Die elektrischen Kräfte/Zusammenstellung:§44

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§. 44. Die ponderomotorische Einwirkung eines gleichförmigen geschlossenen Stromes auf ein einzelnes Stromelement. Die Determinante des Stromes.

Beschränken wir uns (wie solches im gegenwärtigen Abschnitt durchweg geschehen soll) auf den Fall beträchtlicher Entfernungen, so ist $\psi ={\sqrt {r}}$, das Ampère’sche Gesetz also dargestellt durch die Formel:

(6.)	$R=A^{2}JJ_{1}{\mathsf {D}}s{\mathsf {D}}s_{1}{\frac {3\Theta \Theta _{1}-2{\mathsf {E}}}{r^{2}}},$

(vergl. pag. 45, 46). Sind mithin $X,Y,Z$ die Componenten derjenigen Kraft, welche ein gleichförmiger geschlossener elektrischer Strom $\left(J_{1},s_{1}\right)$ ausübt auf ein einzelnes Stromelement $J{\mathsf {D}}s$, so wird die erste dieser Componenten den Werth haben:

(7.)	$X=A^{2}JJ_{1}\cdot \Sigma _{1}\left[{\mathsf {D}}s{\mathsf {D}}s_{1}{\frac {3\Theta \Theta _{1}-2{\mathsf {E}}}{r^{2}}}{\frac {x-x_{1}}{r}}\right],$

die Summation $\Sigma _{1}$ ausgedehnt über sämmtliche Elemente ${\mathsf {D}}s_{1}$ des geschlossenen Stromes; dabei bezeichnen $x,y,z$ und $x_{1},y_{1},z_{1}$ die Coordinaten von ${\mathsf {D}}s$ und ${\mathsf {D}}s_{1}$.

Um der Formel (7.) eine bequemere Gestalt zu geben, mag zunächst erinnert sein an die bekannten Relationen (pag. 39):

(8.)	${\begin{array}{c}{\frac {\partial r}{\partial s}}=\Theta ,\quad {\frac {\partial r}{\partial s_{1}}}=-\Theta _{1},\\\\{\frac {\partial ^{2}r}{\partial s\ \partial s_{1}}}={\frac {\Theta \Theta _{1}-{\mathsf {E}}}{r}};\end{array}}$

sodann mag der Quotient ${\frac {x-x_{1}}{r}}$ successive nach $s$ und $s_{1}$ differenzirt werden:

${\begin{array}{rl}{\frac {\partial }{\partial s}}\left({\frac {x-x_{1}}{r}}\right)=&{\frac {1}{r}}{\frac {\partial x}{\partial s}}-{\frac {x-x_{1}}{r^{2}}}{\frac {\partial r}{\partial s}},\\\\{\frac {\partial ^{2}}{\partial s\ \partial s_{1}}}\left({\frac {x-x_{1}}{r}}\right)=&-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial r}{\partial s_{1}}}{\frac {\partial x}{\partial s}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial r}{\partial s}}{\frac {\partial x_{1}}{\partial s_{1}}},\\\\&\qquad +2{\frac {x-x_{1}}{r^{3}}}{\frac {\partial r}{\partial s}}{\frac {\partial r}{\partial s_{1}}}-{\frac {x-x_{1}}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}r}{\partial s\ \partial s_{1}}};\end{array}}$

die letzte dieser Formeln kann mit Rücksicht auf die Relationen (8.) auch so geschrieben werden:

${\frac {\partial ^{2}}{\partial s\ \partial s_{1}}}\left({\frac {x-x_{1}}{r}}\right)={\frac {\partial x}{\partial s}}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial s_{1}}}-{\frac {\partial x_{1}}{\partial s_{1}}}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial s}}-{\frac {3\Theta \Theta _{1}\left(x-x_{1}\right)}{r^{3}}}+{\frac {{\mathsf {E}}\left(x-x_{1}\right)}{r^{3}}}.$

Hier ist offenbar das erste Glied rechter Hand identisch mit ${\frac {\partial }{\partial s_{1}}}\left({\frac {\partial x}{\partial s}}{\frac {1}{r}}\right)$. Multiplicirt man daher auf beiden Seiten mit ${\mathsf {D}}s\ {\mathsf {D}}s_{1}$, und integrirt über alle ${\mathsf {D}}s_{1}$ des geschlossenen Stromes, so ergiebt sich:

$0=\Sigma _{1}\left[{\mathsf {D}}s\ {\mathsf {D}}s_{1}\left(-{\frac {\partial x_{1}}{\partial s_{1}}}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial s}}-{\frac {3\Theta \Theta _{1}\left(x-x_{1}\right)}{r^{3}}}+{\frac {{\mathsf {E}}\left(x-x_{1}\right)}{r^{3}}}\right)\right].$

Addirt man aber diese Formel, nachdem sie zuvor mit $A^{2}JJ_{1}$ multiplicirt worden ist, zur Formel (7.), so folgt:

(8.)	$X=A^{2}JJ_{1}\cdot \Sigma _{1}\left[{\mathsf {D}}s\ {\mathsf {D}}s_{1}\left(-{\frac {\partial x_{1}}{\partial s_{1}}}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial s}}-{\frac {{\mathsf {E}}\left(x-x_{1}\right)}{r^{3}}}\right)\right].$

Nun ist offenbar:

${\frac {\partial x_{1}}{\partial s_{1}}}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial s}}=\left({\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial s}}+{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial s}}+{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial z}}{\frac {\partial z}{\partial s}}\right){\frac {\partial x_{1}}{\partial s_{1}}},$

und folglich:

${\mathsf {D}}s\ {\mathsf {D}}s_{1}{\frac {\partial x_{1}}{\partial s_{1}}}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial s}}=\left({\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial x}}{\mathsf {D}}x+{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial y}}{\mathsf {D}}y+{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial z}}{\mathsf {D}}z\right){\mathsf {D}}x_{1},$

wo ${\mathsf {D}}x,\ {\mathsf {D}}y,\ {\mathsf {D}}z$ und ${\mathsf {D}}x_{1},\ {\mathsf {D}}y_{1},\ {\mathsf {D}}z_{1}$ die rechtwinkligen Projectionen von ${\mathsf {D}}s$ und ${\mathsf {D}}s_{1}$ vorstellen. — Andererseits ist:

${\mathsf {D}}s\ {\mathsf {D}}s_{1}{\frac {{\mathsf {E}}\left(x-x_{1}\right)}{r^{3}}}=-{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial x}}\left({\mathsf {D}}x\ {\mathsf {D}}x_{1}+{\mathsf {D}}y\ {\mathsf {D}}y_{1}+{\mathsf {D}}z\ {\mathsf {D}}z_{1}\right).$

Durch Addition der beiden letzten Formeln folgt sofort:

(9.)	${\mathsf {D}}s\ {\mathsf {D}}s_{1}\left({\frac {\partial x_{1}}{\partial s_{1}}}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial s}}+{\frac {{\mathsf {E}}\left(x-x_{1}\right)}{r^{3}}}\right)=-\gamma {\mathsf {D}}y+\beta {\mathsf {D}}z,$

wo $\alpha ,\beta ,\gamma$ die Bedeutungen haben:

(10.)

${\begin{array}{l}\alpha ={\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial y}}{\mathsf {D}}z_{1}-{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial z}}{\mathsf {D}}y_{1},\\\\\beta ={\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial z}}{\mathsf {D}}x_{1}-{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial x}}{\mathsf {D}}z_{1},\\\\\gamma ={\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial x}}{\mathsf {D}}y_{1}-{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial y}}{\mathsf {D}}x_{1}.\end{array}}$

Durch Benutzung von (9.) gewinnt die zu berechnende Componente $X$ (8.) folgendes Aussehen:

(11.)

$X=A^{2}JJ_{1}\left[\left(\Sigma _{1}\gamma \right){\mathsf {D}}y-\left(\Sigma _{1}\beta \right){\mathsf {D}}z\right],$

oder falls man die Integrale $\Sigma _{1}\alpha ,\ \Sigma _{1}\beta ,\ \Sigma _{1}\gamma$ kurzweg mit ${\mathsf {A,B}},\Gamma$ bezeichnet, folgendes:

(12.)

${\begin{array}{l}X=A^{2}JJ_{1}(\Gamma {\mathsf {D}}y-\mathrm {B} {\mathsf {D}}z);\ \mathrm {ebenso\ wird} :\\Y=A^{2}JJ_{1}(\mathrm {A} {\mathsf {D}}z-\Gamma {\mathsf {D}}x),\\Z=A^{2}JJ_{1}(\mathrm {B} {\mathsf {D}}x-\mathrm {A} {\mathsf {D}}y).\end{array}}$

Diese $X,Y,Z$, in denen die Coefficienten $\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\Gamma$ definirt sind durch die Formeln:

(13.)

${\begin{array}{l}\mathrm {A} =\Sigma _{1}\left({\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial y}}{\mathsf {D}}z_{1}-{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial z}}{\mathsf {D}}y_{1}\right),\\\\\mathrm {B} =\Sigma _{1}\left({\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial z}}{\mathsf {D}}x_{1}-{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial x}}{\mathsf {D}}z_{1}\right),\\\\\Gamma =\Sigma _{1}\left({\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial x}}{\mathsf {D}}y_{1}-{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial y}}{\mathsf {D}}x_{1}\right),\end{array}}$

repräsentiren also die Componenten derjenigen ponderomotorischen Kraft, welche ein gleichförmiger geschlossener Strom $\left(J_{1},s_{1}\right)$ ausübt auf ein einzelnes Stromelement $J{\mathsf {D}}s$.

Aus (12.) folgt augenblicklich:

(14.)

${\begin{array}{c}X{\mathsf {D}}x+X{\mathsf {D}}y+Z{\mathsf {D}}z=0,\\X\mathrm {A} +Y\mathrm {B} +Z\Gamma =0.\end{array}}$

Denkt man sich also eine von $J{\mathsf {D}}s$ ausgehende Linie $\Delta$ construirt, deren senkrechte Projectionen gleich $\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\Gamma$ sind, so wird mit Bezug auf diese Linie, die sogenannte Determinante, der Satz gelten:

Die von einem gleichförmigen geschlossenen Strom auf ein einzelnes Stromelement ausgeübte Kraft steht senkrecht gegen das Element selber, und andererseits auch senkrecht gegen diejenige Determinante $\Delta$, welche jener Strom besitzt in Bezug auf den Ort^[1] des Elementes.

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1. Wie die Formeln(13.) zeigen, sind nämlich $\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\Gamma ,\Delta$ nur abhängig von den Coordinaten $x,y,z$ des Elementes ${\mathsf {D}}s$, nämlich unabhängig von seiner Richtung ${\mathsf {D}}x,{\mathsf {D}}y,{\mathsf {D}}z$.