Die elektrischen Kräfte/Zusammenstellung:§36

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§. 36. Zusammenstellung und weitere Entwicklung der für die Kräfte elektrodynamischen Ursprungs erhaltenen Formeln, unter Anwendung der Function $\psi$.

Jede Grösse $f$, welche bei der gegenseitigen ponderomotorischen und elektromotorischen Einwirkung zweier Stromelemente $i_{0}{\mathsf {Dv}}_{0}$ und $i_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}$ in Betracht kommen kann, wird, wenn wir an den zu Anfang des vorhergehenden Abschnitts (pag. 157—159) eingeführten Bezeichnungen festhalten, in letzter Instanz abhängig sein^[1] von den zehn einander coordinirten Argumenten:

(1.)	${\begin{array}{l}{\mathfrak {x}}_{0},{\mathfrak {y}}_{0},{\mathfrak {z}}_{0},\tau _{0},{\mathsf {T}}_{0},\\{\mathfrak {x}}_{1},{\mathfrak {y}}_{1},{\mathfrak {z}}_{1},\tau _{1},{\mathsf {T}}_{1};\end{array}}$

so dass also die Differentiationen nach diesen Argumenten, ohne Aenderung des Endresultates, mit einander vertauscht werden können.

Zur Abkürzung war damals, mit Bezug auf jede solche Grösse $f$, gesetzt worden:

(2.a)

${\begin{array}{lll}\delta _{0}f={\frac {\partial f}{\partial \tau _{0}}}dt,&&\Delta _{0}f={\frac {\partial f}{\partial {\mathsf {T}}_{0}}}dt,\\\\\delta _{1}f={\frac {\partial f}{\partial \tau _{1}}}dt,&&\Delta _{1}f={\frac {\partial f}{\partial {\mathsf {T}}_{1}}}dt;\end{array}}$

ferner:

(2.b)

$\delta f=\delta _{0}f+\delta _{1}f,\quad \Delta f=\Delta _{0}f+\Delta _{1}f;$

so dass also das dem Zeitelement $dt$ entsprechende vollständige Differential $dt$ sich darstellt durch:

(2.c)

$df=\delta f+\Delta f.\,$

Zu diesen Charakteristiken $\delta _{0},\delta _{1},\delta$ und $\Delta _{0},\Delta _{1},\Delta$ mögen nun noch folgende hinzugefügt werden:

(2.d)

${\begin{array}{l}\partial _{0}f={\frac {\partial f}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}{\mathfrak {u}}_{0}+{\frac {\partial f}{\partial {\mathfrak {y}}_{0}}}{\mathfrak {v}}_{0}+{\frac {\partial f}{\partial {\mathfrak {z}}_{0}}}{\mathfrak {w}}_{0},\\\\\partial _{1}f={\frac {\partial f}{\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}{\mathfrak {u}}_{1}+{\frac {\partial f}{\partial {\mathfrak {y}}_{1}}}{\mathfrak {v}}_{1}+{\frac {\partial f}{\partial {\mathfrak {z}}_{1}}}{\mathfrak {w}}_{1}.\end{array}}$

Differenzirt man die erste dieser beiden Formeln nach $\tau _{0}$, und beachtet man, dass ${\mathfrak {u}}_{0},{\mathfrak {v}}_{0},{\mathfrak {w}}_{0}$ von $\tau _{0}$ unabhängig sind^[2], so erhält man:

${\begin{array}{ll}{\frac {\partial \left(\partial _{0}f\right)}{\partial \tau _{0}}}dt&=\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}\partial \tau _{0}}}{\mathfrak {u}}_{0}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\mathfrak {y}}_{0}\partial \tau _{0}}}{\mathfrak {v}}_{0}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\mathfrak {z}}_{0}\partial \tau _{0}}}\right)dt,\\\\&={\frac {\partial \left({\frac {\partial f}{\partial \tau _{0}}}dt\right)}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}{\mathfrak {u}}_{0}+{\frac {\partial \left({\frac {\partial f}{\partial \tau _{0}}}dt\right)}{\partial {\mathfrak {y}}_{0}}}{\mathfrak {v}}_{0}+{\frac {\partial \left({\frac {\partial f}{\partial \tau _{0}}}dt\right)}{\partial {\mathfrak {z}}_{0}}}{\mathfrak {w}}_{0};\end{array}}$

wofür mit Rücksicht auf (2.a,d) einfacher geschrieben werden kann:

$\delta _{0}\left(\partial _{0}f\right)=\partial _{0}\left(\delta _{0}f\right),$

oder kürzer:

$\delta _{0}\partial _{0}f=\partial _{0}\delta _{0}f.$

In dieser und ähnlicher Weise erkennt man leicht, dass die Operationen

(2.e)

$\partial _{0},\partial _{1},\delta _{0},\delta _{1}$

in ihrer Reihenfolge, ohne Aenderung des Endresultates, beliebig mit einander vertauscht werden können; während solches z. B. bei $\partial _{0},\Delta _{0}$ nicht gestattet sein, würde^[3].

Sind $s_{0}$ und $s_{1}$ die augenblicklichen Richtungen der in den beiden Elementen vorhandenen elektrischen Strömungen $i_{0}$ und $i_{1}$ so erhält man:

${\begin{array}{ll}{\frac {\partial f}{\partial s_{0}}}&={\frac {\partial f}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}{\frac {\partial {\mathfrak {x}}_{0}}{\partial s_{0}}}+{\frac {\partial f}{\partial {\mathfrak {y}}_{0}}}{\frac {\partial {\mathfrak {y}}_{0}}{\partial s_{0}}}+{\frac {\partial f}{\partial {\mathfrak {z}}_{0}}}{\frac {\partial {\mathfrak {z}}_{0}}{\partial s_{0}}},\\\\&={\frac {\partial f}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}{\frac {{\mathfrak {u}}_{0}}{i_{0}}}+{\frac {\partial f}{\partial {\mathfrak {y}}_{0}}}{\frac {{\mathfrak {v}}_{0}}{i_{0}}}+{\frac {\partial f}{\partial {\mathfrak {z}}_{0}}}{\frac {{\mathfrak {w}}_{0}}{i_{0}}},\end{array}}$

folglich durch Multiplication mit $i_{0}$ und mit Rücksicht auf (2.d):

$i_{0}{\frac {\partial f}{\partial s_{0}}}=\partial _{0}f.$

In solcher Weise erhält man die Formeln:

(2.f)

$i_{0}{\frac {\partial f}{\partial s_{0}}}=\partial _{0}f,\ i_{1}{\frac {\partial f}{\partial s_{1}}}=\partial _{1}f,\ i_{0}i_{1}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial s_{0}\partial s_{1}}}=\partial _{0}\partial _{1}f.$

Es sollen nun hier die von $i_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}$ auf $i_{0}{\mathsf {Dv}}_{0}$ ausgeübten ponderomotorischen und elektromotorischen Kräfte betrachtet werden; dabei mögen die Componenten dieser Kräfte bezogen werden theils auf das absolut feste Axensystem ($x,y,z$) theils auf das mit der ponderablen Masse von $i_{0}{\mathsf {Dv}}_{0}$ starr verbundene Axensystem $\left({\mathfrak {x}}_{0},{\mathfrak {y}}_{0},{\mathfrak {z}}_{0}\right)$.

I. Die ponderomotorischen Kräfte eldy. Ursprungs.

Die von $i_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}$ auf $i_{0}{\mathsf {Dv}}_{0}$ ausgeübte ponderomotorische Kraft $R$ hat nach dem Ampère’schen Gesetz [vergl. die Formel (8.), pag. 160] den Werth:

$R=i_{0}{\mathsf {Dv}}_{0}\cdot i_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot 8A^{2}{\frac {d\psi }{dr}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial s_{0}\partial s_{1}}},$

wofür mit Rücksicht auf (2.f) auch geschrieben werden kann:

(3.)	$R=4A^{2}{\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot 2{\frac {d\psi }{dr}}\cdot \partial _{0}\partial _{1}\psi .$

Die Componenten ${\mathfrak {X}}$ und $X$ dieser Kraft respective nach den Axen ${\mathfrak {x}}_{0}$ und $x$ lauten daher^[4]:

(4.)	${\mathfrak {X}}=4A^{2}{\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot 2{\frac {d\psi }{d{\mathfrak {x}}_{0}}}\cdot \partial _{0}\partial _{1}\psi ,$

und:

(5.)	$X=4A^{2}{\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot 2{\frac {d\psi }{dx_{0}}}\cdot \partial _{0}\partial _{1}\psi .$

Die vom Element $i_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}$, vermöge seiner ponderomotorischen Wirkung eldy. Us, während der Zeit $dt$ in $i_{0}{\mathsf {Dv}}_{0}$ hervorgerufene lebendige Kraft $\left(dT_{0}^{1}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }$ steht zur Kraft $R$(3.) in der bekannten Beziehung:

(6.)	$\left(dT_{0}^{1}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }=R{\frac {\partial r}{\partial \tau _{0}}}dt=R\delta _{0}r,$

und erlangt daher durch Substitution des Werthes (3.) den Ausdruck:

(7.)	$\left(dT_{0}^{1}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }=4A^{2}{\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot 2\delta _{0}\psi \cdot \partial _{0}\partial _{1}\psi ;$

wofür, weil die Operationen $\delta _{0},\partial _{0},\partial _{1}$ in ihrer Reihenfolge vertauschbar sind, auch geschrieben werden darf:

(8.)

$\left(dT_{0}^{1}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }=4A^{2}{\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\left[-\delta _{0}\left(\partial _{0}\psi \cdot \partial _{1}\psi \right)+\partial _{0}\left(\partial _{1}\psi \cdot \delta _{0}\psi \right)+\partial _{1}\left(\partial _{0}\psi \cdot \delta _{0}\psi \right)\right].$

Eine mit (8.) analoge Formel resultirt für $\left(dT_{1}^{0}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }$. Addirt man diese zu jener, so folgt:

(9.)

$\left(dT_{0}^{1}+dT_{1}^{0}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }=4A^{2}{\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\left[-\delta _{0}\left(\partial _{0}\psi \cdot \partial _{1}\psi \right)+\partial _{0}\left(\partial _{1}\psi \cdot \delta \psi \right)+\partial _{1}\left(\partial _{0}\psi \cdot \delta \psi \right)\right].$

II. Die elektromotorischen Kräfte eldy. Us.

Bezeichnet man die von $i_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}$ während der Zeit $dt$ in irgend einem Puncte des Elementes $i_{0}{\mathsf {Dv}}_{0}$ hervorgebrachte elektromotorische Kraft mit

(10.)

$E\ dt,$

und mit ${\mathfrak {X}}dt,\ {\mathfrak {Y}}dt,\ {\mathfrak {Z}}dt$ die Componenten dieser Kraft nach den mit der ponderablen Masse von $i_{0}{\mathsf {Dv}}_{0}$ starr verbundenen Axen $\left({\mathfrak {x}}_{0},{\mathfrak {y}}_{0},{\mathfrak {z}}_{0}\right)$ ferner mit $X\ dt,\ Y\ dt,\ Z\ dt$ die Componenten derselben nach den absolut festen Axen ($x,y,z$), so gelangt man auf Grund des gefundenen Elementargesetzes (pag. 193) und durch Ausführung gewisser Rechnungen, welche erst später mitgetheilt werden sollen, zu der Formel:

(11.)

${\mathfrak {X}}\ dt=4A^{2}{\mathsf {Dv}}_{1}\left[d\left({\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}\cdot \partial _{1}\psi \right)-{\frac {\partial }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}\left(\partial _{1}\psi \cdot \delta \psi \right)\right],$

und von dieser zu der etwas complicirteren Formel:

(12.)

${\begin{array}{ll}X\ dt=&4A^{2}{\mathsf {Dv}}_{1}\left[d\left({\frac {\partial \psi }{\partial x_{0}}}\cdot \partial _{1}\psi \right)-{\frac {\partial }{\partial x_{0}}}\left(\partial _{1}\psi \cdot \delta \psi \right)\right]\\\\&\qquad -4A^{2}{\mathsf {Dv}}_{1}\left({\frac {\partial \psi }{\partial z_{0}}}\delta \beta _{0}-{\frac {\partial \psi }{\partial y_{0}}}\delta \gamma _{0}\right)\cdot \partial _{1}\psi ,\end{array}}$

wo $\delta \alpha _{0},\ \delta \beta _{0},\ \delta \gamma _{0}$ diejenigen Drehungen vorstellen, welche die ponderable Masse des Elementes $i_{0}{\mathsf {Dv}}_{0}$ während der Zeit $dt$ ausführt mit Bezug auf die drei absolut festen Axen $x,y,z$. Den Formeln (11.) zufolge, scheint also die Kraft $E\ dt$ (10.) abhängig zu sein von den eben genannten Drehungen. Dass indessen diese Abhängigkeit in der That nur eine scheinbare ist, geht deutlich hervor aus den Formeln (11).

Die vom Elemente $i_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}$, vermöge seiner elektromotorischen Wirkung eldy. Us, während der Zeit $dt$ im Elemente $i_{0}{\mathsf {Dv}}_{0}$ hervorgerufene Wärmemenge $\left(dQ_{0}^{1}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }$ bestimmt sich durch die bekannte Formel:

(13.)

$\left(dQ_{0}^{1}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }={\mathsf {Dv}}_{0}\left({\mathfrak {Xu}}_{0}+{\mathfrak {Yv}}_{0}+{\mathfrak {Zw}}_{0}\right)dt,$

wo ${\mathfrak {X}}\ dt,\ {\mathfrak {Y}}\ dt,\ {\mathfrak {Z}}\ dt$ die in (11.) angedeuteten Componenten vorstellen. Substituirt man für diese Componenten ihre Werthe, so folgt mit Hülfe einer später mitzutheilenden Rechnung:

(14.)

$\left(dQ_{0}^{1}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }=4A^{2}{\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\left[d\left(\partial _{0}\psi \cdot \partial _{1}\psi \right)-\Delta _{0}\left(\partial _{0}\psi \cdot \partial _{1}\psi \right)-\partial _{0}\left(\partial _{1}\psi \cdot \delta \psi \right)\right].$

Eine analoge Formel gilt offenbar für $\left(dQ_{1}^{0}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }$. Durch Addition beider folgt:

(15.)

$\left(dQ_{0}^{1}+dQ_{1}^{0}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }=4A^{2}{\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\left[2d\left(\partial _{0}\psi \cdot \partial _{1}\psi \right)-\Delta \left(\partial _{0}\psi \cdot \partial _{1}\psi \right)-\partial _{0}\left(\partial _{1}\psi \cdot \delta \psi \right)-\partial _{1}\left(\partial _{0}\psi \cdot \delta \psi \right)\right].$

Endlich folgt durch Addition von (9.) und (15.):

(16.)

$\left(dT_{0}^{1}+dT_{1}^{0}+dQ_{0}^{1}+dQ_{1}^{0}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }=4A^{2}{\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot d\left(\partial _{0}\psi \cdot \partial _{1}\psi \right);$

sodass also das elektrodynamische Postulat der betrachteten Elemente $i_{0}{\mathsf {Dv}}_{0}$ und $i_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}$ dargestellt sein wird durch^[5]:

(17.)

$(-1)\cdot 4A^{2}{\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot \partial _{0}\psi \cdot \partial _{1}\psi .$

Es bleibt noch übrig, die Ableitung der hier angegebenen Formeln (11.) bis (17.) näher zu besprechen.

Das von uns für die elektromotorischen Kräfte gefundene Elementargesetz war durch Formeln [(17.a,b), pag. 192] ausgedrückt; denen jedes beliebige rechtwinklige Axensystem zu Grunde gelegt sein darf. Nimmt man für dieses System das mit der ponderablen Masse von $i_{0}{\mathsf {Dv}}_{0}$ starr verbundene System $\left({\mathfrak {x}}_{0},{\mathfrak {y}}_{0},{\mathfrak {z}}_{0}\right)$, so erhält man für die entsprechenden Componenten ${\mathfrak {X}}dt,\ {\mathfrak {Y}}dt,\ {\mathfrak {Z}}dt$ der Kraft $E\ dt$ (10.) folgende Werthe:

($\alpha$.)

${\mathfrak {X}}\ dt={\mathsf {Dv}}_{1}\left[{\frac {{\mathfrak {x}}_{0}-{\overline {{\mathfrak {x}}_{1}}}}{r}}{\frac {\omega }{r}}d\left(rj_{1}\right)-{\overline {{\mathfrak {u}}_{1}}}{\frac {\omega \delta r}{r}}\right];$

ähnlich ${\mathfrak {Y}}dt$ und ${\mathfrak {Z}}dt$. Es sollen nämlich, nach wie vor, ${\mathfrak {x}}_{0},{\mathfrak {y}}_{0},{\mathfrak {z}}_{0}$ und ${\mathfrak {u}}_{0},{\mathfrak {v}}_{0},{\mathfrak {w}}_{0}$ die Coordinaten und Strömungscomponenten von $i_{0}{\mathsf {Dv}}_{0}$ in Bezug auf das Axensystem $\left({\mathfrak {x}}_{0},{\mathfrak {y}}_{0},{\mathfrak {z}}_{0}\right)$ vorstellen; und in Bezug auf ebendasselbe Axensystem sollen ${\overline {{\mathfrak {x}}_{1}}},{\overline {{\mathfrak {y}}_{1}}},{\overline {{\mathfrak {z}}_{1}}}$ und ${\overline {{\mathfrak {u}}_{1}}},{\overline {{\mathfrak {v}}_{1}}},{\overline {{\mathfrak {w}}_{1}}}$ die Coordinaten und Strömungscomponenten von $i_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}$ sein. Daneben ist zu bemerken, dass $\omega$ und $rj_{1}$ die Bedeutungen haben:

($\beta$.)

$\omega =-4A^{2}\left({\frac {d\psi }{dr}}\right)^{2},$

($\gamma$.)

$rj_{1}=\left({\mathfrak {x}}_{0}-{\overline {{\mathfrak {x}}_{1}}}\right){\overline {{\mathfrak {u}}_{1}}}+\left({\mathfrak {y}}_{0}-{\overline {{\mathfrak {y}}_{1}}}\right){\overline {{\mathfrak {v}}_{1}}}+\left({\mathfrak {z}}_{0}-{\overline {{\mathfrak {z}}_{1}}}\right){\overline {{\mathfrak {w}}_{1}}}.$

Endlich ist mit Bezug auf jene Formel ($\alpha$.) zu bemerken, dass man im letzten Gliede derselben ganz nach Belieben $\delta r$, oder statt dessen auch $dr$ schreiben darf^[6].

Da alle Grössen in letzter Instanz durch die zehn Argumente (1.) ausgedrückt zu denken sind, so werden ${\overline {{\mathfrak {x}}_{1}}},{\overline {{\mathfrak {y}}_{1}}},{\overline {{\mathfrak {z}}_{1}}}$ als Functionen von

$\tau _{0}$ und ${\mathfrak {x}}_{1},{\mathfrak {y}}_{1},{\mathfrak {z}}_{1},\tau _{1},$

andererseits ${\overline {{\mathfrak {u}}_{1}}},{\overline {{\mathfrak {v}}_{1}}},{\overline {{\mathfrak {w}}_{1}}}$ als Functionen von

$\tau _{0}$ und ${\mathfrak {x}}_{1},{\mathfrak {y}}_{1},{\mathfrak {z}}_{1},\tau _{1},{\mathsf {T}}_{1}$

aufzufassen sein. Durch partielle Differentiation der Gleichung ($\gamma$.) nach ${\mathfrak {x}}_{0}$ folgt daher:

${\frac {\partial \left(rj_{1}\right)}{\partial {\mathfrak {x}}_{1}}}={\overline {{\mathfrak {u}}_{1}}},$

oder (was dasselbe ist):

${\overline {{\mathfrak {u}}_{1}}}=r{\frac {\partial j_{1}}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}+j_{1}{\frac {\partial r}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}.$

Somit kann die Componente ${\mathfrak {X}}\ dt$ ($\alpha$.) auch so dargestellt werden:

($\delta$.)

${\mathfrak {X}}\ dt={\mathsf {Dv}}_{1}\left[{\frac {\partial r}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}{\frac {\omega }{r}}d\left(rj_{1}\right)-\left(r{\frac {\partial j_{1}}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}+j_{1}{\frac {\partial r}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}\right){\frac {\omega \delta r}{r}}\right].$

Beachtet man nun, dass das erste Glied dieses Ausdruckes der Umgestaltung fähig ist:

${\begin{array}{ll}{\frac {\partial r}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}{\frac {\omega }{r}}d\left(rj_{1}\right)&=d\left({\frac {\partial r}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}\omega j_{1}\right)-rj_{1}\cdot \delta \left({\frac {\partial r}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}{\frac {\omega }{r}}\right),\\\\&=d\left({\frac {\partial r}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}\omega j_{1}\right)-\omega j_{1}\cdot \delta {\frac {\partial r}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}-j_{1}{\frac {\partial r}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}\delta \omega +j_{1}{\frac {\partial r}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}{\frac {\omega \delta r}{r}},\end{array}}$

so erhält man sofort:

($\epsilon$)

${\mathfrak {X}}\ dt={\mathsf {Dv}}_{1}\left[d\left({\frac {\partial r}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}\omega j_{1}\right)-\omega j_{1}\cdot \delta {\frac {\partial r}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}-j_{1}{\frac {\partial r}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}\delta \omega -{\frac {\partial j_{1}}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}\omega \delta r\right].$

Hiefür aber kann, weil einerseits

$\delta {\frac {\partial r}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}={\frac {\partial \delta r}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}},$

und andererseits

${\frac {\partial r}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}\delta \omega ={\frac {\partial r}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}{\frac {d\omega }{dr}}\delta r={\frac {\partial \omega }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}\delta r$

ist, auch geschrieben werden:

($\zeta$)

${\mathfrak {X}}\ dt={\mathsf {Dv}}_{1}\left[d\left({\frac {\partial r}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}\omega j_{1}\right)-\omega j_{1}{\frac {\partial r}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}-j_{1}{\frac {\partial \omega }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}\delta r-{\frac {\partial j_{1}}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}\omega \delta r\right],$

oder (was dasselbe ist):

($\eta$)

${\mathfrak {X}}\ dt={\mathsf {Dv}}_{1}\left[d\left({\frac {\partial r}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}\omega j_{1}\right)-{\frac {\partial }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}\left(\omega j_{1}\delta r\right)\right],$

oder, falls man für $\omega$ seinen Werth ($\beta$) substituirt:

($\vartheta$)

${\mathfrak {X}}\ dt=4A^{2}{\mathsf {Dv}}_{1}\left[-d\left({\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}{\frac {d\psi }{dr}}j_{1}\right)+{\frac {\partial }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}\left({\frac {d\psi }{dr}}j_{1}\cdot \delta \psi \right)\right].$

Nun ist aber: ${\frac {d\psi }{dr}}j_{1}=-\partial _{1}\psi$. Somit folgt:

${\begin{array}{lllll}(\iota .)&&{\mathfrak {X}}\ dt=4A^{2}{\mathsf {Dv}}_{1}\left[d\left({\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}\cdot \partial _{1}\psi \right)-{\frac {\partial }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}\left(\partial _{1}\psi \cdot \delta \psi \right)\right].&&{\mathsf {Ebenso\ wird}}:\\\\(\varkappa .)&&{\mathfrak {Y}}\ dt=4A^{2}{\mathsf {Dv}}_{1}\left[d\left({\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {y}}_{0}}}\cdot \partial _{1}\psi \right)-{\frac {\partial }{\partial {\mathfrak {y}}_{0}}}\left(\partial _{1}\psi \cdot \delta \psi \right)\right],\\\\(\lambda .)&&{\mathfrak {Z}}\ dt=4A^{2}{\mathsf {Dv}}_{1}\left[d\left({\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {z}}_{0}}}\cdot \partial _{1}\psi \right)-{\frac {\partial }{\partial {\mathfrak {z}}_{0}}}\left(\partial _{1}\psi \cdot \delta \psi \right)\right].\end{array}}$

Durch $(\iota .)$ ist der Beweis geliefert für die Formel (11.):

Um den Beweis der folgenden Formel (12.) zu erhalten, bedarf es ebenfalls ziemlich mühsamer Betrachtungen. Es waren [vergl. den Anfang des vorhergehenden Abschnitts (pag. 158)] mit

($\mu _{1}$.)

${\begin{array}{l}x_{0}=C^{1}+C^{11}{\mathfrak {x}}_{0}+C^{12}{\mathfrak {y}}_{0}+C^{13}{\mathfrak {z}}_{0},\\y_{0}=C^{2}+C^{21}{\mathfrak {x}}_{0}+C^{22}{\mathfrak {y}}_{0}+C^{23}{\mathfrak {z}}_{0},\\z_{0}=C^{3}+C^{31}{\mathfrak {x}}_{0}+C^{32}{\mathfrak {y}}_{0}+C^{33}{\mathfrak {z}}_{0}\end{array}}$

die Relationen bezeichnet worden, welche stattfinden zwischen den beiderlei Coordinaten $x_{0},y_{0},z_{0}$ und ${\mathfrak {x}}_{0},{\mathfrak {y}}_{0},{\mathfrak {z}}_{0}$ des Elementes $i_{0}{\mathsf {Dv}}_{0}$. Demgemäss ist:

($\mu _{2}$.)

${\begin{array}{l}{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}={\frac {\partial \psi }{\partial x_{0}}}C^{11}+{\frac {\partial \psi }{\partial y_{0}}}C^{21}+{\frac {\partial \psi }{\partial z_{0}}}C^{31},\\\\{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {y}}_{0}}}=\mathrm {etc.\ etc.} ;\end{array}}$

woraus durch Umkehrung folgt:

($\mu _{3}$.)

${\begin{array}{l}{\frac {\partial \psi }{\partial x_{0}}}={\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}C^{11}+{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {y}}_{0}}}C^{12}+{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {z}}_{0}}}C^{13},\\\\{\frac {\partial \psi }{\partial y_{0}}}=\mathrm {etc.\ etc.} \end{array}}$

Multiplicirt man die Gleichungen ($\mu _{2}$.) der Reihe nach mit $\delta C^{11},\ \delta C^{12},\ \delta C^{13}$ (d.i. mit denjenigen Zuwüchsen, welche $C^{11},\ C^{12},\ C^{13}$ erfahren während der Zeit $dt$), so erhält man:

${\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}\delta C^{11}+{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {y}}_{0}}}\delta C^{12}+{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {z}}_{0}}}\delta C^{13}={\frac {\partial \psi }{\partial y_{0}}}\cdot \Sigma \ \left(C^{2h}\delta C^{1h}\right)+{\frac {\partial \psi }{\partial z_{0}}}\cdot \Sigma \ \left(C^{3h}\delta C^{1h}\right),$

also mit Rücksicht auf bekannte Relationen [(40.e), pag. 47]:

($\mu _{4}$.)

${\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}\delta C^{11}+{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {y}}_{0}}}\delta C^{12}+{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {z}}_{0}}}\delta C^{13}=-{\frac {\partial \psi }{\partial y_{0}}}\delta \gamma _{0}+{\frac {\partial \psi }{\partial z_{0}}}\delta \beta _{0},$

wo $\delta \alpha _{0},\delta \beta _{0},\delta \gamma _{0}$ diejenigen Drehungen vorstellen, welche die ponderable Masse des Elementes $i_{0}{\mathsf {Dv}}_{0}$ während der Zeit $dt$ erleidet in Bezug auf die absolut festen Axen $x,y,z$. — Ferner ist zu bemerken, dass die beiderlei Componenten $X,Y,Z$ und ${\mathfrak {X,\ Y,\ Z}}$ der elektromotorischen Kraft $E$ (10.) zu einander in den Beziehungen stehen:

($\mu _{5}$.)

${\begin{array}{l}X=C^{11}{\mathfrak {X}}+C^{12}{\mathfrak {Y}}+C^{13}{\mathfrak {Z}},\\Y=\mathrm {etc.\ etc.} \end{array}}$

Ist $f$ eine beliebige Grösse, d. h. eine von den zehn Argumenten (1.) abhängende Grösse, so bedarf es, um mit den Ableitungen ${\frac {\partial f}{\partial x_{0}}},\ {\frac {\partial f}{\partial y_{0}}},\ {\frac {\partial f}{\partial z_{0}}}$ einen bestimmten Sinn zu verbinden, einer näheren Determination. Diese sei dargestellt durch die mit ($\mu _{3}$.) analogen Formeln:

($\nu$.)

${\begin{array}{l}{\frac {\partial f}{\partial x_{0}}}={\frac {\partial f}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}C^{11}+{\frac {\partial f}{\partial {\mathfrak {y}}_{0}}}C^{12}+{\frac {\partial f}{\partial {\mathfrak {z}}_{0}}}C^{13},\\\\{\frac {\partial f}{\partial y_{0}}}=\mathrm {etc.\ etc.} ,\end{array}}$

wo also $C^{11}=\cos \left({\mathfrak {x}}_{0},x\right),\ C^{12}=\cos \left({\mathfrak {y}}_{0},x\right),\ C^{13}=\cos \left({\mathfrak {z}}_{0},x\right),$ ist, u. s. w.

Multiplicirt man nun die Gleichungen $(\iota .)\ (\varkappa .),\ (\lambda .)$ mit den Cosinus $C^{11},\ C^{12},\ C^{13}$, und addirt, so ergiebt sich mit Rücksicht auf ($\mu _{5}$.) und ($\nu$.) sofort:

($\xi$.)

$X\ dt=4A^{2}{\mathsf {Dv}}_{1}\left[U-{\frac {\partial }{\partial x_{0}}}\left(\partial _{1}\psi \cdot \delta \psi \right)\right],$

wo $U$ den Werth hat:

($\mathrm {o} _{1}$.)

$U=C^{11}d\left({\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}\cdot \partial _{1}\psi \right)+C^{12}d\left({\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {y}}_{0}}}\cdot \partial _{1}\psi \right)+C^{13}d\left({\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {z}}_{0}}}\cdot \partial _{1}\psi \right),$

mithin auch so dargestellt werden kann:

($\mathrm {o} _{2}$.)

${\begin{array}{ll}U=&d\left[\left(C^{11}{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}+C^{12}{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {y}}_{0}}}+C^{13}{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {z}}_{0}}}\right)\cdot \partial _{1}\psi \right]\\\\&\qquad -\partial _{1}\psi \cdot \left({\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}dC^{11}+{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {y}}_{0}}}dC^{12}+{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {z}}_{0}}}dC^{13}\right).\end{array}}$

Nun sind die $dC$ offenbar identisch mit den $\delta C$. Mit Rücksicht auf ($\mu _{3}$.) und ($\mu _{4}$.) kann daher die Formel ($\mathrm {o} _{2}$.) auch so dargestellt werden:

($\mathrm {o} _{3}$.)

$U=d\left({\frac {\partial \psi }{\partial x_{0}}}\cdot \partial _{1}\psi \right)-\partial _{1}\psi \cdot \left({\frac {\partial \psi }{\partial z_{0}}}\delta \beta _{0}-{\frac {\partial \psi }{\partial y_{0}}}\delta \gamma _{0}\right).$

Substituirt man aber diesen Werth von $U$ in ($\xi$.), so folgt:

($\pi$.)

${\begin{array}{ll}X\ dt=&4A^{2}{\mathsf {Dv}}_{1}\left[d\left({\frac {\partial \psi }{\partial x_{0}}}\cdot \partial _{1}\psi \right)-{\frac {\partial }{\partial x_{0}}}\left(\partial _{1}\psi \cdot \delta \psi \right)\right]\\\\&\qquad -4A^{2}{\mathsf {Dv}}_{1}\left({\frac {\partial \psi }{\partial z_{0}}}\delta \beta _{0}-{\frac {\partial \psi }{\partial y_{0}}}\delta \gamma _{0}\right)\cdot \partial _{1}\psi ;\end{array}}$

und dies ist die zu beweisende Formel (12.). Aus den eben angestellten Erörterungen geht hervor, dass diese Formel nur dann gültig ist, wenn man in Betreff der Ableitungen

${\frac {\partial }{\partial x_{0}}},\ {\frac {\partial }{\partial y_{0}}},\ {\frac {\partial }{\partial z_{0}}}$

festhält an der in ($\nu$.) gegebenen Definition.

Die Wärmemenge $\left(dQ_{0}^{1}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }$ besitzt, wie schon in (13.) angegeben wurde, den Werth:

($\varrho$.)

$\left(dQ_{0}^{1}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }={\mathsf {Dv}}_{0}\left({\mathfrak {Xu}}_{0}+{\mathfrak {Yv}}_{0}+{\mathfrak {Zw}}_{0}\right)dt,$

Substituirt man hier für ${\mathfrak {X}}dt_{0},\ {\mathfrak {Y}}dt_{0},\ {\mathfrak {Z}}dt_{0}$ die in $(\iota .)\ (\varkappa .),\ (\lambda .)$ gefundenen Ausdrücke, so erhält man:

($\sigma$.)

$\left(dQ_{0}^{1}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }=4A^{2}{\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\left[V-\partial _{0}\left(\partial _{1}\psi \cdot \delta \psi \right)\right];$

hier hat $V$ die Bedeutung:

($\tau _{1}$.)

$V={\mathfrak {u}}_{0}d\left({\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}\cdot \partial _{1}\psi \right)+{\mathfrak {v}}_{0}d\left({\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {y}}_{0}}}\cdot \partial _{1}\psi \right)+{\mathfrak {w}}_{0}d\left({\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {z}}_{0}}}\cdot \partial _{1}\psi \right),$

und kann also auch so dargestellt werden:

($\tau _{2}$.)

${\begin{array}{ll}V=&d\left[\left({\mathfrak {u}}_{0}{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}+{\mathfrak {v}}_{0}{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {y}}_{0}}}+{\mathfrak {w}}_{0}{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {z}}_{0}}}\right)\cdot \partial _{1}\psi \right]\\\\&\qquad -\partial _{1}\psi \cdot \left({\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}d{\mathfrak {u}}_{0}+{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {y}}_{0}}}d{\mathfrak {v}}_{0}+{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {z}}_{0}}}d{\mathfrak {w}}_{0}\right),\end{array}}$

oder auch so^[7]:

($\tau _{3}$.)

$V=d\left(\partial _{0}\psi \cdot \partial _{1}\psi \right)-\partial _{1}\psi \cdot \Delta _{0}\partial _{0}\psi ,$

oder endlich, weil $\partial _{1}\psi$ von ${\mathsf {T}}_{0}$ unabhängig ist, auch so:

($\tau _{4}$.)

$V=d\left(\partial _{0}\psi \cdot \partial _{1}\psi \right)-\Delta _{0}\left(\partial _{0}\psi \cdot \partial _{1}\psi \right).$

Substituirt man diesen Werth in ($\sigma$.), so erhält man:

($\upsilon$.)

$\left(dQ_{0}^{1}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }=4A^{2}{\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\left[d\left(\partial _{0}\psi \cdot \partial _{1}\psi \right)-\Delta _{0}\left(\partial _{0}\psi \cdot \partial _{1}\psi \right)-\partial _{0}\left(\partial _{1}\psi \cdot \delta \psi \right)\right];$

dies aber ist die zu beweisende Formel (14.).

Der Uebergang von (14.) zu (15.), zu (16.), endlich zu (17.) bedarf keiner weiteren Erläuterung.

III. Zugehörige Integralformeln.

Finden in zwei Körpern $A$ und $B$ irgend welche elektrische Vorgänge statt, so ist das elektrodynamische Potential $P$ der beiden Körper aufeinander definirt durch die Formel (pag. 166):

(18.)

$P=-4A^{2}\cdot \Sigma \Sigma \left[{\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\left({\frac {d\psi }{dr}}\right)^{2}i_{0}\Theta _{0}i_{1}\Theta _{1}\right],$

wo ${\mathsf {Dv}}_{0},{\mathsf {Dv}}_{1}$ irgend zwei Volumelemente der beiden Körper, ferner $i_{0},i_{1}$ die in diesen Elementen vorhandenen elektrischen Strömungen, endlich $\Theta _{0},\Theta _{1}$ die Cosinus derjenigen Winkel vorstellen, unter denen $i_{0},i_{1}$ gegen die Linie $r\left({\mathsf {Dv}}_{1}\rightarrowtail {\mathsf {Dv}}_{0}\right)$ geneigt sind. Nun ergiebt sich leicht^[8]:

${\begin{array}{l}{\frac {d\psi }{dr}}i_{0}\Theta _{0}={\frac {d\psi }{dr}}j_{0}=\partial _{0}\psi ,\\\\{\frac {d\psi }{dr}}i_{1}\Theta _{1}={\frac {d\psi }{dr}}j_{1}=-\partial _{1}\psi .\end{array}}$

Somit folgt aus (18.):

(19.)

$P=4A^{2}\cdot \Sigma \Sigma \left[{\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot \partial _{0}\psi \cdot \partial _{1}\psi \right].$

In (8.) und (14.) war mit Bezug auf irgend zwei elektrische Stromelemente $i_{0}{\mathsf {Dv}}_{0}$ und $i_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}$ gefunden worden:

(20.)

$\left(dT_{0}^{1}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }=4A^{2}{\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\left[-\delta _{0}\left(\partial _{0}\psi \cdot \partial _{1}\psi \right)-\partial _{0}\left(\partial _{1}\psi \cdot \partial _{0}\psi \right)+\partial _{1}\left(\partial _{0}\psi \cdot \delta _{0}\psi \right)\right].$

und ferner:

(21).

$\left(dQ_{0}^{1}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }=4A^{2}{\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\left[d\left(\partial _{0}\psi \cdot \partial _{1}\psi \right)-\Delta _{0}\left(\partial _{0}\psi \cdot \partial _{1}\psi \right)-\partial _{0}\left(\partial _{1}\psi \cdot \delta \psi \right)\right].$

Es sollen nun hier die Resultate untersucht werden, zu denen man gelangt, wenn man diese Formeln (20.), (21.) integrirt über sämmtliche Elemente ${\mathsf {Dv}}_{0}$ und ${\mathsf {Dv}}_{1}$ der beiden gegebenen Körper $A$ und $B$. Dabei soll vorläufig keinerlei Voraussetzung gemacht werden, weder über die Bewegungen der beiden Körper, noch auch über die in ihnen stattfindenden elektrischen Vorgänge.

Sind $\epsilon _{0}$ und ${\overline {\epsilon _{0}}}$ die in den Volumelementen ${\mathsf {Dv}}_{0}$ und in den Oberflächenelementen ${\mathsf {D}}o_{0}$ des Körpers $A$ vorhandenen elektrischen Dichtigkeiten, und ist $N_{0}$ die auf ${\mathsf {D}}o_{0}$ errichtete innere Normale, so stehen die zeitlichen Aenderungen dieser Dichtigkeiten zu den im Körper vorhandenen Strömungen ${\mathfrak {u}}_{0},{\mathfrak {v}}_{0},{\mathfrak {w}}_{0}$ in folgender Beziehung (pag. 4 und 5):

(22.)

${\begin{array}{l}{\frac {d\epsilon _{0}}{dt}}=-\left({\frac {d{\mathfrak {u}}_{0}}{d{\mathfrak {x}}_{0}}}+{\frac {d{\mathfrak {v}}_{0}}{d{\mathfrak {y}}_{0}}}+{\frac {d{\mathfrak {w}}_{0}}{d{\mathfrak {z}}_{0}}}\right),\\\\{\frac {d{\overline {\epsilon _{0}}}}{dt}}=-\left({\mathfrak {u}}_{0}\cos \left(N_{0},{\mathfrak {x}}_{0}\right)+{\mathfrak {v}}_{0}\cos \left(N_{0},{\mathfrak {y}}_{0}\right)+{\mathfrak {w}}_{0}\cos \left(N_{0},{\mathfrak {z}}_{0}\right)\right).\end{array}}$

Ist nun $F$ eine beliebige Function der zehn Argumente (1.), und bedient man sich der früher (pag. 27) eingeführten Collectivbezeichnungen:

(23.)

${\mathsf {O}}_{0}\ \mathrm {f{\ddot {u}}r} \ \left\{{{\mathsf {Dv}}_{0}, \atop {\mathsf {D}}o_{0},}\right.\qquad {\mathsf {H}}_{0}\ \mathrm {f{\ddot {u}}r} \ \left\{{\epsilon _{0}, \atop {\overline {\epsilon _{0}}},}\right.$

so erhält man für das über den Körper $A$ ausgedehnte Integral $\Sigma \left[{\mathsf {Dv}}_{0}\cdot \partial _{0}F\right]$ der Reihe nach folgende Umgestaltungen:

(24.)

${\begin{array}{ll}\Sigma \left[{\mathsf {Dv}}_{0}\cdot \partial _{0}F\right]&=\Sigma \ \left[{\mathsf {Dv}}_{0}\left({\frac {dF}{d{\mathfrak {x}}_{0}}}{\mathfrak {u}}_{0}+{\frac {dF}{d{\mathfrak {y}}_{0}}}{\mathfrak {v}}_{0}+{\frac {dF}{d{\mathfrak {z}}_{0}}}{\mathfrak {w}}_{0}\right)\right],\\\\&=\Sigma \ \left[{\mathsf {Dv}}_{0}\left({\frac {d\left(F{\mathfrak {u}}_{0}\right)}{d{\mathfrak {x}}_{0}}}+\cdots \right)\right]-\Sigma \left[{\mathsf {Dv}}_{0}F\left({\frac {d{\mathfrak {u}}_{0}}{d{\mathfrak {x}}_{0}}}+\cdots \right)\right]\\\\&=-\Sigma \ \left[{\mathsf {D}}o_{0}F\left({\mathfrak {u}}_{0}\cos \left(N_{0},{\mathfrak {x}}_{0}\right)+\cdots \right)\right]-\Sigma \left[{\mathsf {Dv}}_{0}F\left({\frac {d{\mathfrak {u}}_{0}}{d{\mathfrak {x}}_{0}}}+\cdots \right)\right]\end{array}}$

also mit Rücksicht auf (22.):

(25.)

$\Sigma \ \left[{\mathsf {Dv}}_{0}\cdot \partial _{0}F\right]=\Sigma \ \left[{\mathsf {D}}o_{0}F{\frac {d{\overline {\epsilon _{0}}}}{dt}}\right]+\Sigma \ \left[{\mathsf {Dv}}_{0}F{\frac {d\epsilon _{0}}{dt}}\right],$

oder mit Anwendung der Collectivbezeichnungen (23.):

(26.)

$\Sigma \ \left[{\mathsf {Dv}}_{0}\cdot \partial _{0}F\right]=\Sigma \ \left[{\mathsf {O}}_{0}F{\frac {d{\mathsf {H}}_{0}}{dt}}\right].$

In dieser Formel mag nun statt $F$ das Product

$\partial _{1}\psi \cdot f\,$

substituirt werden, wo $f$ (ebenso wie $F$ selber) eine beliebige Function der zehn Argumente (1.) sein soll. Alsdann ergiebt sich:

(27.)

$\Sigma \ \left[{\mathsf {Dv}}_{0}\cdot \partial _{0}\left(\partial _{1}\psi \cdot f\right)\right]=\Sigma \ \left[{\mathsf {O}}_{0}{\frac {d{\mathsf {H}}_{0}}{dt}}\cdot \partial _{1}\psi \cdot f\right].$

Multiplicirt man diese Formel mit ${\mathsf {Dv}}_{1}$, und integrirt dann über sämmtliche Volumelemente ${\mathsf {Dv}}_{1}$ des Körpers $B$, so folgt:

(28.a)

$\Sigma \Sigma \ \left[{\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot \partial _{0}\left(\partial _{1}\psi \cdot f\right)\right]=\Sigma \Sigma \ \left[{\mathsf {O}}_{0}{\frac {d{\mathsf {H}}_{0}}{dt}}\cdot {\mathsf {Dv}}_{1}\cdot \partial _{1}\psi \cdot f\right].$

In analoger Weise gelangt man offenbar zu der parallel stehenden Formel:

(28.b)

$\Sigma \Sigma \ \left[{\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot \partial _{1}\left(\partial _{0}\psi \cdot f\right)\right]=\Sigma \Sigma \ \left[{\mathsf {O}}_{1}{\frac {d{\mathsf {H}}_{1}}{dt}}\cdot {\mathsf {Dv}}_{0}\cdot \partial _{0}\psi \cdot f\right].$

Der Bequemlichkeit willen mögen nun unter ${\mathsf {O}}_{00}$ und ${\mathsf {O}}_{11}$ folgende Abkürzungen verstanden werden:

(29.)

${\begin{array}{l}{\mathsf {O}}_{00}=\left({\mathsf {O}}_{0}{\frac {d{\mathsf {H}}_{0}}{dt}}\right)\left({\mathsf {Dv}}_{1}\cdot \partial _{1}\psi \right),\\\\{\mathsf {O}}_{11}=\left({\mathsf {O}}_{1}{\frac {d{\mathsf {H}}_{1}}{dt}}\right)\left({\mathsf {Dv}}_{0}\cdot \partial _{0}\psi \right);\end{array}}$

alsdann können die Formeln (28.a,b) so dargestellt werden:

(30.)

${\begin{array}{l}\Sigma \Sigma \ \left[{\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot \partial _{0}\left(\partial _{1}\psi \cdot f\right)\right]=\Sigma \Sigma \ \left[{\mathsf {O}}_{00}\cdot f\right],\\\Sigma \Sigma \ \left[{\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot \partial _{1}\left(\partial _{0}\psi \cdot f\right)\right]=\Sigma \Sigma \ \left[{\mathsf {O}}_{11}\cdot f\right].\end{array}}$

Unterwirft man die Formel (20.) einer Integration über alle ${\mathsf {Dv}}_{0}$ von $A$, und über alle ${\mathsf {Dv}}_{1}$ von $B$, so erhält man mit Rücksicht auf (19.) sofort:

(31.)

$\left(dT_{A}^{B}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }=-\delta _{0}P+4A^{2}\cdot \Sigma \Sigma \ \left[{\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\left(\partial _{0}\left(\partial _{1}\psi \cdot \delta _{0}\psi \right)+\partial _{1}\left(\partial _{0}\psi \cdot \delta _{0}\psi \right)\right)\right];$

ebenso erhält man aus (21.):

(32.)

$\left(dQ_{A}^{B}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }=+dP-\Delta _{0}P-4A^{2}\cdot \Sigma \Sigma \ \left[{\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot \partial _{0}\left(\partial _{1}\psi \cdot \delta _{0}\psi \right)\right].$

Die in (31.) enthaltenen Integrale $\Sigma \Sigma$ können der Transformation (30.) unterworfen werden, indem man $\delta _{0}\psi$ als das $f$ betrachtet. Man erhält alsdann:

(33.$\alpha$)

$\left(dT_{A}^{B}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }=-\delta _{0}P+4A^{2}\cdot \Sigma \Sigma \left[\left({\mathsf {O}}_{00}+{\mathsf {O}}_{11}\right)\delta _{0}\psi \right];$

und in analoger Weise wird offenbar auch die parallel stehende Formel sich ergeben:

(33.$\beta$)

$\left(dT_{B}^{A}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }=-\delta _{1}P+4A^{2}\cdot \Sigma \Sigma \left[\left({\mathsf {O}}_{00}+{\mathsf {O}}_{11}\right)\delta _{1}\psi \right];$

aus diesen beiden Formeln (33.$\alpha ,\beta$) folgt durch Addition sofort:

(33.$\gamma$)

$\left(dT_{A}^{B}+dT_{B}^{A}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }=-\delta P+4A^{2}\cdot \Sigma \Sigma \left[\left({\mathsf {O}}_{00}+{\mathsf {O}}_{11}\right)\delta \psi \right];$

Andererseits gewinnt die Formel (32.) durch Ausführung der Transformationen (30.) folgende Gestalt:

(34.$\alpha$)

$\left(dQ_{A}^{B}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }=dP-\Delta _{0}P-4A^{2}\cdot \Sigma \Sigma \left[{\mathsf {O}}_{00}\cdot \delta \psi \right];$

die parallel stehende Formel lautet mithin:

(34.$\beta$)

$\left(dQ_{B}^{A}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }=dP-\Delta _{1}P-4A^{2}\cdot \Sigma \Sigma \left[{\mathsf {O}}_{11}\cdot \delta \psi \right];$

und durch Addition beider folgt:

(34.$\gamma$)

$\left(dQ_{A}^{B}+dQ_{B}^{A}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }=2dP-\Delta P-4A^{2}\cdot \Sigma \Sigma \left[\left({\mathsf {O}}_{00}+{\mathsf {O}}_{11}\right)\delta \psi \right].$

Schliesslich erhält man durch Addition der Formeln (33.$\gamma$) und (34.$\gamma$):

(35.$\gamma$)

$\left(dT_{A}^{B}+dT_{B}^{A}+dQ_{A}^{B}+dQ_{B}^{A}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }=dP.$

Diese Formeln (33.$\alpha ,\beta ,\gamma$), (34.$\alpha ,\beta ,\gamma$) und (35.) sind allgemein gültig, ohne dass es über die Bewegungen der beiden Körper $A,B$, oder über die in ihnen vorhandenen elektrischen Vorgänge irgend welcher Voraussetzungen bedarf. Bei ihrer Benutzung werden im Auge zu behalten sein die Bedeutungen von ${\mathsf {O}}_{00},{\mathsf {O}}_{11}$ (29.):

(36.)

${\begin{array}{l}{\mathsf {O}}_{00}=\left({\mathsf {O}}_{0}{\frac {d{\mathsf {H}}_{0}}{dt}}\right)\left({\mathsf {Dv}}_{1}\cdot \partial _{1}\psi \right),\\\\{\mathsf {O}}_{11}=\left({\mathsf {O}}_{1}{\frac {d{\mathsf {H}}_{1}}{dt}}\right)\left({\mathsf {Dv}}_{0}\cdot \partial _{0}\psi \right);\end{array}}$

und ferner wird dabei im Auge zu behalten sein, dass ${\mathsf {O}}_{0}{\frac {d{\mathsf {H}}_{0}}{dt}}$ und ${\mathsf {O}}_{1}{\frac {d{\mathsf {H}}_{1}}{dt}}$ Collectivbezeichnungen sind für folgende Ausdrücke:

(37.a)

${\mathsf {O}}_{0}{\frac {d{\mathsf {H}}_{0}}{dt}}\ \mathrm {f{\ddot {u}}r} \ \left\{{\begin{array}{l}{\mathsf {Dv}}_{0}{\frac {d\epsilon _{0}}{dt}}=-{\mathsf {Dv}}_{0}\left({\frac {d{\mathfrak {u}}_{0}}{d{\mathfrak {x}}_{0}}}+{\frac {d{\mathfrak {v}}_{0}}{d{\mathfrak {y}}_{0}}}+{\frac {d{\mathfrak {w}}_{0}}{d{\mathfrak {z}}_{0}}}\right),\\\\{\mathsf {D}}o_{0}{\frac {d{\overline {\epsilon _{0}}}}{dt}}=-{\mathsf {D}}o_{0}\left({\mathfrak {u}}_{0}\cos \left(N_{0},{\mathfrak {x}}_{0}\right)+\cdots \right),\end{array}}\right.$

(37.b)

${\mathsf {O}}_{1}{\frac {d{\mathsf {H}}_{1}}{dt}}\ \mathrm {f{\ddot {u}}r} \ \left\{{\begin{array}{l}{\mathsf {Dv}}_{1}{\frac {d\epsilon _{1}}{dt}}=-{\mathsf {Dv}}_{1}\left({\frac {d{\mathfrak {u}}_{1}}{d{\mathfrak {x}}_{1}}}+{\frac {d{\mathfrak {v}}_{1}}{d{\mathfrak {y}}_{1}}}+{\frac {d{\mathfrak {w}}_{1}}{d{\mathfrak {z}}_{1}}}\right),\\\\{\mathsf {D}}o_{1}{\frac {d{\overline {\epsilon _{1}}}}{dt}}=-{\mathsf {D}}o_{1}\left({\mathfrak {u}}_{1}\cos \left(N_{1},{\mathfrak {x}}_{1}\right)+\cdots \right),\end{array}}\right.$

wo $N_{0}$ die innere Normale von ${\mathsf {D}}o_{0}$, und $N_{1}$ diejenige von ${\mathsf {D}}o_{1}$ vorstellt.

Die Grössen ${\mathsf {O}}_{0}{\frac {d{\mathsf {H}}_{0}}{dt}},\ {\mathsf {O}}_{1}{\frac {d{\mathsf {H}}_{1}}{dt}}$ können also [nach (37.a,b)] in doppelter Weise ausgedrückt werden, entweder durch die elektrischen Dichtigkeiten $\epsilon _{0},{\overline {\epsilon _{0}}},\epsilon _{1},{\overline {\epsilon _{1}}}$, oder durch die elektrischen Strömungen ${\mathfrak {u}}_{0},{\mathfrak {v}}_{0},{\mathfrak {w}}_{0},{\mathfrak {u}}_{1},{\mathfrak {v}}_{1},{\mathfrak {w}}_{1}$. Wählt man die letztere Ausdrucksweise, so werden die gefundenen Formeln (33.$\alpha ,\beta ,\gamma$), (34.$\alpha ,\beta ,\gamma$), wie leicht zu erkennen, nicht nur gültig sein für die betrachteten Körper selber, sondern auch für beliebig gegebene Theile dieser Körper.

Ohne indessen hierauf weiter einzugehen, wollen wir festhalten an der Betrachtung der ganzen Körper $A$ und $B$; dabei aber annehmen, die vorhandenen elektrischen Strömungen wären im Innern der Körper überall gleichförmig, und an ihren Oberflächen überall tangential. Nach (37.a,b) verschwinden alsdann die ${\mathsf {O}}_{0}{\frac {d{\mathsf {H}}_{0}}{dt}},\ {\mathsf {O}}_{1}{\frac {d{\mathsf {H}}_{1}}{dt}}$ folglich nach (36.) auch die ${\mathsf {O}}_{00},{\mathsf {O}}_{11}$; so dass also in diesem Fall die Formeln (33.$\alpha ,\beta ,\gamma$) die einfacheren Gestalten gewinnen:

(38.$\alpha$)

$\left(dT_{A}^{B}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }=-\delta _{0}P,$

(38.$\beta$)

$\left(dT_{B}^{A}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }=-\delta _{1}P,$

(38.$\gamma$)

$\left(dT_{A}^{B}+dT_{B}^{A}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }=-\delta P;$

während gleichzeitig die Formeln (34.$\alpha ,\beta ,\gamma$) sich verwandeln in:

(39.$\alpha$)

$\left(dQ_{A}^{B}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }=dP-\Delta _{0}P,$

(39.$\beta$)

$\left(dQ_{B}^{A}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }=dP-\Delta _{1}P,$

(39.$\gamma$)

$\left(dQ_{A}^{B}+dQ_{B}^{A}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }=2dP-\Delta P;$

ungeändert bleibt die in (35.) angegebene Formel, sie lautet nach wie vor:

(40.)

$\left(dT_{A}^{B}+dT_{B}^{A}+dQ_{A}^{B}+dQ_{B}^{A}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }=dP.$

Befinden sich also zwei Körper $A$ und $B$ in irgend welchen Bewegungen, und können die in ihnen vorhandenen elektrischen Strömungen im Innern der Körper als gleichförmig, und an ihren Oberflächen als tangential angesehen werden, so werden, falls man das elektrodynamische Potential der beiden Körper aufeinander mit $P$ bezeichnet, zufolge der Formeln (38.$\alpha$) und (39.$\alpha$) folgende Sätze gelten:

Erster Satz. Das vom Körper $B$, vermöge seiner Kräfte eldy. Us, während eines Zeitelementes im Körper $A$ hervorgebrachte Quantum lebendiger Kraft wird erhalten, wenn man den partiellen Zuwachs von $P$ nach der räumlichen Lage von $A$ bildet, und denselben noch multiplicirt mit (–1).

Zweiter Satz. Das vom Körper $B$, vermöge seiner Kräfte eldy. Us, während eines Zeitelementes im Körper $A$ hervorgebrachte Quantum Wärme wird erhalten, wenn man den vollständigen Zuwachs von $P$ bildet, und von diesem noch in Abzug bringt den partiellen Zuwachs von $P$, genommen nach dem elektrischen Zustande von $A$.

Von diesen beiden, Sätzen ist übrigens der erstere nicht neu, sondern schon früher (pag. 165) von mir abgeleitet worden.

---

1. Insbesondere mag noch erinnert sein an die damals angegebenen Formeln :
   ${\begin{array}{lll}x_{0},y_{0},z_{0}=\lambda \left({\mathfrak {x}}_{0},{\mathfrak {y}}_{0},{\mathfrak {z}}_{0},\tau _{0}\right),&&x_{1},y_{1},z_{1}=\Lambda \left({\mathfrak {x}}_{1},{\mathfrak {y}}_{1},{\mathfrak {z}}_{1},\tau _{1}\right),\\{\mathfrak {u}}_{0},{\mathfrak {v}}_{0},{\mathfrak {w}}_{0}=\xi \left({\mathfrak {x}}_{0},{\mathfrak {y}}_{0},{\mathfrak {z}}_{0},{\mathsf {T}}_{0}\right),&&{\mathfrak {u}}_{1},{\mathfrak {v}}_{1},{\mathfrak {w}}_{1}=\Xi \left({\mathfrak {x}}_{1},{\mathfrak {y}}_{1},{\mathfrak {z}}_{1},{\mathsf {T}}_{01}\right),\end{array}}$

   wo $x_{0},y_{0},z_{0}$ und $x_{1},y_{1},z_{1}$ die absoluten Coordinaten der Elemente $i_{0}{\mathsf {Dv}}_{0}$ und $i_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}$vorstellen, während andererseits ${\mathfrak {u}}_{0},{\mathfrak {v}}_{0},{\mathfrak {w}}_{0}$ und ${\mathfrak {u}}_{1},{\mathfrak {v}}_{1},{\mathfrak {w}}_{1}$ die Componenten von $i_{0}$ und $i_{1}$ in Bezug auf die mit den beiden Körpern starr verbundenen Axensysteme $\left({\mathfrak {x}}_{0},{\mathfrak {y}}_{0},{\mathfrak {z}}_{0}\right)$ und $\left({\mathfrak {x}}_{1},{\mathfrak {y}}_{1},{\mathfrak {z}}_{1}\right)$ bezeichnen.

2. Vergl. die vorhergehende Note.
3. Die Operationen $\partial _{0},\Delta _{0}$ sind nicht miteinander vertauschbar, weil die bei der Operation $\partial _{0}$ auftretenden Factoren ${\mathfrak {u}}_{0},{\mathfrak {v}}_{0},{\mathfrak {w}}_{0}$ abhängig sind von ${\mathsf {T}}_{0}$.
   Aehnliches ist zu bemerken von den Operationen $\partial _{0},{\frac {\partial }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}$. Dieselben sind nicht miteinander vertauschbar, und zwar deswegen, weil die bei der Operation $\partial _{0}$ auftretenden Factoren ${\mathfrak {u}}_{0},{\mathfrak {v}}_{0},{\mathfrak {w}}_{0}$ abhängig sind von ${\mathfrak {x}}_{0},{\mathfrak {y}}_{0},{\mathfrak {z}}_{0}$.
4. Die Formel (4.) in die Gestalt
   ${\mathfrak {X}}=4A^{2}{\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\left[-{\frac {\partial }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}\left(\partial _{0}\psi \cdot \partial _{1}\psi \right)+\partial _{0}\left(\partial _{1}\psi \cdot {\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}\right)+\partial _{1}\left(\partial _{0}\psi \cdot {\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}\right)\right]$

   versetzen zu wollen, würde nicht gestattet sein, weil die beiden Operationen $\partial _{0},{\frac {\partial }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}$ nicht mit einander vertauschbar sind (vergl. die vorhergehende Note).

5. Nach (2.d) ist:
   ${\begin{array}{ll}\partial _{0}\psi &={\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}{\mathfrak {u}}_{0}+{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {y}}_{0}}}{\mathfrak {v}}_{0}+{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {z}}_{0}}}{\mathfrak {w}}_{0},\\\\&={\frac {\partial \psi }{\partial r}}\left({\frac {\partial r}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}{\mathfrak {u}}_{0}+{\frac {\partial r}{\partial {\mathfrak {y}}_{0}}}{\mathfrak {v}}_{0}+{\frac {\partial r}{\partial {\mathfrak {z}}_{0}}}{\mathfrak {w}}_{0}\right).\end{array}}$

   Hieraus folgt:

   $\partial _{0}\psi ={\frac {d\psi }{dr}}j_{0};$

   und ebenso erhalt man:

   $\partial _{1}\psi =-{\frac {d\psi }{dr}}j_{1};$

   wo $j_{0}$ und $j_{1}$ die Componenten von $i_{0}$ und $i_{1}$ nach der Linie $r\left({\mathsf {Dv}}_{1}\rightarrowtail {\mathsf {Dv}}_{0}\right)$ vorstellen. Der Ausdruck (17.) kann daher auch so geschrieben werden:

   ${\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot 4A^{2}\left({\frac {d\psi }{dr}}\right)^{2}j_{0}j_{1},$

   Vergleichen wir diesen Ausdruck mit dem früher [(37.a,b), pag. 197] für das elektrodynamische Postulat erhaltenen Werthe:

   $(-1){\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot \omega \ j_{0}j_{1},$

   so bemerken wir vollständige Uebereinstimmung. Denn es ist

   $\omega =-4A^{2}\left({\frac {d\psi }{dr}}\right)^{2}.$
6. Im Allgemeinen ist nach (2.a,b,c);
   $df=\delta f+\Delta f.$

   Ist indessen die Grösse $f$ von den elektrischen Verhältnissen unabhängig, mithin unabhängig von den Argumenten ${\mathsf {T}}_{0},{\mathsf {T}}_{1}$, so wird

   $\Delta f=0$ und folglich: $df=\delta f.$

   So ist also z. B.:

   $dr=\delta r,$

   und aus demselben Grunde z. B. auch:

   $d{\frac {\partial r}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}=\delta {\frac {\partial r}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}$ und $d\left({\frac {\omega }{r}}{\frac {\partial r}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}\right)=\delta \left({\frac {\omega }{r}}{\frac {\partial r}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}\right).$

   Von diesen letzteren Formeln wird weiterhin Gebrauch gemacht werden.

7. Es ist nämlich:
   $\partial _{0}\psi ={\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}{\mathfrak {u}}_{0}+{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {y}}_{0}}}{\mathfrak {v}}_{0}+{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {z}}_{0}}}{\mathfrak {w}}_{0},$

   Hieraus folgt durch Ausführung der Operation $\Delta _{0}$:

   $\Delta _{0}\partial _{0}\psi ={\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}\Delta _{0}{\mathfrak {u}}_{0}+{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {y}}_{0}}}\Delta _{0}{\mathfrak {v}}_{0}+{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {z}}_{0}}}\Delta _{0}{\mathfrak {w}}_{0},$

   Nun ist im Allgemeinen $df=\delta _{0}f+\delta _{1}f+\Delta _{0}f+\Delta _{1}f$. Die Componenten ${\mathfrak {u}}_{0},{\mathfrak {v}}_{0},{\mathfrak {w}}_{0}$ sind aber unabhängig von $\tau _{0},\ \tau _{1},{\mathsf {T}}_{1};$ so dass also z.B. $\delta _{0}{\mathfrak {u}}_{0},\delta _{1}{\mathfrak {u}}_{0},\Delta _{0}{\mathfrak {u}}_{0}$ Null sind, mithin $d{\mathfrak {u}}_{0}$ sich reducirt auf $\Delta _{0}{\mathfrak {u}}_{0}$. Mit Rücksicht auf die Relationen: $d{\mathfrak {u}}_{0}=\Delta _{0}{\mathfrak {u}}_{0},\ d{\mathfrak {v}}_{0}=\Delta _{0}{\mathfrak {v}}_{0},\ d{\mathfrak {w}}_{0}=\Delta _{0}{\mathfrak {w}}_{0}$ kann die vorstehende Formel auch so geschrieben werden:

   $\Delta _{0}\partial _{0}\psi ={\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}d{\mathfrak {u}}_{0}+{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {y}}_{0}}}d{\mathfrak {v}}_{0}+{\frac {\partial \psi }{\partial {\mathfrak {z}}_{0}}}d{\mathfrak {w}}_{0}.$

   Durch diese Erörterungen findet der Uebergang von ($\tau _{2}$.) ZU ($\tau _{3}$.) seine Rechtfertigung.

8. Vergl. die Note auf pag. 203.