Die elektrischen Kräfte/Zusammenstellung:§45

« Zusammenstellung:§44	Carl Gottfried Neumann Die elektrischen Kräfte	Zusammenstellung:§46 »
fertig Fertig! Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle Korrektur gelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext.
Für eine seitenweise Ansicht und den Vergleich mit den zugrundegelegten Scans, klicke bitte auf die entsprechende Seitenzahl (in eckigen Klammern).

§. 45. Fortsetzung. — Es wird gezeigt, dass die Determinante senkrecht steht gegen die Fläche constanter Kegelöffnung.

Die erste der Formeln (13.) kann offenbar (weil ${\frac {\partial }{\partial x}}=-{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}$ ist, u. s. w.) auch so geschrieben werden:

(15.)

$\mathrm {A} =\Sigma _{1}\left({\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial z_{1}}}{\mathsf {D}}y_{1}-{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial y_{1}}}{\mathsf {D}}z_{1}\right).$

Bei der weiteren Behandlung dieser Formel wollen wir uns nun auf den Fall beschränken, dass alle Puncte des Stromes $\left(J_{1},s_{1}\right)$ in derselben Ebene liegen. Die von dem Strome begrenzte ebene Stromfläche $\Lambda _{1}$ mag zerlegt sein in lauter unendlich kleine Elemente $\lambda _{1}$. Alsdann kann jenes $\mathrm {A}$ (15.) dadurch erhalten werden, dass man das Integral der Reihe nach berechnet für die Peripherie eines jeden Elementes $\lambda _{1}$, und sodann all’ diese Elementar-Integrale zusammenaddirt; solches mag angedeutet sein durch die Formeln:

(16.)

$\mathrm {A} ={\mathfrak {S}}\left(\Sigma _{\lambda _{1}}\right),$

(17.)

$\Sigma _{\lambda _{1}}=\Sigma _{\lambda _{1}}\left({\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial z_{1}}}{\mathsf {D}}y_{1}-{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial y_{1}}}{\mathsf {D}}z_{1}\right).$

Das Elementar-Integral $\Sigma _{\lambda _{1}}$ kann nun sofort berechnet werden mit Hülfe eines früher (pag. 88, 89) aufgestellten Satzes; man findet:

(18.)

$\Sigma _{\lambda _{1}}=\lambda _{1}\left[-\alpha _{1}\left({\frac {\partial ^{2}{\frac {1}{r}}}{\partial {y_{1}}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}{\frac {1}{r}}}{\partial {z_{1}}^{2}}}\right)+\beta _{1}{\frac {\partial ^{2}{\frac {1}{r}}}{\partial x_{1}\partial y_{1}}}+\gamma _{1}{\frac {\partial ^{2}{\frac {1}{r}}}{\partial x_{1}\partial z_{1}}}\right].$

Diese Formel, in welcher $\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1}$ die Richtungscosinus der auf $\lambda _{1}$ oder (was dasselbe ist) auf $\Lambda _{1}$ errichteten positiven Normale $n_{1}$ vorstellen, kann mit Rücksicht auf die bekannte Relation

${\frac {\partial ^{2}{\frac {1}{r}}}{\partial {x_{1}}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}{\frac {1}{r}}}{\partial {y_{1}}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}{\frac {1}{r}}}{\partial {z_{1}}^{2}}}=0$

auch so dargestellt werden:

(19.)

$\Sigma _{\lambda _{1}}=+{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left(\lambda _{1}\alpha _{1}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial x_{1}}}+\lambda _{1}\beta _{1}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial y_{1}}}+\lambda _{1}\gamma _{1}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial z_{1}}}\right),$

oder, mit Rücksicht auf die bekannten Relationen $\alpha _{1}={\frac {\partial x_{1}}{\partial n_{1}}},\ \beta _{1}={\frac {\partial y_{1}}{\partial n_{1}}},\ \gamma _{1}={\frac {\partial z_{1}}{\partial n_{1}}}$, auch so:

(20.)

$\Sigma _{\lambda _{1}}=+{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left(\lambda _{1}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial n_{1}}}\right),$

oder endlich auch so:

(21.)

$\Sigma _{\lambda _{1}}=-{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left(\lambda _{1}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial n_{1}}}\right).$

Hiefür aber kann mit Rückblick auf einen kürzlich gefundenen Satz (pag. 242) geschrieben werden:

(22.)

$\Sigma _{\lambda _{1}}=-{\frac {\partial (\epsilon \varkappa )}{\partial x}},$

wo alsdann $\epsilon \varkappa$ die reducirte Oeffnung des vom Puncte $x,y,z$ nach der Peripherie von $\lambda _{1}$ gelegten Kegels vorstellt.

Durch Substitution von (22.) in (16.) folgt:

(23.)

$\mathrm {A} =-{\mathfrak {S}}{\frac {\partial (\epsilon \varkappa )}{\partial x}}=-{\frac {\partial {\mathfrak {S}}(\epsilon \varkappa )}{\partial x}}.$

Sämmtliche Elemente $\lambda _{1}$ haben aber ein und denselben^[1] Situationsfactor $\epsilon$ in Bezug auf den gegebenen Punct $x,y,z$. Somit ist

${\mathfrak {S}}(\epsilon \varkappa )=\epsilon {\mathfrak {S}}(\varkappa )=\epsilon {\mathsf {K}},$

wo ${\mathsf {K}}$ die Oeffnung des von $x,y,z$ nach der Peripherie von $\Lambda _{1}$ gelegten Kegels vorstellt. Aus (23.) folgt demnach:

(24.)

${\begin{array}{l}\mathrm {A} =-{\frac {\partial (\epsilon {\mathsf {K}})}{\partial x}};\ \mathrm {und\ ebenso\ wird} :\\\\\mathrm {B} =-{\frac {\partial (\epsilon {\mathsf {K}})}{\partial y}},\\\\\Gamma =-{\frac {\partial (\epsilon {\mathsf {K}})}{\partial z}}.\end{array}}$

Denkt man sich also von irgend einem Punct $x,y,z$ aus einen Kegelmantel gelegt nach einem geschlossenen ebenen Strom, und bezeichnet man die reducirte Oeffnung dieses Kegelmantels mit $\epsilon {\mathsf {K}}$, so werden die negativen partiellen Ableitungen von $\epsilon {\mathsf {K}}$ nach $x,y,z$ die Componenten $\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\Gamma$ derjenigen Determinante $\Delta$ darstellen, welche der Strom in Bezug auf jenen Punct besitzt.

Die Determinante $\Delta$ steht, wie aus (24.) folgt, senkrecht gegen die durch den Punct $x,y,z$ gehende Fläche

$\epsilon {\mathsf {K}}$ = Const.,

d. i. senkrecht gegen die durch $x,y,z$ gehende Fläche constanter Kegelöffnung. Auch wird, wie ebenfalls aus (24.) folgt, die Determinante $\Delta$ immer diejenige Richtung besitzen, in welcher $\epsilon {\mathsf {K}}$ abnimmt.

---

1. Denn nach der gemachten Voraussetzung ist $\Lambda _{1}$ eine ebene Fläche. Liegt also z.B. der Punct $x,y,z$ auf der positiven Seite von $\Lambda _{1}$, so wird er gleichzeitig auch auf der positiven Seite eines jeden $\lambda _{1}$ sich befinden. Der Punct $x,y,z$ besitzt demnach in Bezug auf jedes Element $\lambda _{1}$ denselben Situationsfactor wie in Bezug auf die Fläche $\Lambda _{1}$.