulegen ist.

In der früheren Formel (1.) ist es mit Bezug auf jenes erste Glied einerlei, ob dort $J_{1}$ selber, oder statt dessen $J_{1}+dJ_{1}$ gesetzt wird, also einerlei, ob daselbst der Werth der Stromstärke zu Anfang oder zu Ende der Zeit $dt$ genommen wird; denn der Unterschied zwischen $J_{1}$ und $J_{1}+dJ_{1}$ ist unendlich klein. In der Formel (2.) hingegen scheint eine solche Verwechselung nicht gestattet, weil die Stromstärke in $\Delta s_{1}$ zu Anfang und zu Ende der Zeit $dt$ die sehr verschiedenen Werthe 0 und $J_{1}$ besitzt. Es fragt sich also, ob in der Formel (2.) für $Y_{1}$ der Werth 0, oder $J_{1}$, oder vielleicht ein gewisser Mittelwerth zu nehmen ist. Um rationell zu verfahren, würde die Zeit $dt$ von Neuem in unendlich viele, etwa $n$ Zeitelemente, und die Drahtlänge $\Delta s_{1}$ in die $n$ correspondirenden Elemente zu zerlegen sein, u. s. w.

Glücklicherweise sind indessen solche Erörterungen nicht erforderlich. Man bemerkt sofort, dass das erste Glied der Formel (2.) verschwindend klein ist gegen das zweite, dass nämlich letzteres (in Folge des $\Delta s_{1}$) unendlich klein erster Ordnung, ersteres hingegen (in Folge von $\Delta s_{1}$ und $d\Omega ,\ dr,\ d\Theta _{0},\ d\Theta _{1}$) unendlich klein zweiter Ordnung ist. Somit reducirt sich die Formel (2.) auf:

(3.)	${\mathfrak {E}}_{0}^{1}dt=J_{1}\Delta s_{1}\Omega .\qquad {\scriptstyle \left({\Delta s_{1} \atop Ds_{0}}\right)}$

Denkt man sich die Formel (1.) für sämmtliche ${\mathsf {D}}s_{1}$, und die Formel (3.) für sämmtliche $\Delta s_{1}$ der Reihe nach hingestellt, so gelangt man durch Addition all’ dieser Formeln zu dem Ergebniss:

(4.)

${\begin{array}{lll}dt\cdot \Sigma \ {\mathfrak {E}}_{0}^{1}&=J_{1}\left[{\frac {\Sigma \ {\mathsf {D}}s_{1}(d\Omega -{\mathsf {P}}dr)}{2}}+\Sigma \ \Delta s_{1}\Omega \right]\\\\&+J_{1}{\frac {\Sigma \ {\mathsf {D}}s_{1}\sigma \left(\Theta _{0}d\Theta _{1}-\Theta _{1}d\Theta _{0}\right)}{2}}&{\scriptstyle \left({B \atop {\mathsf {D}}s_{0}}\right)}\\\\&+\left(dJ_{1}\right)\Sigma \ {\mathsf {D}}s_{1}\Omega ;\end{array}}$

dies also ist diejenige elektromotorische Kraft eldy. Us, welche der ganze Ring $B$ während der gegebenen Zeit $dt$ hervorbringt in irgend einem Puncte von ${\mathsf {D}}s_{0}$, die Kraft gerechnet in der Richtung von ${\mathsf {D}}s_{0}$.

Aus (4.) folgt durch Multiplication mit ${\mathsf {D}}s_{0}$ und Summation über sämmtliche ${\mathsf {D}}s_{0}$ sofort:

(5.)

${\begin{array}{lll}dt\cdot \Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}{\mathfrak {E}}_{0}^{1}&=J_{1}\left[{\frac {\Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}(d\Omega -{\mathsf {P}}dr)}{2}}+\Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}\Delta s_{1}\Omega \right]\\\\&+J_{1}{\frac {\Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\sigma \left(\Theta _{0}d\Theta _{1}-\Theta _{1}d\Theta _{0}\right)}{2}}&{\scriptstyle \left({B \atop A}\right)}\\\\&+\left(dJ_{1}\right)\Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\Omega ;\end{array}}$

dies ist diejenige elektromotorische Kraft eldy. Us, welche der ganze Ring $B$ im ganzen Ringe $A$ während der Zeit $dt$ hervorbringt. Allerdings scheinen hiebei die Elemente $\Delta s_{0}$ noch nicht berücksichtigt zu sein. Wollte man aber diese Elemente $\Delta s_{0}$ mit in Rechnung ziehen, so würde, weil die Anzahl der $\Delta s_{0}$ endlich (nämlich entsprechend der Anzahl der in $A$ vorhandenen Gleitstellen), die Anzahl der ${\mathsf {D}}s_{0}$ hingegen unendlich gross ist, zu dem in (5.) angegebenem Ausdruck nur noch ein Glied hinzutreten, welches diesem Ausdruck gegenüber verschwindend klein ist.

Nur der Bequemlichkeit willen war bisher vorausgesetzt, die $\Delta s_{0}$ und $\Delta s_{1}$ seien sämmtlich positiv. Nachträglich übersieht man leicht, dass die erhaltene Formel (5.) auch dann noch gültig sein wird, wenn die $\Delta s_{0}$ und $\Delta s_{1}$ theils positiv theils negativ sind, also gültig sein wird, einerlei ob während der Zeit $dt$ in jedem der beiden Ringe nur eintretende, oder gleichzeitig auch ausscheidende Elemente vorhanden sind.

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Um den Ausdruck (5.) zu vereinfachen, sei bemerkt, dass das elektrodynamische Potential $P$ (vergl. pag. 146) der beiden Ringe $A,B$ auf einander sich darstellen lässt durch

(6.)	${\begin{array}{l}P=J_{0}J_{1}Q,\\Q=\Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\Omega ;\end{array}}$

woraus mit Bezug auf die Zeit $dt$ sich ergiebt:

(7.)	${\begin{array}{l}dP=Qd\left(J_{0}J_{1}\right)+J_{0}J_{1}dQ,\\dQ=\Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}d\Omega +\Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}\Delta s_{1}\Omega +\Sigma \Sigma \ \Delta s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\Omega .\end{array}}$

Andererseits sei bemerkt, dass nach einem früher gefundenem Satz [(52.g), pag. 55] die Formel stattfindet:

(8.)	$dQ=-{\frac {\Sigma \Sigma \ Rdr}{J_{0}J_{1}}}=-{\frac {J_{0}J_{1}\cdot \Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}{\mathsf {P}}dr}{J_{0}J_{1}}},$

wo $R=J_{0}J_{1}\cdot {\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}{\mathsf {P}}$ diejenige ponderomotorische Kraft eldy. Us bezeichnet, welche zwei Elemente $J_{0}{\mathsf {D}}s_{0}$ und $J_{1}{\mathsf {D}}s_{1}$ (nach dem Ampère’schen Gesetz) auf einander ausüben. Durch Addition der beiderlei Werthe von $dQ$, in (7.) und (8.), erhält man:

(9.)	$2dQ=\Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}(d\Omega -{\mathsf {P}}dr)+\Sigma \Sigma \ \left({\mathsf {D}}s_{0}\Delta s_{1}\Omega +\Delta s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\Omega \right);$

oder anders geschrieben:

(10.)

$J_{1}{\frac {\Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}(d\Omega -{\mathsf {P}}dr)}{2}}=J_{1}dQ-J_{1}{\frac {\Sigma \Sigma \left({\mathsf {D}}s_{0}\Delta s_{1}\Omega +\Delta s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\Omega \right)}{2}},$

oder falls $J_{1}\cdot \Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}\Delta s_{1}\Omega$ auf beiden Seiten addirt wird:

(11.)

${\begin{array}{l}J_{1}\left[{\frac {\Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}(d\Omega -{\mathsf {P}}dr)}{2}}+\Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}\Delta s_{1}\Omega \right]\\\\\qquad =J_{1}dQ+J_{1}{\frac {\Sigma \Sigma \left({\mathsf {D}}s_{0}\Delta s_{1}\Omega -\Delta s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\Omega \right)}{2}}.\end{array}}$

Soviel in Betreff des Gliedes erster Zeile in (5.).

Es handelt sich nun ferner um eine gewisse Umgestaltung des dortigen Gliedes zweiter Zeile. Aehnlich wie früher (pag. 58, 59) mag die Entfernung $r$ zweier Elemente der Ringe $A$ und $B$ aufgefasst werden als eine Function von vier Argumenten

$s_{0},\ \tau _{0},\ s_{1},\ \tau _{1},$

der Art, dass die Zeit, je nachdem sie in den Coordinaten des zu $A$ oder zu $B$ gehörigen Elements enthalten ist, mit $\tau _{0}$ oder $\tau _{1}$ bezeichnet, und die Bogenlänge $s_{0}$ oder $s_{1}$ jedesmal längs desjenigen speciellen Bahnstückes gerechnet wird, dem das Element angehört. Alsdann ist $\Theta _{0}={\frac {\partial r}{\partial s_{0}}},\ \Theta _{1}=-{\frac {\partial r}{\partial s_{1}}}$, mithin:

(12.)

${\begin{array}{ll}\sigma \left(\Theta _{0}d\Theta _{1}-\Theta _{1}d\Theta _{0}\right)&=\sigma \left[{\frac {\partial r}{\partial s_{1}}}d\left({\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}\right)-{\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}d\left({\frac {\partial r}{\partial s_{1}}}\right)\right],\\\\&=\sigma \left[{\frac {\partial r}{\partial s_{1}}}{\frac {\partial ^{2}r}{\partial s_{0}\partial t}}-{\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}{\frac {\partial ^{2}r}{\partial s_{1}\partial t}}\right]dt,\end{array}}$

wo offenbar ${\frac {\partial }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial \tau _{0}}}+{\frac {\partial }{\partial \tau _{1}}}$. Setzt man nun zur Abkürzung:

(13.)

$\int \sigma \ dr=\lambda ,\qquad \sigma ={\frac {d\lambda }{dr}},$

so ergiebt sich weiter:

(14.)

${\begin{array}{ll}\sigma \left(\Theta _{0}d\Theta _{1}-\Theta _{1}d\Theta _{0}\right)&=\left[{\frac {\partial \lambda }{\partial s_{1}}}{\frac {\partial ^{2}r}{\partial s_{0}\partial t}}-{\frac {\partial \lambda }{\partial s_{0}}}{\frac {\partial ^{2}r}{\partial s_{1}\partial t}}\right]dt,\\\\&=\left[{\frac {\partial }{\partial s_{0}}}\left({\frac {\partial \lambda }{\partial s_{1}}}{\frac {\partial r}{\partial t}}\right)-{\frac {\partial }{\partial s_{1}}}\left({\frac {\partial \lambda }{\partial s_{0}}}{\frac {\partial r}{\partial t}}\right)\right]dt,\end{array}}$

und folglich:

(15.)

${\begin{array}{l}J_{1}{\frac {\Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\sigma \left(\Theta _{0}d\Theta _{1}-\Theta _{1}d\Theta _{0}\right)}{2}}\\\\\qquad =J_{1}{\frac {dr}{2}}\cdot \Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\left[{\frac {\partial }{\partial s_{0}}}\left({\frac {\partial \lambda }{\partial s_{1}}}{\frac {\partial r}{\partial t}}\right)-{\frac {\partial }{\partial s_{1}}}\left({\frac {\partial \lambda }{\partial s_{0}}}{\frac {\partial r}{\partial t}}\right)\right].\end{array}}$

Die Integration rechter Hand kann weiter ausgeführt werden mit Hülfe von früher [(74. p,q) pag. 64] gefundenen Formeln; aus denselben ergiebt sich nämlich sofort: ${\begin{array}{ll}dt\cdot \Sigma {\frac {\partial }{\partial s_{0}}}\left({\frac {\partial \lambda }{\partial s_{1}}}{\frac {\partial r}{\partial \tau _{0}}}\right){\mathsf {D}}s_{0}&=-\Sigma {\frac {\partial \lambda }{\partial s_{1}}}{\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}\Delta s_{0},\\\\dt\cdot \Sigma {\frac {\partial }{\partial s_{0}}}\left({\frac {\partial \lambda }{\partial s_{1}}}{\frac {\partial r}{\partial \tau _{1}}}\right){\mathsf {D}}s_{0}&=0,\end{array}}$

woraus durch Addition folgt:

(16.a)

${\begin{array}{ll}dt\cdot \Sigma {\frac {\partial }{\partial s_{0}}}\left({\frac {\partial \lambda }{\partial s_{1}}}{\frac {\partial r}{\partial t}}\right){\mathsf {D}}s_{0}&=-\Sigma {\frac {\partial \lambda }{\partial s_{1}}}{\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}\Delta s_{0}\\\\&=-\Sigma {\frac {\partial \lambda }{\partial r}}{\frac {\partial r}{\partial s_{1}}}{\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}\Delta s_{0}.\end{array}}$

In gleicher Weise ergiebt sich die analoge Formel:

(16.b)

${\begin{array}{ll}dt\cdot \Sigma {\frac {\partial }{\partial s_{1}}}\left({\frac {\partial \lambda }{\partial s_{0}}}{\frac {\partial r}{\partial t}}\right){\mathsf {D}}s_{1}&=-\Sigma {\frac {\partial \lambda }{\partial s_{0}}}{\frac {\partial r}{\partial s_{1}}}\Delta s_{1}\\\\&=-\Sigma {\frac {\partial \lambda }{\partial r}}{\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}{\frac {\partial r}{\partial s_{1}}}\Delta s_{1}.\end{array}}$

Nun ist ${\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}=\Theta _{0},\ {\frac {\partial r}{\partial s_{1}}}=-\Theta _{1},$ und [nach (13.)] ${\frac {\partial \lambda }{\partial r}}=\sigma$. Die Formeln (16.a,b) können daher auch so geschrieben werden:

(17.a)

$dt\cdot \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}{\frac {\partial }{\partial s_{0}}}\left({\frac {\partial \lambda }{\partial s_{1}}}{\frac {\partial r}{\partial t}}\right)=\Sigma \ \Delta s_{0}\sigma \Theta _{0}\Theta _{1},$

(17.b)

$dt\cdot \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{1}{\frac {\partial }{\partial s_{1}}}\left({\frac {\partial \lambda }{\partial s_{0}}}{\frac {\partial r}{\partial t}}\right)=\Sigma \ \Delta s_{1}\sigma \Theta _{0}\Theta _{1},$

Durch (17. a,b) gewinnt der Ausdruck (15.) folgende Gestalt:

(18.)

${\begin{array}{l}J_{1}{\frac {\Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\sigma \left(\Theta _{0}d\Theta _{1}-\Theta _{1}d\Theta _{0}\right)}{2}}\\\\\qquad =J_{1}{\frac {\Sigma \Sigma \left(\Delta s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\sigma \Theta _{0}\Theta _{1}-{\mathsf {D}}s_{0}\Delta s_{1}\sigma \Theta _{0}\Theta _{1}\right)}{2}}.\end{array}}$

Endlich kann das Glied dritter Zeile in (5.), mit Rücksicht auf (6.), sofort in die Form gebracht werden:

(19.)

$\left(dJ_{1}\right)\Sigma \Sigma \cdot {\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\Omega =\left(dJ_{1}\right)Q=QdJ_{1}.$

---

Substituirt man nun in (5.) für die einzelnen Glieder die gefundenen Werthe (11.), (18.), (19.), so folgt:

(20.a)

$dt\cdot \Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}{\mathfrak {E}}_{0}^{1}=d\left(J_{1}Q\right)+J_{1}{\frac {\Sigma \Sigma \left({\mathsf {D}}s_{0}\Delta s_{1}\Upsilon -\Delta s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\Upsilon \right)}{2}},$

wo $\Upsilon$ die Bedeutung hat:

(20.b)

${\begin{array}{ll}\Upsilon &=\Omega -\sigma \Theta _{0}\Theta _{1},\\&=(\omega -\sigma )\Theta _{0}\Theta _{1}+{\overset {II}{\omega }}{\mathsf {E}};\end{array}}$

denn $\Omega$ hat den Werth $\omega \Theta \Theta _{1}+{\overset {II}{\omega }}{\mathsf {E}}$, (vergl. pag. 133).

Das von meinem Vater (auch für den Fall von Gleitstellen) proponirte Integralgesetz drückt sich aus durch die Formel (pag. 113):

(21.)

$dt\cdot \Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}{\mathfrak {E}}_{0}^{1}=d\left(J_{1}Q\right).$

Soll zwischen dieser und der hier gefundenen Formel (20.a) Uebereinstimmung vorhanden sein, so müsste für je zwei mit Gleitstellen behaftete Ringe, wie dieselben auch beschaffen sein mögen, immer die Gleichung stattfinden:

($\alpha$.)

$\Sigma \Sigma \left({\mathsf {D}}s_{0}\Delta s_{1}\Upsilon -\Delta s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\Upsilon \right)=0,$

Zur Erfüllung dieser Gleichung aber ist, weil die $\Delta s_{0}$ und $\Delta s_{1}$ ihrer Anzahl und Lage nach willkührlich sind, erforderlich und ausreichend, dass für eine beliebig gegebene geschlossene Curve $s_{0}$ und für ein beliebig gegebenes einzelnes Linienelement $\Delta s_{1}$ immer die Gleichung stattfindet:

($\beta$.)

$\Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}\Upsilon =0,$

das $\Upsilon$ bezogen gedacht einerseits auf die Elemente ${\mathsf {D}}s_{0}$ der Curve, andererseits auf jenes einzelne Element $\Delta s_{1}$.

(22.), ... „Die Gleichung ($\beta$.) ist also die nothwendige und ausreichende Bedingung dafür, dass zwischen den beiderlei Gesetzen (20.a,b) und (21.) Uebereinstimmung stattfindet.“

Es sind die Consequenzen zu untersuchen, welche aus dieser Bedingung für die Beschaffenheit von $\Upsilon$ resultiren. — Findet die Gleichung ($\beta$.) statt für jede geschlossene Curve und jedes daneben gegebene einzelne Element, so wird auch für je zwei geschlossene Curven $s_{0}$ und $s_{1}$ beständig die Gleichung stattfinden:

($\gamma$.)

$\Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\Upsilon =0;$

und es wird folglich [nach einem früher gefundenen Satz (pag. 95)] der Ausdruck $\Upsilon$ oder $(\omega -\sigma )\Theta _{0}\Theta _{1}+{\overset {II}{\omega }}{\mathsf {E}}$ der Relation entsprechen müssen:

($\delta$.)

$\omega -\sigma =r{\frac {d{\overset {II}{\omega }}}{dr}}.$

Es ist also ($\delta$.) eine Folge von ($\beta$.). Auch das Umgekehrte ist der Fall. Denn aus ($\delta$.) würde zunächst folgen, dass der Ausdruck $\Upsilon$ sich darstellen lässt in der Form:

($\epsilon$.)

${\begin{array}{ll}\Upsilon &=r{\frac {d{\overset {II}{\omega }}}{dr}}\Theta _{0}\Theta _{1}+{\overset {II}{\omega }}{\mathsf {E}},\\\\&=-\left[r{\frac {d{\overset {II}{\omega }}}{dr}}{\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}{\frac {\partial r}{\partial s_{1}}}+{\overset {II}{\omega }}\left({\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}{\frac {\partial r}{\partial s_{1}}}+r{\frac {\partial ^{2}r}{\partial s_{0}\partial s_{1}}}\right)\right],\\\\&=-\left[{\frac {d\left(r{\overset {II}{\omega }}\right)}{dr}}{\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}{\frac {\partial r}{\partial s_{1}}}+r{\overset {II}{\omega }}{\frac {\partial ^{2}r}{\partial s_{0}\partial s_{1}}}\right],\\\\&=-{\frac {\partial }{\partial s_{0}}}\left(r{\overset {II}{\omega }}{\frac {\partial r}{\partial s_{1}}}\right);\end{array}}$

und hieraus würde weiter folgen, dass $\Upsilon$ der Bedingung ($\beta$.) Genüge leistet. Somit ist also in der That dargethan, dass auch umgekehrt ($\beta$.) eine Folge von ($\delta$.) ist.

Die beiden Bedingungen ($\beta$.) und ($\delta$.) sind mithin untereinander äquivalent; und das Ergebniss (22.) kann daher auch so ausgesprochen werden:

(23.) .... „Die Relation ($\delta$.) ist die nothwendige und ausreichende Bedingung dafür, dass die beiderlei Gesetze (20.a,b) und (21.) mit einander in Einklang sind.“

Jene Relation ($\delta$.) gewinnt aber durch Vergleichung mit einer früher (pag. 148) erhaltenen Relation:

($\xi$.)

$\omega +4A^{2}\left({\frac {d\psi }{dr}}\right)^{2}=r{\frac {d{\overset {II}{\omega }}}{dr}}$

die einfachere Gestalt:

($\eta$.)

$\sigma =-4A^{2}\left({\frac {d\psi }{dr}}\right)^{2}$

Somit kann das Ergebniss (23.) schliesslich so ausgesprochen werden:

Soll das von mir für die elektromotorischen Kräfte eldy. Us entwickelte Elementargesetz (pag. 148) auch für solche Stromringe, die mit Gleitstellen behaftet sind, in Uebereinstimmung sich befinden mit dem von meinem Vater aufgestellten Integralgesetz, so ist erforderlich und ausreichend, dass die in jenem Elementargesetz auftretende Function $\sigma$ den Werth besitze:

(24.)

$\sigma =-4A^{2}\left({\frac {d\psi }{dr}}\right)^{2},$

wo $\psi$ die in dem Ampère’schen Gesetz (pag. 44) enthaltene Function, und $A$ die daselbst enthaltene Constante repräsentiren.

Indessen fragt es sich wohl, ob das in Rede stehende Integralgesetz für den Fall von Gleitstellen als hinlänglich constatirt betrachtet werden darf; und es soll daher vorläufig von dem für $\sigma$ erhaltenem Werthe (24.) im Folgenden kein Gebrauch gemacht werden.

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Schliesslich mögen in Betracht gezogen werden diejenigen Quantitäten von lebendiger Kraft und Wärme, welche sich in den beiden mit Gleitstellen behafteten Ringen $A$ und $B$ während des Zeitelementes $dt$ entwickeln in Folge ihrer gegenseitigen Kräfte eldy. Us. Wir bedienen uns dabei der früher (pag. 67 und 105) gefundenen Formeln^[1]:

(25.)

$\left(dT_{A}^{B}+dT_{B}^{A}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }=-J_{0}J_{1}dQ,$

(26.)

$\left(dQ_{A}^{B}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }=J_{0}dt\cdot \Sigma \Sigma \ {\mathfrak {E}}_{0}^{1}{\mathsf {D}}s_{0}.$

Substituirt man in letzterer für die rechte Seite den gefundenen Werth (20.a), so ergiebt sich:

(27.a)

$\left(dQ_{A}^{B}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }=J_{0}d\left(J_{1}Q\right)+J_{0}J_{1}{\frac {\Sigma \Sigma \left({\mathsf {D}}s_{0}\Delta s_{1}\Upsilon -\Delta s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\Upsilon \right)}{2}}.$

In gleicher Weise gilt offenbar umgekehrt für die Wirkung von $A$ auf $B$ die analoge Formel:

(27.)

$\left(dQ_{B}^{A}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }=J_{1}d\left(J_{0}Q\right)+J_{0}J_{1}{\frac {\Sigma \Sigma \left({\mathsf {D}}s_{1}\Delta s_{0}\Upsilon -\Delta s_{1}{\mathsf {D}}s_{0}\Upsilon \right)}{2}};$

und durch Addition von (27.a), (27.b) folgt sofort:

(28.)

${\begin{array}{ll}\left(dQ_{A}^{B}+dQ_{B}^{A}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }&=J_{0}d\left(J_{1}Q\right)+J_{1}d\left(J_{0}Q\right),\\&=d\left(J_{0}J_{1}Q\right)+J_{0}J_{1}dQ.\end{array}}$

Endlich folgt aus (25.) und (28.):

(29.)

$\left(dT_{A}^{B}+dT_{B}^{A}+dQ_{A}^{B}+dQ_{B}^{A}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }=d\left(J_{0}J_{1}Q\right),$

oder, indem man für $Q$ den Werth (6.) substituirt:

(30.)

$\left(dT_{A}^{B}+dT_{B}^{A}+dQ_{A}^{B}+dQ_{B}^{A}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }=d\left[J_{0}J_{1}\cdot \Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}s_{0}{\mathsf {D}}s_{1}\Omega \right].$

Diese Formel (30.) enthält nichts Neues; sie hätte bequemer erhalten werden können direct auf Grund der Bedeutung von $\Omega$. Denn der Ausdruck

$(-1)J_{0}{\mathsf {D}}s_{0}J_{1}{\mathsf {D}}s_{1}\Omega$

repräsentirt das elektrodynamische Postulat zweier Stromelemente $J_{0}{\mathsf {D}}s_{0}$ und $J_{1}{\mathsf {D}}s_{1}$ (vergl. pag. 147). — In der That sind die Rechnungen (25.) bis (30.) nur angestellt worden, um eine gewisse Controle zu erhalten für die früheren Formeln dieses §.

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1. Dass die erste dieser Formeln auch für den Fall von Gleitstellen gültig ist, geht aus den betreffenden Erörterungen (pag. 67) deutlich hervor. Andererseits aber erkennt man leicht in directer Weise, dass Gleiches auch gilt von der zweiten Formel.