Die elektrischen Kräfte/Zusammenstellung:§31

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§. 31. Uebereinstimmung der für beliebig gestaltete Körper entwickelten Gesetze mit dem allgemeinen Axiom der lebendigen Kraft.

Es sei gegeben ein System von beliebig vielen Körpern $A,B,C,D$,..., die in irgend welchen Bewegungen begriffen sind, während gleichzeitig im Innern eines jeden irgend welche elektrische Vorgänge stattfinden. Ob das System lediglich seinen innern Kräften überlassen ist, oder ob gleichzeitig noch irgend welche äussere Kräfte auf dasselbe einwirken, mag dahingestellt bleiben. — Wir stellen uns die Aufgabe, diejenige Quantität von lebendiger Kraft und Wärme

(50.)

$dT+dQ=(dT)_{\mathrm {ord.\ Us} }+(dT+dQ)_{\mathrm {elst.\ Us} }+(dT+dQ)_{\mathrm {eldy.\ Us} }$

zu berechnen, welche während eines gegebenen Zeitelementes $dt$ in dem ganzen Systeme entsteht durch die Wirkung der inneren Kräfte.

Zunächst mögen die Bezeichnungen (36.) des vorhergehenden §. in folgender Weise vervollständigt werden:

${\mathsf {Dv}}_{0}$ ein Volumelement von $A$;

$x_{0},y_{0},z_{0}$ die Coordinaten von ${\mathsf {Dv}}_{0}$ zur Zeit $t$ (d. i. zu Anfang des gegebenen Zeitelementes $dt$);

$u_{0},v_{0},w_{0}$ die Componenten der zur Zeit $t$ in ${\mathsf {Dv}}_{0}$ vorhandenen elektrischen Strömung;

${\mathsf {Dv}}_{1}$ ein Volumelement von $B$;

$x_{1},y_{1},z_{1}$ die Coordinaten von ${\mathsf {Dv}}_{1}$ zur Zeit $t$;

$u_{1},v_{1},w_{1}$ die Componenten der zur Zeit $t$ in ${\mathsf {Dv}}_{1}$ vorhandenen elektrischen Strömung;

$r$ die Entfernung zwischen ${\mathsf {Dv}}_{0}$ und ${\mathsf {Dv}}_{1}$ zur Zeit $t$;

$\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\Gamma$ die Richtungscosinus der Linie $r$, dieselbe gerechnet von ${\mathsf {Dv}}_{1}$ nach ${\mathsf {Dv}}_{0}$ hin;

$\Theta _{0},\Theta _{1}$ und ${\mathsf {E}}$ dieselben Cosinus wie im Ampère’schen Gesetz (pag. 44).

Ausserdem mag angenommen werden, dass das zu Grunde gelegte Coordinatensystem (x, y, z) kein völlig beliebiges ist, sondern in starrer Verbindung steht mit der ponderablen Masse des Körpers $A$. Solches vorausgesetzt, nehmen die Componenten $X_{0}^{1}dt,\ Y_{0}^{1}dt,\ Z_{0}^{1}dt$ (47.c) derjenigen elektromotorischen Kraft eldy. Us, welche das Element ${\mathsf {Dv}}_{1}$ während der Zeit $dt$ hervorbringt in irgend einem Puncte von ${\mathsf {Dv}}_{0}$, die einfachere Gestalt an:

(52.)

${\begin{array}{l}X_{0}^{1}dt={\mathsf {Dv}}_{1}\left({\frac {\left[\delta \Omega '-{\mathsf {P}}'\delta r\right]+\sigma \left[\mathrm {A} \delta j_{1}-j_{1}\delta \mathrm {A} \right]}{2}}+\Delta \Omega '\right),\\\\Y_{0}^{1}dt={\mathsf {Dv}}_{1}\left({\frac {\left[\delta \Omega ''-{\mathsf {P}}''\delta r\right]+\sigma \left[\mathrm {B} \delta j_{1}-j_{1}\delta \mathrm {B} \right]}{2}}+\Delta \Omega ''\right),\\\\Z_{0}^{1}dt={\mathsf {Dv}}_{1}\left({\frac {\left[\delta \Omega '''-{\mathsf {P}}'''\delta r\right]+\sigma \left[\Gamma \delta j_{1}-j_{1}\delta \Gamma \right]}{2}}+\Delta \Omega '''\right).\end{array}}$

Um diese Formeln weiter behandeln zu können, bilden wir zunächst die beiden Ausdrücke $\Omega ,{\mathsf {P}}$, bezogen auf die Linie $r$ und die beiden Richtungen $i_{0},i_{1}$:

${\begin{array}{l}\Omega =\omega \Theta _{0}\Theta _{1}+{\overset {II}{\omega }}{\mathsf {E}},\\{\mathsf {P}}=\varrho \Theta _{0}\Theta _{1}+{\overset {II}{\varrho }}{\mathsf {E}},\end{array}}$

Hieraus folgt sofort:

${\begin{array}{l}i_{0}i_{1}\Omega =\omega \left(\mathrm {A} u_{0}+\mathrm {B} v_{0}+{\mathsf {\Gamma }}w_{0}\right)\left(\mathrm {A} u_{1}+\mathrm {B} v_{1}+{\mathsf {\Gamma }}w_{1}\right)+{\overset {II}{\omega }}\left(u_{0}u_{1}+v_{0}v_{1}+w_{0}w_{1}\right),\\i_{0}i_{1}{\mathsf {P}}=\varrho \left(\mathrm {A} u_{0}+\mathrm {B} v_{0}+{\mathsf {\Gamma }}w_{0}\right)\left(\mathrm {A} u_{1}+\mathrm {B} v_{1}+{\mathsf {\Gamma }}w_{1}\right)+{\overset {II}{\varrho }}\left(u_{0}u_{1}+v_{0}v_{1}+w_{0}w_{1}\right),\end{array}}$

oder mit Rücksicht auf (47.b):

(53.a)

$i_{0}i_{1}\Omega =u_{0}\Omega '+v_{0}\Omega ''+w_{0}\Omega ''',$

(53.b)

$i_{0}i_{1}{\mathsf {P}}=u_{0}{\mathsf {P}}'+v_{0}{\mathsf {P}}''+w_{0}{\mathsf {P}}'''.$

Ferner ergiebt sich, ebenfalls mit Rücksicht auf (47.b):

(53.c)

$i_{0}\Theta _{0}=u_{0}\mathrm {A} +v_{0}\mathrm {B} +w_{0}\Gamma ,$

(53.d)

$i_{1}\Theta _{1}=u_{1}\mathrm {A} +v_{1}\mathrm {B} +w_{1}\Gamma =j_{1}.$

Die Incremente $\delta u_{0},\delta v_{0},\delta w_{0}$ lassen sich im Allgemeinen ausdrücken durch die Formeln [vergl. (37.)]:

$\delta u_{0}=w_{0}\delta \beta _{0}-v_{0}\delta \gamma _{0},$

etc. etc.,

wo $\delta \alpha _{0},\delta \beta _{0},\delta \gamma _{0}$ die während der Zeit $dt$ erfolgenden Drehungen des Körpers $A$ repräsentiren in Bezug auf die zu Grunde gelegten Coordinatenaxen $x,y,z$. Bei der gegenwärtigen Betrachtung sind aber diese Axen mit jenem Körper $A$ starr verbunden, folglich $\delta \alpha _{0}=\delta \beta _{0}=\delta \gamma _{0}=0$, und folglich auch $\delta u_{0}=\delta v_{0}=\delta w_{0}=0$. Demgemäss ergiebt sich aus (53.a) und (53.c) durch Ausführung der Operation $\delta$:

(53.e)

$\delta \left(i_{0}i_{1}\Omega \right)=u_{0}\delta \Omega '+v_{0}\delta \Omega ''+w_{0}\delta \Omega ''',$

(53.f)

$\delta \left(i_{0}\Theta _{0}\right)=u_{0}\delta \mathrm {A} +v_{0}\delta \mathrm {B} +w_{0}\delta \Gamma .$

Unterwirft man ferner die Formel (53.a) der Operation $\Delta _{1}$, so folgt:

$\Delta _{1}\left(i_{0}i_{1}\Omega \right)=u_{0}\Delta _{1}\Omega '+v_{0}\Delta _{1}\Omega ''+w_{0}\Delta _{1}\Omega ''',$

wofür auch geschrieben werden kann:

(53.g)

$\Delta _{1}\left(i_{0}i_{1}\Omega \right)=u_{0}\Delta \Omega '+v_{0}\Delta \Omega ''+w_{0}\Delta \Omega ''';$

denn die Ausdrücke $\Omega ',\Omega '',\Omega '''$ (47.b) sind unabhängig von $u_{0},v_{0},w_{0}$, so dass also z. B. $\Delta _{0}\Omega '=0$, mithin $\Delta \Omega '=\Delta _{1}\Omega '$ ist.

Multiplicirt man nun die Formeln (52.) mit $u_{0}{\mathsf {Dv}}_{0},\ v_{0}{\mathsf {Dv}}_{0},\ w_{0}{\mathsf {Dv}}_{0}$, und addirt, so erhält man mit Rücksicht auf (53.a,b,c,d,e,f,g) sofort:

(54.)

${\begin{array}{l}{\mathsf {Dv}}_{0}\left(X_{0}^{1}u_{0}+Y_{0}^{1}v_{0}+Z_{0}^{1}w_{0}\right)dt\\\\={\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\left({\frac {\left[\delta \left(i_{0}i_{1}\Omega \right)-\left(i_{0}i_{1}{\mathsf {P}}\right)\delta r\right]+\sigma \left[i_{0}\Theta _{0}\delta \left(i_{1}\Theta _{1}\right)-i_{1}\Theta _{1}\delta \left(i_{0}\Theta _{0}\right)\right]}{2}}+\Delta _{1}\left(i_{0}i_{1}\Omega \right)\right).\end{array}}$

Die linke Seite dieser Formel repräsentirt aber offenbar [vergl. pag. 14] diejenige Quantität Wärme

$\left(dQ_{0}^{1}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }$

welche das Element ${\mathsf {Dv}}_{1}$ vermöge seiner elektromotorischen Kräfte eldy. Us während der Zeit $dt$ hervorruft im Elemente ${\mathsf {Dv}}_{0}$. Ein mit (54.) analoger Werth ergiebt sich für diejenige Wärmemenge

$\left(dQ_{1}^{0}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} },$

welche umgekehrt ${\mathsf {Dv}}_{0}$ in ${\mathsf {Dv}}_{1}$ hervorruft. Werden die Formeln für diese beiden Wärmemengen, nämlich (54.) selber und jene analoge Formel, addirt, so erhält man sofort:

(55.)

$\left(dQ_{0}^{1}+dQ_{1}^{0}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }={\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\left[\delta \left(i_{0}i_{1}\Omega \right)-i_{0}i_{1}{\mathsf {P}}\delta r+\Delta \left(i_{0}i_{1}\Omega \right)\right];$

denn es ist zu beachten, dass $\Delta _{0}+\Delta _{1}=\Delta$ ist. Beachtet man, dass $\delta +\Delta =d$ ist, so gewinnt die Formel (55.) die einfachere Gestalt:

(56.)

$\left(dQ_{0}^{1}+dQ_{1}^{0}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }={\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\left[d\left(i_{0}i_{1}\Omega \right)-i_{0}i_{1}{\mathsf {P}}\delta r\right].$

Bezeichnet ferner

$\left(dT_{0}^{1}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }$

diejenige Quantität lebendiger Kraft, welche ${\mathsf {Dv}}_{1}$ vermöge seiner ponderomotorischen Kräfte eldy. Us während der Zeit dt in ${\mathsf {Dv}}_{0}$ hervorbringt, so ist:

$\left(dT_{0}^{1}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }=R\delta _{0}r,$

wo $R$, die aus dem Ampère’schen Gesetze resultirende Kraft, den Werth hat $R={\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}i_{0}i_{1}{\mathsf {P}}$ [vergl. (8.), pag. 160]. Somit folgt:

$\left(dT_{0}^{1}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }={\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}i_{0}i_{1}{\mathsf {P}}\delta _{0}r,$

und in ähnlicher Weise:

$\left(dT_{1}^{0}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }={\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}i_{0}i_{1}{\mathsf {P}}\delta _{1}r,$

und hieraus durch Addition:

(57.)

$\left(dT_{0}^{1}+dT_{1}^{0}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }={\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}i_{0}i_{1}{\mathsf {P}}\delta r.$

Endlich folgt durch Addition von (56.), (57.):

(58.)

${\begin{array}{ll}\left(dT_{0}^{1}+dT_{1}^{0}+dQ_{0}^{1}+dQ_{1}^{0}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }&={\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot d\left(i_{0}i_{1}\Omega \right),\\&=d\left({\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}i_{0}i_{1}\Omega \right).\end{array}}$

Denkt man sich diese Formel (58.) der Reihe nach hingestellt für jedwedes Elementenpaar ${\mathsf {Dv}}_{0},{\mathsf {Dv}}_{1}$ des gegebenen Systemes $A,B,C,D,$... (sowohl für solche ${\mathsf {Dv}}_{0},{\mathsf {Dv}}_{1},$ welche verschiedenen Körpern, als auch für solche, die demselben Körper angehören), so gelangt man durch Addition all’ dieser Formeln zu folgendem Resultat^[1]:

(59.)

$\left(dT+dQ\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }=d\left[{\frac {1}{2}}\Sigma \Sigma \ \left({\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}i_{0}i_{1}\Omega \right)\right],$

wo die linke Seite den letzten Theil der in (50.) genannten Quantität vorstellt.

Was die beiden ersten Theile jener Quantität (50.) betrifft, so ist nach früheren Untersuchungen [vergl. pag. 24 und pag. 32]:

(60.)

$\left(dT\right)_{\mathrm {ord.\ Us} }=-dO,$

(61.)

$\left(dT+dQ\right)_{\mathrm {elst.\ Us} }=-dU,$

wo $O$ das ordinäre, $U$ das elektrostatische Potential des Systemes $A,B,C,D$, ... auf sich selber bezeichnet.

Durch Substitution der Werthe (59.), (60.), (61.) in (50.) folgt schliesslich:

(62.)

$dT+dQ=-d\left[O+U-{\frac {1}{2}}\Sigma \Sigma \ \left({\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}i_{0}i_{1}\Omega \right)\right]$

Das Postulat des gegebenen Systemes $A,B,C,D,$ ... oder (genauer ausgedrückt) die durch das allgemeine Axiom der lebendigen Kraft mit Bezug auf dieses System postulirte Function ${\mathfrak {F}}$ besitzt also den Werth:

(63.)

${\mathfrak {F}}=O+U-{\frac {1}{2}}\Sigma \Sigma \ \left({\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}i_{0}i_{1}\Omega \right),$

ein Ergebniss, welches völlig in Einklang sich befindet mit unseren früheren Untersuchungen (vergl. pag. 131 und 147).

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1. Vergl. die Note pag. 23.