Die elektrischen Kräfte/Zusammenstellung:§47

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§. 47. Die ponderomotorische Einwirkung zwischen zwei unendlich kleinen Strömen, von denen jeder geschlossen oder gleichförmig ist.

Die in Rede stehende gegenseitige Einwirkung ist vollständig charakterisirt durch das Potential der beiden Ströme aufeinander. Bezeichnet man die beiden letztern nach ihren Stromflächen mit $\lambda ,\lambda _{1},$ und ihr Potential mit $P\left(\lambda ,\lambda _{1}\right)$, so kann dieses $P\left(\lambda ,\lambda _{1}\right)$ in mannigfaltiger Weise dargestellt werden. Zunächst ist nach der ursprünglichen Definition (pag. 57):

(28.A)

${\begin{array}{ll}P\left(\lambda ,\lambda _{1}\right)&=-A^{2}JJ_{1}\cdot \Sigma \Sigma {\frac {{\mathsf {D}}s\ {\mathsf {D}}s_{1}\Theta \Theta _{1}}{r}},\\\\&=-A^{2}JJ_{1}\cdot \Sigma \Sigma {\frac {{\mathsf {D}}s\ {\mathsf {D}}s_{1}{\mathsf {E}}}{r}},\\\\&=-A^{2}JJ_{1}\cdot \Sigma \Sigma {\frac {{\mathsf {D}}x\ {\mathsf {D}}x_{1}+{\mathsf {D}}y\ {\mathsf {D}}y_{1}+{\mathsf {D}}z\ {\mathsf {D}}z_{1}}{r}},\end{array}}$

Die letzte Formel gewinnt, falls man die Integrationen wirklich ausführt, folgende Gestaltung [vergl. (34) pag. 92 und (35.) pag. 93]:

(28.B)

${\begin{array}{ll}P\left(\lambda ,\lambda _{1}\right)&=A^{2}JJ_{1}\lambda \lambda _{1}\left({\frac {\left[\alpha \alpha _{1}+\dots \right]}{r^{3}}}-{\frac {3\left[\alpha \left(x-x_{1}\right)+\dots \right]\left[\alpha _{1}\left(x-x_{1}\right)+\dots \right]}{r^{5}}}\right),\\\\&=A^{2}JJ_{1}\lambda \lambda _{1}{\frac {\cos \left(n,n_{1}\right)-3\cos(n,r)\cos \left(n_{1},r\right)}{r^{3}}},\\\\&=A^{2}JJ_{1}\lambda \lambda _{1}{\frac {\partial ^{2}{\frac {1}{r}}}{\partial n\ \partial n_{1}}}.\end{array}}$

Hier bezeichnen $\lambda ,\lambda _{1}$ die beiden unendlich kleinen Stromflächen, $n,n_{1}$ ihre positiven Normalen; ferner sind unter $x,y,z$ und $x_{1},y_{1},z_{1}$ die Coordinaten von $\lambda$ und $\lambda _{1}$, unter $\alpha ,\beta ,\gamma$ und $\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1}$ die Richtungscosinus von $n\,$ und $n_{1}\,$ zu verstehen; endlich repräsentiren $(n,r)\,$ und $(n_{1},r)\,$ diejenigen Winkel, welche die Normalen $n\,$ und $n_{1}\,$ bilden mit der Richtung $r\ (\lambda _{1}\rightarrowtail \lambda ).\,$

     An diese beiden Darstellungen (28.A) und (28.B) reiht sich schliesslich noch eine dritte Darstellung. Die letzte der Formeln (28.B) kann nämlich so geschrieben werden:

$P(\lambda ,\lambda _{1})=A^{2}\ JJ_{1}\ \lambda {\frac {\partial }{\partial \ n}}\ \left(\lambda _{1}\ {\frac {\partial \ {\frac {1}{r}}}{\partial \ n_{1}}}\right),\,$

oder mit Rücksicht auf einen kürzlich gefundenen Satz (pag. 242) auch so:

$(28.C)\,$

$P(\lambda ,\lambda _{1})=A^{2}\ JJ_{1}\ \lambda {\frac {\partial (\epsilon \varkappa )}{\partial \ n}}.\,$

Hier repräsentirt $\epsilon \varkappa \,$ die reducirte Oeffnung desjenigen Kegelmantels, welcher von irgend einem Punct der unendlich kleinen Fläche $\lambda \,$ hinläuft nach der Peripherie von $\lambda _{1}.\,$

     Sind an Stelle eines Stromes. $\lambda _{1}\,$ mehrere solche Ströme $\lambda _{1}',\lambda _{1}'',\ldots \,$ gegeben, alle von derselben Stromstärke $J_{1},\,$ so wird nach (28.C) das Potential aller dieser Ströme zusammengenommen in Bezug auf $\lambda \,$ den Werth haben:

$(29.)\,$

$P(\lambda ,\lambda _{1}'+\lambda _{1}''+\ldots )=A^{2}\ JJ_{1}\ \lambda {\frac {\partial (\epsilon '\varkappa '+\epsilon ''\varkappa ''+\ldots )}{\partial \ n}},\,$

wo $\epsilon '\varkappa ',\epsilon ''\varkappa '',\ldots \,$ die reducirten Oeffnungen derjenigen Kegel vorstellen, welche von einem Punct der Fläche $\lambda \,$ hinlaufen respective nach den Peripherien von $\lambda _{1}',\lambda _{1}'',\ldots \,$ Bilden nun diese Ströme $\lambda _{1}',\lambda _{1}'',\ldots \,$ in ihrer Gesammtheit einen einzigen gesehlossenen ebenen Strom $\Lambda _{1},\,$ so wird $\epsilon '=\epsilon ''=\ldots ,$ mithin

$\epsilon '\varkappa '+\epsilon ''\varkappa ''+\ldots =\epsilon \mathrm {K} ,\,$

wo $\epsilon \mathrm {K} \,$ die reducirte Oeffnung desjenigen Kegels bezeichnet, welcher hinläuft nach der Peripherie von $\Lambda _{1}.\,$ Somit ergiebt sich:

$(30.)\,$

$P(\lambda ,\Lambda _{1})=A^{2}\ JJ_{1}\ \lambda {\frac {\partial (\epsilon \mathrm {K} )}{\partial \ n}};\,$

eine Formel^[1], welche zeigt, dass die Darstellungsweise (28.C) auch dann noch anwendbar ist, wenn man den unendlich kleinen Strom $\lambda _{1}\,$ ersetzt durch irgend welchen ebenen Strom $\Lambda _{1}\,$ von beliebigen Dimensionen und beliebiger Gestalt.

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1. Beiläufig bemerkt, ergeben sich hieraus für das Potential zweier ebenen Ströme $\Lambda ,\Lambda _{1}\,$ deren jeder beliebige Dimensionen besitzt, folgende beiden Darstellungen:

   ${\begin{aligned}P(\Lambda ,\Lambda _{1})&=A^{2}\ JJ_{1}\ {\mathit {\Sigma }}\ \lambda {\frac {\partial (\epsilon \mathrm {K} )}{\partial \ n}},\\&=A^{2}\ JJ_{1}\ {\mathit {\Sigma }}\ \lambda _{1}{\frac {\partial (\epsilon _{1}\mathrm {K} _{1})}{\partial \ n_{1}}}.\end{aligned}}\,$

   Hier bezeichnen $\lambda ,\lambda _{1}\,$ die unendlich kleinen Elemente von $\Lambda ,\Lambda _{1},\,$ und $n,n_{1}\,$ die positiven Normalen derselben. Ferner repräsentirt $\epsilon \mathrm {K} \,$ die reducirte Kegelöffnung von $\lambda$ nach $\Lambda _{1},\,$ und $\epsilon _{1}\mathrm {K} _{1}$ diejenige von $\lambda _{1}\,$ nach $\Lambda .\,$