Die elektrischen Kräfte/Zusammenstellung:§45

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§. 45. Fortsetzung. — Es wird gezeigt, dass die Determinante senkrecht steht gegen die Fläche constanter Kegelöffnung.


Die erste der Formeln (13.) kann offenbar (weil ist, u. s. w.) auch so geschrieben werden:|
(15.)

Bei der weiteren Behandlung dieser Formel wollen wir uns nun auf den Fall beschränken, dass alle Puncte des Stromes in derselben Ebene liegen. Die von dem Strome begrenzte ebene Stromfläche mag zerlegt sein in lauter unendlich kleine Elemente . Alsdann kann jenes (15.) dadurch erhalten werden, dass man das Integral der Reihe nach berechnet für die Peripherie eines jeden Elementes , und sodann all’ diese Elementar-Integrale zusammenaddirt; solches mag angedeutet sein durch die Formeln:

(16.)
(17.)

Das Elementar-Integral kann nun sofort berechnet werden mit Hülfe eines früher (pag. 88, 89) aufgestellten Satzes; man findet:

(18.)

Diese Formel, in welcher die Richtungscosinus der auf oder (was dasselbe ist) auf errichteten positiven Normale vorstellen, kann mit Rücksicht auf die bekannte Relation

auch so dargestellt werden:

(19.)

oder, mit Rücksicht auf die bekannten Relationen , auch so:

(20.)
oder endlich auch so:|
(21.)

Hiefür aber kann mit Rückblick auf einen kürzlich gefundenen Satz (pag. 242) geschrieben werden:

(22.)

wo alsdann die reducirte Oeffnung des vom Puncte nach der Peripherie von gelegten Kegels vorstellt.

Durch Substitution von (22.) in (16.) folgt:

(23.)

Sämmtliche Elemente haben aber ein und denselben[1] Situationsfactor in Bezug auf den gegebenen Punct . Somit ist

wo die Oeffnung des von nach der Peripherie von gelegten Kegels vorstellt. Aus (23.) folgt demnach:

(24.)

Denkt man sich also von irgend einem Punct aus einen Kegelmantel gelegt nach einem geschlossenen ebenen Strom, und bezeichnet man die reducirte Oeffnung dieses Kegelmantels mit , so werden die negativen partiellen Ableitungen von nach die Componenten derjenigen Determinante darstellen, welche der Strom in Bezug auf jenen Punct besitzt.

Die Determinante steht, wie aus (24.) folgt, senkrecht gegen die durch den Punct gehende Fläche

= Const.,
d. i. senkrecht gegen die durch gehende Fläche constanter| Kegelöffnung. Auch wird, wie ebenfalls aus (24.) folgt, die Determinante immer diejenige Richtung besitzen, in welcher abnimmt.
  1. Denn nach der gemachten Voraussetzung ist eine ebene Fläche. Liegt also z.B. der Punct auf der positiven Seite von , so wird er gleichzeitig auch auf der positiven Seite eines jeden sich befinden. Der Punct besitzt demnach in Bezug auf jedes Element denselben Situationsfactor wie in Bezug auf die Fläche .