Die elektrischen Kräfte/Zusammenstellung:§46

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§. 46. Fortsetzung. — Construction der Richtung der Determinante für einen unendlich kleinen Strom.

Es sei $\lambda _{1}$ die Fläche des unendlich kleinen Stromes, $n_{1}$ die positive Normale derselben; ferner seien $\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1}$ die Richtungscosinus dieser Normale; ferner mögen die relativen Coordinaten des betrachteten Punctes $(x,y,z)$ in Bezug auf den Strom $\lambda _{1}\left(x_{1},y_{1},z_{1}\right)$ bezeichnet sein mit $\xi ,\eta ,\zeta ;$ so dass also

(25.)

$\xi =x-x_{1},\ \eta =y-y_{1},\ \zeta =z-z_{1};$

endlich sei $\Delta (\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\Gamma )$ die Determinante von $\lambda _{1}$ in Bezug auf jenen Punct.

In diesem Fall reducirt sich die Formel (16.) auf:

(26.)

${\mathsf {A}}=\Sigma _{\lambda _{1}},$

wo $\Sigma _{\lambda _{1}}$, nach (19.), den Werth hat:

$\Sigma _{\lambda _{1}}=\lambda _{1}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left(\alpha _{1}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial x_{1}}}+\beta _{1}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial y_{1}}}+\gamma _{1}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial z_{1}}}\right),$

also mit Rücksicht auf (25.) auch so dargestellt werden kann:

${\begin{array}{ll}\Sigma _{\lambda _{1}}&=\lambda _{1}{\frac {\partial }{\partial \xi }}\left(\alpha _{1}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial \xi }}+\beta _{1}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial \eta }}+\gamma _{1}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial \zeta }}\right),\\\\&=-\lambda _{1}{\frac {\partial }{\partial \xi }}\left({\frac {\alpha _{1}\xi +\beta _{1}\eta +\gamma _{1}\zeta }{r^{3}}}\right),\\\\&=-\lambda _{1}\left({\frac {\alpha _{1}}{r^{3}}}-{\frac {3\left(\alpha _{1}\xi +\beta _{1}\eta +\gamma _{1}\zeta \right)}{r^{4}}}{\frac {\xi }{r}}\right).\end{array}}$

Somit folgt aus (26.) sofort:

(27.)

${\begin{array}{l}\mathrm {A} =-\lambda _{1}{\frac {\alpha _{1}r^{2}-3\xi \left(\alpha _{1}\xi +\beta _{1}\eta +\gamma _{1}\zeta \right)}{r^{5}}};\ \mathrm {und\ ebenso\ wird} :\\\\\mathrm {B} =-\lambda _{1}{\frac {\beta _{1}r^{2}-3\eta \left(\alpha _{1}\xi +\beta _{1}\eta +\gamma _{1}\zeta \right)}{r^{5}}},\\\\\Gamma =-\lambda _{1}{\frac {\gamma _{1}r^{2}-3\zeta \left(\alpha _{1}\xi +\beta _{1}\eta +\gamma _{1}\zeta \right)}{r^{5}}}.\end{array}}$

Diese Formeln führen in Betreff der Determinante $\Delta$ oder $\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\Gamma$ zu folgender Construction:

Man theile die von dem unendlich kleinen Strom $\lambda _{1}$ nach dem gegebenen Punct $P$ gehende Linie $r$ in drei gleiche Theile, und lege durch den $\lambda _{1}$ zunächst liegenden Theilpunct $Q$ eine gegen $r$ perpendiculäre Ebene. Bezeichnet $R$ denjenigen Punct, in welchem diese Ebene von der positiven Normale $n_{1}$ des Stromes getroffen wird, so wird jene Determinante $\Delta$ die Richtung $PR$ (oder vielleicht auch die entgegengesetzte Richtung $RP$) besitzen^[1].

Fig. 14.

Beweis.— Die Coordinaten des gegebenen Punctes $P$ sind [vergl. (25.)]:

$\xi ,\eta ,\zeta ,\,$

folglich die Coordinaten des genannten Theilpunctes $Q$:

${\frac {1}{3}}\xi ,\ {\frac {1}{3}}\eta ,\ {\frac {1}{3}}\zeta .$

Zur Bestimmung der Coordinaten $\xi ',\eta ',\zeta '$ des Punctes $R$ ergeben sich daher die Gleichungen:

(a.)	$\left(\xi '-{\frac {1}{3}}\xi \right)\xi +\left(\eta '-{\frac {1}{3}}\eta \right)\eta +\left(\zeta '-{\frac {1}{3}}\zeta \right)\zeta =0,$

(b.)	$\xi '=\vartheta \alpha _{1},\ \eta '=\vartheta \beta _{1},\ \zeta '=\vartheta \gamma _{1},$

wo $\vartheta$ einen unbekannten Factor vorstellt.

Die Gleichung (a.) kann auch so geschrieben werden:

(c.)	$\xi '\xi +\eta '\eta +\zeta '\zeta ={\frac {1}{3}}r^{2},$

oder mit Rücksicht auf (b.) auch so:

(d.)	$\vartheta \left(\alpha _{1}\xi +\beta _{1}\eta +\gamma _{1}\zeta \right)={\frac {1}{3}}r^{2}.$

Substituirt man den hieraus für $\vartheta$ sich ergebenden Werth in die erste der Formeln (b.), so folgt:

(e.)	$\xi '={\frac {\alpha _{1}r^{2}}{3\left(\alpha _{1}\xi +\beta _{1}\eta +\gamma _{1}\zeta \right)}},$

oder falls man $\xi$ auf beiden Seiten subtrahirt:

(f.)	$\xi '-\xi ={\frac {\alpha _{1}r^{2}-3\xi \left(\alpha _{1}\xi +\beta _{1}\eta +\gamma _{1}\zeta \right)}{3\left(\alpha _{1}\xi +\beta _{1}\eta +\gamma _{1}\zeta \right)}}.$

Hieraus aber folgt mit Rückblick auf (27.) sofort:

(g.)	$\mathrm {A} :\mathrm {B} :\Gamma =\xi '-\xi :\eta '-\eta :\zeta '-\zeta ;\,$

w. z. z. w.

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1. Die Linie $PR$ ist in der Figur nicht gezeichnet.