Die elektrischen Kräfte/Zusammenstellung:§26

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Fünfter Abschnitt.

Ueber die gegenseitige ponderomotorische Einwirkung zwischen zwei körperlichen Leitern, welche durchflossen sind von elektrischen Strömen.

Die Betrachtungen dieses Abschnitts haben zu ihrer Basis das Ampère’sche Elementargesetz. Sie werden hinleiten zu einer gewissen Erweiterung des von F. Neumann speciell für lineare Leiter (nämlich für lineare elektrische Stromringe) aufgestellten Integralgesetzes.

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§. 26. Betrachtung des allgemeinen Falles, dass die elektrischen Strömungen im Innern der beiden Körper beliebig gegeben sind.

Zwei starre Körper $A$ und $B$ seien begriffen in irgend welchen Bewegungen, und gleichzeitig mögen im Innern eines jeden irgend welche elektrische Vorgänge stattfinden. Wir stellen uns die Aufgabe, diejenige ponderomotorische Arbeit eldy. Us

(1.)	$\left(dT_{A}^{B}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }$

zu berechnen, welche $B$ während der Zeit $dt$ ausübt auf $A$.

Es seien

$m_{0}$ und $m_{1}$ irgend zwei ponderable Massenpuncte der Körper $A$ und $B$;

$r$ die gegenseitige Entfernung dieser Puncte $m_{0}$ und $m_{1}$;

$x_{0},y_{0},z_{0}$ und $x_{1},y_{1},z_{1}$ ihre Coordinaten in Bezug auf ein absolut festes Axensystem;

${\mathfrak {x}}_{0},{\mathfrak {y}}_{0},{\mathfrak {z}}_{0}$ und ${\mathfrak {x}}_{1},{\mathfrak {y}}_{1},{\mathfrak {z}}_{1}$ ihre Coordinaten in Bezug auf zwei Axensysteme, von denen das eine mit $A$, das andere mit $B$ in starrer Verbindung sich befindet;

$i_{0}$ und $i_{1}$ die Stärken der in $m_{0}$ und $m_{1}$ zur Zeit $t$ vorhandenen elektrischen Strömungen;

$s_{0}$ und $s_{1}$ zwei von $m_{0}$ und $m_{1}$ ausgehende Linien, welche die augenblicklichen^[1] Richtungen dieser Strömungen andeuten;

${\mathfrak {u}}_{0},{\mathfrak {v}}_{0},{\mathfrak {w}}_{0}$ und ${\mathfrak {u}}_{1},{\mathfrak {v}}_{1},{\mathfrak {w}}_{1}$ die Componenten von $i_{0}$ und $i_{1}$, genommen nach den mit $A$ und $B$ verbundenen Axensystemen;

${\mathsf {Dv}}_{0}$ und ${\mathsf {Dv}}_{1}$ zwei bei $m_{0}$ und $m_{1}$ abgegrenzte Volumelemente der Körper $A$ und $B$; dabei soll ${\mathsf {Dv}}_{0}$ von solcher Kleinheit sein, dass zur Zeit $t$ die elektrische Strömung in allen Puncten von ${\mathsf {Dv}}_{0}$ einerlei Stärke und einerlei Richtung hat; Analoges soll gelten von ${\mathsf {Dv}}_{1}$.

Die Zeit $t$ mag, jenachdem sie Argument der Bewegungen der ponderablen Massen, oder Argument der innern elektrischen Bewegungen ist, verschieden bezeichnet sein, im erstern Falle mit $\tau$, im letztern mit ${\mathsf {T}}$; ausserdem mögen diese Argumente $\tau ,{\mathsf {T}}$ ihrerseits specieller benannt sein mit $\tau _{0},{\mathsf {T}}_{0}$ oder $\tau _{1},{\mathsf {T}}_{1}$, jenachdem sie zugehörig sind dem Körper $A$ oder $B$.

Sind

${\begin{array}{lcl}x_{0}=C^{1}+C^{11}{\mathfrak {x}}_{0}+C^{12}{\mathfrak {y}}_{0}+C^{13}{\mathfrak {z}}_{0},&&x_{1}=D^{1}+D^{11}{\mathfrak {x}}_{1}+D^{12}{\mathfrak {y}}_{1}+D^{13}{\mathfrak {z}}_{1},\\y_{0}=C^{2}+C^{21}{\mathfrak {x}}_{0}+C^{22}{\mathfrak {y}}_{0}+C^{23}{\mathfrak {z}}_{0},&&y_{1}=D^{2}+D^{21}{\mathfrak {x}}_{1}+D^{22}{\mathfrak {y}}_{1}+D^{23}{\mathfrak {z}}_{1},\\z_{0}=C^{3}+C^{31}{\mathfrak {x}}_{0}+C^{32}{\mathfrak {y}}_{0}+C^{33}{\mathfrak {z}}_{0},&&z_{1}=D^{3}+D^{31}{\mathfrak {x}}_{1}+D^{32}{\mathfrak {y}}_{1}+D^{33}{\mathfrak {z}}_{1}\end{array}}$

diejenigen Relationen, durch welche die beiderlei Coordinaten von $m_{0}$, ebenso die beiderlei Coordinaten von $m_{1}$ mit einander zusammenhängen, so werden die Coefficienten $C$ und $D$, weil die beiden Körper in irgend welchen Bewegungen begriffen sind, Functionen der Zeit sein; und zwar wird diese Zeit (entsprechend den eben getroffenen Festsetzungen) als Argument der $C$ mit $\tau _{0}$, als Argument der $D$ mit $\tau _{1}$ zu bezeichnen sein; so dass also jene Relationen (2.) in collectiver Weise angedeutet werden können durch:

(3.a)

$x_{0},y_{0},z_{0}=\lambda \left({\mathfrak {x}}_{0},{\mathfrak {y}}_{0},{\mathfrak {z}}_{0},\tau _{0}\right),\quad x_{1},y_{1},z_{1}=\Lambda \left({\mathfrak {x}}_{1},{\mathfrak {y}}_{1},{\mathfrak {z}}_{1},\tau _{1}\right);$

während andererseits die in $m_{0}$ und $m_{1}$ vorhandenen Strömungscomponenten ${\mathfrak {u}}_{0},{\mathfrak {v}}_{0},{\mathfrak {w}}_{0}$ und ${\mathfrak {u}}_{1},{\mathfrak {v}}_{1},{\mathfrak {w}}_{1}$ in collectiver Weise darstellbar sind durch:

(3.b)

${\mathfrak {u}}_{0},{\mathfrak {v}}_{0},{\mathfrak {w}}_{0}=\xi \left({\mathfrak {x}}_{0},{\mathfrak {y}}_{0},{\mathfrak {z}}_{0},{\mathsf {T}}_{0}\right),\quad {\mathfrak {u}}_{1},{\mathfrak {v}}_{1},{\mathfrak {w}}_{1}=\Xi \left({\mathfrak {x}}_{1},{\mathfrak {y}}_{1},{\mathfrak {z}}_{1},{\mathsf {T}}_{1}\right).$

Solches festgesetzt, wird die gegenseitige Entfernung $r$ der beiden Puncte $m_{0}$ und $m_{1}$ eine Function sein, deren Charakter angedeutet werden kann durch das Schema:

(3.c)

$r{\begin{array}{lll}\diagup \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)&{\frac {\qquad }{}}&\left({\mathfrak {x}}_{0},{\mathfrak {y}}_{0},{\mathfrak {z}}_{0},\tau _{0}\right),\\\\\diagdown \left(x_{1},y_{1},z_{1}\right)&{\frac {\qquad }{}}&\left({\mathfrak {x}}_{1},{\mathfrak {y}}_{1},{\mathfrak {z}}_{1},\tau _{1}\right)\end{array}}$

D. h. $r$ ist zunächst abhängig von den sechs Coordinaten $x_{0},y_{0},z_{0},x_{1},y_{1},z_{1}$; und diese ihrerseits sind abhängig von den acht Argumenten ${\mathfrak {x}}_{0},{\mathfrak {y}}_{0},{\mathfrak {z}}_{0},\tau _{0},{\mathfrak {x}}_{1},{\mathfrak {y}}_{1},{\mathfrak {z}}_{1},\tau _{1}$.

Absichtlich sind die Bezeichnungen (3.a,b,c) so viel wie möglich übereinstimmend mit denen gemacht, die früher [in (43.a,b,c) pag. 50, 51] bei der Betrachtung linearer Körper zur Anwendung kamen. Im Anschluss an diese Bezeichnungen mögen ausserdem noch die Charakteristiken eingeführt werden:

(3.d)

${\begin{array}{lllllll}\delta _{0}={\frac {\partial }{\partial \tau _{0}}}dt,&&\delta _{1}={\frac {\partial }{\partial \tau _{1}}}dt,&&\delta =\delta _{0}+\delta _{1},\\\\\Delta _{0}={\frac {\partial }{\partial {\mathsf {T}}_{0}}}dt,&&\Delta _{1}={\frac {\partial }{\partial {\mathsf {T}}_{1}}}dt,&&\Delta =\Delta _{0}+\Delta _{1},&&d=\delta +\Delta .\end{array}}$

Die augenblicklichen Richtungen der in $m_{0},m_{1}$ vorhandenen Strömungen $i_{0},i_{1}$ sind $s_{0},s_{1}$ genannt worden. Demgemäss können ${\frac {\partial }{\partial s_{0}}},{\frac {\partial }{\partial s_{1}}}$ als Symbole gebraucht werden zur Andeutung folgender Operationen:

(4.)

${\begin{array}{l}{\frac {\partial }{\partial s_{0}}}={\frac {{\mathfrak {u}}_{0}}{i_{0}}}{\frac {\partial }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}+{\frac {{\mathfrak {v}}_{0}}{i_{0}}}{\frac {\partial }{\partial {\mathfrak {y}}_{0}}}+{\frac {{\mathfrak {w}}_{0}}{i_{0}}}{\frac {\partial }{\partial {\mathfrak {z}}_{0}}},\\\\{\frac {\partial }{\partial s_{1}}}={\frac {{\mathfrak {u}}_{1}}{i_{1}}}{\frac {\partial }{\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}+{\frac {{\mathfrak {v}}_{1}}{i_{1}}}{\frac {\partial }{\partial {\mathfrak {y}}_{1}}}+{\frac {{\mathfrak {w}}_{1}}{i_{1}}}{\frac {\partial }{\partial {\mathfrak {z}}_{1}}};\end{array}}$

denn es ist zu beachten, dass ${\frac {{\mathfrak {u}}_{0}}{i_{0}}},{\frac {{\mathfrak {v}}_{0}}{i_{0}}},{\frac {{\mathfrak {w}}_{0}}{i_{0}}}$ die Richtungscosinus von $i_{0}$ oder $s_{0}$ repräsentiren in Bezug auf das mit dem Körper $A$ starr verbundene Axensystem, und dass ${\frac {{\mathfrak {u}}_{1}}{i_{1}}},{\frac {{\mathfrak {v}}_{1}}{i_{1}}},{\frac {{\mathfrak {w}}_{1}}{i_{1}}}$ die analoge Bedeutung haben für $i_{1}$ oder $s_{1}$ in Bezug auf das mit $B$ verbundene Axensystem.

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Sind $r$ und $r+dr$ die den Zeiten $t$ und $t+dt$ entsprechenden Werthe der gegenseitigen Entfernung zwischen $m_{0}$ und $m_{1}$, so ist nach (3.c):

(5.)	$dr={\frac {\partial r}{\partial \tau _{0}}}dt+{\frac {\partial r}{\partial \tau _{1}}}dt.$

Die zu berechnende Arbeit (1.) drückt sich daher aus durch:

(6.)	$\left(dT_{A}^{B}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }=\Sigma \Sigma \left(R{\frac {\partial r}{\partial \tau _{0}}}dt\right)=dt\cdot \Sigma \Sigma \left(R{\frac {\partial r}{\partial \tau _{0}}}\right),$

wo $R$ diejenige ponderomotorische Kraft eldy. Us repräsentirt, welche ${\mathsf {Dv}}_{1}$ auf ${\mathsf {Dv}}_{0}$ ausübt, und die Summation sich ausdehnt über sämmtliche Volumelemente von $B$ und $A$.

Um zunächst $R$ zu bestimmen, mögen die unendlich kleinen Volumina ${\mathsf {Dv}}_{0}$ und ${\mathsf {Dv}}_{1}$ zerlegt werden in Elemente zweiter Ordnung, und zwar in lauter prismatische Elemente, parallel zu $s_{0}$ und $s_{1}$, d. i. zu $i_{0}$ und $i_{1}$. Die ponderomotorische Kraft eldy. Us, mit welcher zwei solche Prismata auf einander einwirken, hat nach dem Ampère’schen Gesetz (pag. 44) den Werth:

(7.)	$J_{0}{\mathsf {D}}s_{0}\cdot J_{1}{\mathsf {D}}s_{1}\cdot {\mathsf {P}},\quad \mathrm {wo} \quad {\mathsf {P}}=8A^{2}{\frac {d\psi }{dr}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial s_{0}\partial s_{1}}},$

wo ${\mathsf {D}}s_{0}$, ${\mathsf {D}}s_{1}$ die Längen der beiden Prismata und $J_{0},J_{1}$ ihre Stromstärken vorstellen. Nun ist aber, falls man die Querschnitte dieser Prismata mit $q_{0},q_{1}$ bezeichnet, $J_{0}=i_{0}q_{0}$, $J_{1}=i_{1}q_{1}$. Somit kann der Ausdruck (7.) auch so dargestellt werden:

$i_{0}q_{0}{\mathsf {D}}s_{0}\cdot i_{1}q_{1}{\mathsf {D}}s_{1}\cdot {\mathsf {P}}.$

Die eigentlich gesuchte von ${\mathsf {Dv}}_{1}$ auf ${\mathsf {Dv}}_{0}$ ausgeübte Kraft $R$ ergiebt sich hieraus durch Summation über sämmtliche in ${\mathsf {Dv}}_{1}$ und ${\mathsf {Dv}}_{0}$ enthaltenen Prismata. Die Volumina ${\mathsf {Dv}}_{0}$ und ${\mathsf {Dv}}_{1}$ sind aber unendlich klein; und es haben daher $i_{0}$ und $i_{1}$, und ebenso auch ${\mathsf {P}}$ für all’ jene Prismata einerlei Werthe. Somit folgt:

$R=i_{0}\left(\Sigma \ q_{0}{\mathsf {D}}s_{0}\right)\cdot i_{1}\left(\Sigma \ q_{1}{\mathsf {D}}s_{1}\right)\cdot {\mathsf {P}},$

d. i.

(8.)	$R=i_{0}{\mathsf {Dv}}_{0}\cdot i_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot {\mathsf {P}}=i_{0}{\mathsf {Dv}}_{0}\cdot i_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot 8A^{2}{\frac {d\psi }{dr}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial s_{0}\partial s_{1}}}.$

Durch Substitution dieses Werthes in (6.) erhält man sofort:

(9.)	$\left(dT_{A}^{B}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }=dt\cdot \Sigma \Sigma \ {\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\left(i_{0}i_{1}{\mathsf {P}}{\frac {\partial r}{\partial \tau _{0}}}\right)=dt\cdot 4A^{2}{\mathsf {K}},$

wo ${\mathsf {K}}$ die Bedeutung hat:

(10.)

${\mathsf {K}}=\Sigma \Sigma \ {\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\left(i_{0}i_{1}\cdot 2{\frac {\partial \psi }{\partial \tau _{0}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial s_{0}\partial s_{1}}}\right).$

Es handelt sich nun um die Berechnung dieses Doppelintegrals ${\mathsf {K}}$.

Für die Function $\psi$ oder $\psi (r)$ ergeben sich, mit Rücksicht auf (4.), die Formeln:

(11.a)

$i_{0}{\frac {\partial \psi }{\partial s_{0}}}={\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}{\mathfrak {u}}_{0}+{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {y}}_{0}}}{\mathfrak {v}}_{0}+{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {z}}_{0}}}{\mathfrak {w}}_{0},$

(11.b)

$i_{1}{\frac {\partial \psi }{\partial s_{1}}}={\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}{\mathfrak {u}}_{1}+{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {y}}_{1}}}{\mathfrak {v}}_{1}+{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {z}}_{1}}}{\mathfrak {w}}_{1}.$

Sodann folgt aus (11.a) durch Ableitung nach $s_{1}$ und Multiplication mit $i_{1}$:

(11.c)

${\begin{array}{ll}i_{0}i_{1}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial s_{0}\partial s_{1}}}&={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}{\mathfrak {u}}_{0}{\mathfrak {u}}_{1}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}\partial {\mathfrak {y}}_{1}}}{\mathfrak {u}}_{0}{\mathfrak {v}}_{1}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}\partial {\mathfrak {z}}_{1}}}{\mathfrak {u}}_{0}{\mathfrak {w}}_{1}\\\\&+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial {\mathfrak {y}}_{0}\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}{\mathfrak {v}}_{0}{\mathfrak {u}}_{1}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial {\mathfrak {y}}_{0}\partial {\mathfrak {y}}_{1}}}{\mathfrak {v}}_{0}{\mathfrak {v}}_{1}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial {\mathfrak {y}}_{0}\partial {\mathfrak {z}}_{1}}}{\mathfrak {v}}_{0}{\mathfrak {w}}_{1}\\\\&+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial {\mathfrak {z}}_{0}\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}{\mathfrak {w}}_{0}{\mathfrak {u}}_{1}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial {\mathfrak {z}}_{0}\partial {\mathfrak {y}}_{1}}}{\mathfrak {w}}_{0}{\mathfrak {v}}_{1}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial {\mathfrak {z}}_{0}\partial {\mathfrak {z}}_{1}}}{\mathfrak {w}}_{0}{\mathfrak {w}}_{1}.\end{array}}$

Diese Formeln (11.a,b,c)mögen in abgekürzter Weise angedeutet sein durch:

(12.a)

$i_{0}{\frac {\partial \psi }{\partial s_{0}}}={\mathfrak {S}}_{0}\left({\mathfrak {u}}_{0}{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}\right),$

(12.b)

$i_{1}{\frac {\partial \psi }{\partial s_{1}}}={\mathfrak {S}}_{1}\left({\mathfrak {u}}_{1}{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}\right),$

(12.c)

$i_{0}i_{1}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial s_{0}\partial s_{1}}}={\mathfrak {S}}_{0}{\mathfrak {S}}_{1}\left({\mathfrak {u}}_{0}{\mathfrak {u}}_{1}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}\right),$

wo alsdann unter ${\mathfrak {S}}_{0}$ eine Summation über ${\scriptstyle \left({{\mathfrak {x}}_{0},{\mathfrak {y}}_{0},{\mathfrak {z}}_{0} \atop {\mathfrak {u}}_{0},{\mathfrak {v}}_{0},{\mathfrak {w}}_{0}}\right)}$, andererseits unter ${\mathfrak {S}}_{1}$ eine Summation über ${\scriptstyle \left({{\mathfrak {x}}_{1},{\mathfrak {y}}_{1},{\mathfrak {z}}_{1} \atop {\mathfrak {u}}_{1},{\mathfrak {v}}_{1},{\mathfrak {w}}_{1}}\right)}$ zu verstehen ist.

Aus (12.c) folgt durch Multiplication mit $2{\frac {\partial \psi }{\partial \tau _{0}}}$:

(13.)

$i_{0}i_{1}\cdot 2{\frac {\partial \psi }{\partial \tau _{0}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial s_{0}\partial s_{1}}}={\mathfrak {S}}_{0}{\mathfrak {S}}_{1}\left({\mathfrak {u}}_{0}{\mathfrak {u}}_{1}\cdot 2{\frac {\partial \psi }{\partial \tau _{0}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}\right).$

Zufolge (3.a,b,c) sind ${\mathfrak {x}}_{0},{\mathfrak {y}}_{0},{\mathfrak {z}}_{0},\tau _{0},{\mathfrak {x}}_{1},{\mathfrak {y}}_{1},{\mathfrak {z}}_{1},\tau _{1}$ diejenigen acht coordinirten Argumente, von welchen die Entfernung $r$, mithin auch die Function $\psi =\psi (r)$ in letzter Instanz abhängt. Bei mehrfacher Differentiation nach diesen acht Argumenten wird daher das Resultat unabhängig sein von der Reihenfolge. Somit ist identisch:

(14.)

${\begin{array}{ll}2{\frac {\partial \psi }{\partial \tau _{0}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}&={\frac {\partial }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}\left({\frac {\partial \psi }{\partial \tau _{0}}}{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}\left({\frac {\partial \psi }{\partial \tau _{0}}}{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}\right)-{\frac {\partial }{\partial \tau _{0}}}\left({\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}\right),\\\\&={\frac {\partial \lambda }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}+{\frac {\partial \mu }{\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}-{\frac {\partial \nu }{\partial {\mathfrak {\tau }}_{0}}},\end{array}}$

wo $\lambda ,\mu ,\nu$ die Bedeutungen haben:

(15.)

${\begin{array}{l}\lambda ={\frac {\partial \psi }{\partial \tau _{0}}}{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{1}}};\\\\\mu ={\frac {\partial \psi }{\partial \tau _{0}}}{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}},\\\\\nu ={\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}.\end{array}}$

Durch (14.) geht die Formel (13.) über in:

(16.)

$i_{0}i_{1}2{\frac {\partial \psi }{\partial \tau _{0}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial s_{0}\partial s_{1}}}={\mathfrak {S}}_{0}{\mathfrak {S}}_{1}\left[{\mathfrak {u}}_{0}{\mathfrak {u}}_{1}\left({\frac {\partial \lambda }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}+{\frac {\partial \mu }{\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}\right)\right]-{\frac {\partial }{\partial \tau _{0}}}\left[{\mathfrak {S}}_{0}{\mathfrak {S}}_{1}\left({\mathfrak {u}}_{0}{\mathfrak {u}}_{1}\nu \right)\right];$

und durch Substitution dieses Werthes (16.) ergiebt sich für das zu berechnende Doppelintegral ${\mathsf {K}}$ (10.) folgende Darstellung:

(17.)

${\mathsf {K}}=\Lambda +{\mathsf {M}}-{\frac {\partial {\mathsf {N}}}{\partial \tau _{0}}},$

wo $\Lambda ,{\mathsf {M,N}}$ die Werthe haben:

(18.)

${\begin{array}{l}\Lambda =\Sigma \Sigma \ {\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\left[{\mathfrak {S}}_{0}{\mathfrak {S}}_{1}\left({\mathfrak {u}}_{0}{\mathfrak {u}}_{1}{\frac {\partial \lambda }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}\right)\right],\\\\{\mathsf {M}}=\Sigma \Sigma \ {\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\left[{\mathfrak {S}}_{0}{\mathfrak {S}}_{1}\left({\mathfrak {u}}_{0}{\mathfrak {u}}_{1}{\frac {\partial \mu }{\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}\right)\right],\\\\{\mathsf {N}}=\Sigma \Sigma \ {\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\left[{\mathfrak {S}}_{0}{\mathfrak {S}}_{1}\left({\mathfrak {u}}_{0}{\mathfrak {u}}_{1}\nu \right)\right].\end{array}}$

Um zunächst $\Lambda$ näher zu bestimmen, sei bemerkt, dass

(19.)

${\begin{array}{ll}{\mathfrak {S}}_{0}\left({\mathfrak {u}}_{0}{\mathfrak {u}}_{1}{\frac {\partial \lambda }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}\right)&={\mathfrak {u}}_{1}\left({\mathfrak {u}}_{0}{\frac {\partial \lambda }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}+{\mathfrak {v}}_{0}{\frac {\partial \lambda }{\partial {\mathfrak {y}}_{0}}}+{\mathfrak {w}}_{0}{\frac {\partial \lambda }{\partial {\mathfrak {z}}_{0}}}\right),\\\\&={\mathfrak {u}}_{1}\left[\left({\frac {\partial \left(\lambda {\mathfrak {u}}_{0}\right)}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}+\cdots \right)-\lambda \left({\frac {\partial {\mathfrak {u}}_{0}}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}+\cdots \right)\right].\end{array}}$

Multiplicirt man diese Formel mit ${\mathsf {Dv}}_{0}$, und integrirt sodann über sämmtliche Volumelemente des Körpers $A$, so ergiebt sich in bekannter Weise:

(20.)

$\Sigma \ {\mathsf {Dv}}_{0}\left[{\mathfrak {S}}_{0}\left({\mathfrak {u}}_{0}{\mathfrak {u}}_{1}{\frac {\partial \lambda }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}\right)\right]=\Sigma \ {\mathsf {D}}o_{0}\left(\lambda F_{0}{\mathfrak {u}}_{1}\right)+\Sigma \ {\mathsf {Dv}}_{0}\left(\lambda E_{0}{\mathfrak {u}}_{1}\right),$

wo $E_{0},F_{0}$ die Bedeutungen haben:

(21.)

${\begin{array}{l}E_{0}=-\left[{\frac {\partial {\mathfrak {u}}_{0}}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}+{\frac {\partial {\mathfrak {v}}_{0}}{\partial {\mathfrak {y}}_{0}}}+{\frac {\partial {\mathfrak {w}}_{0}}{\partial {\mathfrak {z}}_{0}}}\right],\\\\F_{0}=-\left[{\mathfrak {u}}_{0}\cos \left(N_{0},{\mathfrak {x}}_{0}\right)+{\mathfrak {v}}_{0}\cos \left(N_{0},{\mathfrak {y}}_{0}\right)+{\mathfrak {w}}_{0}\cos \left(N_{0},{\mathfrak {z}}_{0}\right)\right].\end{array}}$

Dabei ist unter ${\mathsf {D}}o_{0}$ irgend ein Element der Oberfläche von $A$, und unter $N_{0}$ die auf ${\mathsf {D}}o_{0}$ errichtete innere Normale zu verstehen. Aus (20.) folgt, wenn man für $\lambda$ seine eigentliche Bedeutung (15.) substituirt:

(22.)

$\Sigma \ {\mathsf {Dv}}_{0}\left[{\mathfrak {S}}_{0}\left({\mathfrak {u}}_{0}{\mathfrak {u}}_{1}{\frac {\partial \lambda }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}\right)\right]=\Sigma \ {\mathsf {D}}o_{0}\left(F_{0}{\frac {\partial \psi }{\partial \tau _{0}}}{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}{\mathfrak {u}}_{1}\right)+\Sigma \ {\mathsf {Dv}}_{0}\left(E_{0}{\frac {\partial \psi }{\partial \tau _{0}}}{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}{\mathfrak {u}}_{1}\right).$

Hieraus folgt weiter durch Ausführung der Summation ${\mathfrak {S}}_{1}$ und mit Rücksicht auf (12.b):

(23.)

$\Sigma \ {\mathsf {Dv}}_{0}\left[{\mathfrak {S}}_{0}{\mathfrak {S}}_{1}\left({\mathfrak {u}}_{0}{\mathfrak {u}}_{1}{\frac {\partial \lambda }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}\right)\right]=\Sigma \ {\mathsf {D}}o_{0}\left(F_{0}{\frac {\partial \psi }{\partial \tau _{0}}}{\frac {\partial \psi }{\partial s_{1}}}i_{1}\right)+\Sigma \ {\mathsf {Dv}}_{0}\left(E_{0}{\frac {\partial \psi }{\partial \tau _{0}}}{\frac {\partial \psi }{\partial s_{1}}}i_{1}\right).$

Hieraus aber folgt endlich durch Multiplication mit ${\mathsf {Dv}}_{1}$, und Integration über das ganze Volumen von $B$:

(24.)

$\Lambda =\Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}o_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\left(F_{0}{\frac {\partial \psi }{\partial \tau _{0}}}{\frac {\partial \psi }{\partial s_{1}}}i_{1}\right)+\Sigma \Sigma \ {\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\left(E_{0}{\frac {\partial \psi }{\partial \tau _{0}}}{\frac {\partial \psi }{\partial s_{1}}}i_{1}\right).$

In analoger Weise wird offenbar:

(25.)

${\mathsf {M}}=\Sigma \Sigma \ {\mathsf {D}}o_{1}{\mathsf {Dv}}_{0}\left(F_{1}{\frac {\partial \psi }{\partial \tau _{0}}}{\frac {\partial \psi }{\partial s_{0}}}i_{0}\right)+\Sigma \Sigma \ {\mathsf {Dv}}_{1}{\mathsf {Dv}}_{0}\left(E_{1}{\frac {\partial \psi }{\partial \tau _{0}}}{\frac {\partial \psi }{\partial s_{0}}}i_{0}\right).$

Ausserdem ergiebt sich für ${\mathsf {N}}$ (18.), mit Rücksicht auf die eingeführte Bezeichnungsweise (12.a,b,c), ohne weitere Rechnung der Werth:

(26.)

${\mathsf {N}}=\Sigma \Sigma \ {\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\left({\frac {\partial \psi }{\partial s_{0}}}{\frac {\partial \psi }{\partial s_{1}}}i_{0}i_{1}\right).$

Aus (9.) und (17.) folgt durch Substitution der Werthe (24.), (25.), (26.) sofort:

(27.)

$\left(dT_{A}^{B}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }=dt\cdot \Sigma \Sigma \ \left(i_{0}{\mathsf {Dv}}_{0}\cdot i_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot {\mathsf {P}}{\frac {\partial r}{\partial \tau _{0}}}\right)=dt\cdot 4A^{2}{\mathsf {K}},$

und zwar:

(28.)

${\begin{array}{ll}4A^{2}{\mathsf {K}}&=4A^{2}\cdot \Sigma \Sigma \left[\left(F_{0}{\mathsf {D}}o_{0}\cdot {\frac {\partial \psi }{\partial s_{1}}}i_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}+F_{1}{\mathsf {D}}o_{1}\cdot {\frac {\partial \psi }{\partial s_{0}}}i_{0}{\mathsf {Dv}}_{0}\right){\frac {\partial \psi }{\partial \tau _{0}}}\right]\\\\&+4A^{2}\cdot \Sigma \Sigma \left[\left(E_{0}{\mathsf {Dv}}_{0}\cdot {\frac {\partial \psi }{\partial s_{1}}}i_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}+E_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot {\frac {\partial \psi }{\partial s_{0}}}i_{0}{\mathsf {Dv}}_{0}\right){\frac {\partial \psi }{\partial \tau _{0}}}\right]\\\\&-{\frac {\partial }{\partial \tau _{0}}}\left[4A^{2}\cdot \Sigma \Sigma \left({\frac {\partial \psi }{\partial s_{0}}}i_{0}{\mathsf {Dv}}_{0}\cdot {\frac {\partial \psi }{\partial s_{1}}}i_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}\right)\right],\end{array}}$

wo die Summationen $\Sigma \Sigma$ theils auf die Volumelemente ${\mathsf {Dv}}$, theils auf die Oberflächenelemente ${\mathsf {D}}o$ sich beziehen.

Unter Anwendung der in (3.d) genannten Charakteristiken

(29.)

$\delta _{0},\ \delta _{1},\ \Delta _{0},\ \Delta _{1},$

kann das in (27.), (28.) enthaltene Resultat ein wenig einfacher so ausgedrückt werden:

Wie beschaffen die Bewegungen der Körper $A,B$, und die im Innern derselben vorhandenen elektrischen Strömungszustände auch sein mögen, immer wird die vom Körper $B$ während der Zeit $dt$ auf den Körper $A$ vermöge der ponderomotorischen Kräfte eldy. Us ausgeübte Arbeit

(30.a)

$\left(dT_{A}^{B}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }=\Sigma \Sigma \left(i_{0}{\mathsf {Dv}}_{0}\cdot i_{i}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot {\mathsf {P}}\delta _{0}r\right)$

darstellbar sein durch die Formel:

(30.b)

${\begin{array}{ll}\left(dT_{A}^{B}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }&=4A^{2}\Sigma \Sigma \left[\left(F_{0}{\mathsf {D}}o_{0}\cdot {\frac {\partial \psi }{\partial s_{1}}}i_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}+F_{1}{\mathsf {D}}o_{1}\cdot {\frac {\partial \psi }{\partial s_{0}}}i_{0}{\mathsf {Dv}}_{0}\right)\delta _{0}\psi \right]\\\\&+4A^{2}\Sigma \Sigma \left[\left(E_{0}{\mathsf {Dv}}_{0}\cdot {\frac {\partial \psi }{\partial s_{1}}}i_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}+E_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot {\frac {\partial \psi }{\partial s_{0}}}i_{0}{\mathsf {Dv}}_{0}\right)\delta _{0}\psi \right]\\\\&-\delta _{0}\left[4A^{2}\cdot \Sigma \Sigma \left({\frac {\partial \psi }{\partial s_{0}}}i_{0}{\mathsf {Dv}}_{0}\cdot {\frac {\partial \psi }{\partial s_{1}}}i_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}\right)\right],\end{array}}$

wo die Integration $\Sigma \Sigma$ sich hinerstreckt theils über die Volumelemente ${\mathsf {Dv}}_{0},{\mathsf {Dv}}_{1}$ der Körper $A$, $B$, theils über ihre Oberflächenelemente ${\mathsf {D}}o_{0},{\mathsf {D}}o_{1}$. Dabei sind $E_{0},E_{1}$ und $F_{0},F_{1}$ zur Abkürzung gesetzt für die Ausdrücke:

(30.c)

${\begin{array}{l}E_{0}=-\left[{\frac {\partial {\mathfrak {u}}_{0}}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}+{\frac {\partial {\mathfrak {v}}_{0}}{\partial {\mathfrak {y}}_{0}}}+{\frac {\partial {\mathfrak {w}}_{0}}{\partial {\mathfrak {z}}_{0}}}\right],\\\\E_{1}=-\left[{\frac {\partial {\mathfrak {u}}_{1}}{\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}+{\frac {\partial {\mathfrak {v}}_{1}}{\partial {\mathfrak {y}}_{1}}}+{\frac {\partial {\mathfrak {w}}_{1}}{\partial {\mathfrak {z}}_{1}}}\right],\\\\F_{0}=-\left[{\mathfrak {u}}_{0}\cos \left(N_{0},{\mathfrak {x}}_{0}\right)+{\mathfrak {v}}_{0}\cos \left(N_{0},{\mathfrak {y}}_{0}\right)+{\mathfrak {w}}_{0}\cos \left(N_{0},{\mathfrak {z}}_{0}\right)\right],\\F_{1}=-\left[{\mathfrak {u}}_{1}\cos \left(N_{1},{\mathfrak {x}}_{1}\right)+{\mathfrak {v}}_{1}\cos \left(N_{1},{\mathfrak {y}}_{1}\right)+{\mathfrak {w}}_{1}\cos \left(N_{1},{\mathfrak {z}}_{1}\right)\right],\end{array}}$

wo $N_{0}$ die innere Normale der Oberfläche von $A$, und $N_{1}$ die innere Normale der Oberfläche von $B$ vorstellt.

Es leuchtet ein, dass dieser Satz nicht nur gültig ist für die Körper $A$, $B$ selber, sondern auch für beliebige Theile derselben.

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1. Die Richtungen der in $m_{0}$ und $m_{1}$ vorhandenen elektrischen Strömungen $i_{0}$ und $i_{1}$ werden sich (ebenso wie ihre Intensitäten) im Allgemeinen von Augenblick zu Augenblick ändern; und es sollen also $s_{0}$ und $s_{1}$ diejenigen Richtungen sein, welche diese Strömungen haben speciell für den einzelnen Zeitaugenblick $t$.