Die elektrischen Kräfte/Zusammenstellung:§49

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§. 49. Die ponderomotorische Einwirkung zweier Solenoide auf einander.

     Zur Bestimmung dieser Einwirkung bedarf es offenbar nur der Berechnung des gegenseitigen Potentiales.

     Die (im Allgemeinen krummlinigen) Axen der gegebenen Solenoide mögen angedeutet sein durch

$\alpha \ldots \beta \ ({\text{D}}\nu )\ldots \gamma ,\,$

und durch

$\alpha _{1}\ldots \beta _{1}\ ({\text{D}}\nu _{1})\ldots \gamma _{1};\,$

der Art, dass $\alpha ,\alpha _{1}\,$ die negativen Pole, $\gamma ,\gamma _{1}\,$ die positiven Pole, $\beta ,\beta _{1}\,$ zwei beliebige Puncte der beiden Axen, endlich ${\text{D}}\nu ,{\text{D}}\nu _{1}\,$ zwei respective, von $\beta \,$ und $\beta _{1}\,$ ausgehende Elemente der beiden Axen vorstellen. — Ferner seien ${\mathsf {I}},{\mathsf {I}}_{1}\,$ die Stromstärken, $\lambda ,\lambda _{1}\,$ die Querschnitte, und $\delta ,\delta _{1}\,$ die Dichtigkeiten der beiden Solenoide; so dass also $\delta \ {\text{D}}\nu \,$ und $\delta _{1}\cdot {\text{D}}\nu _{1}\,$ die Anzahl der respective auf ${\text{D}}\nu \,$ und ${\text{D}}\nu _{1}$ vorhandenen Ringe bezeichnen.

     Das Polential $P\,$ zwischen zwei einzelnen respective bei $\beta \,$ und $\beta _{1}\,$ befindlichen Ringen $\lambda \,$ und $\lambda _{1}\,$ ist darstellbar durch die Formel (pg. 250.)

$(31.)$

$P(\lambda ,\lambda _{1})=A^{2}\ {\mathsf {I}}{\mathsf {I}}_{1}\ \lambda \lambda _{1}{\frac {\partial ^{2}{\frac {1}{r}}}{\partial \ \nu \ \partial \ \nu _{1}}}\,$

wo $v,v_{1}\,$ die positiven Normalen von $\lambda ,\lambda _{1}\,$ d. i. die Richtungen von ${\text{D}}\nu ,{\text{D}}\nu _{1}\,$ vorstellen, während r die Entfernung zwischen den Mittelpunkten $\beta ,\beta _{1}\,$ der beiden Ringe bezeichnet.

     Um das Potential $P\ ({\text{D}}\nu ,{\text{D}}\nu _{1})\,$ der beiden Solenoidelemente ${\text{D}}\nu \,$ und $D\nu _{1}\,$ zu erhalten, hat man den Ausdruck (31.) noch zu multipliciren mit den Zahlen der in diesen Elementen enthaltenen Ringe, also zu multipliciren mit $\delta \ {\text{D}}\nu \,$ und $\delta _{1}\ {\text{D}}\nu _{1}.\,$ Somit erhält man:

$(32.)\,$

$P({\text{D}}\nu ,{\text{D}}\nu _{1})=A^{2}\ {\mathsf {I}}{\mathsf {I}}_{1}\ \lambda \lambda _{1}\ \delta \delta _{1}{\frac {\partial ^{2}{\frac {1}{r}}}{\partial \ \nu \ \partial \ \nu _{1}}}\ {\text{D}}\nu \ {\text{D}}\nu _{1}.\,$

Hieraus endlich ergiebt sich das Potential $P(\alpha \ \gamma ,\alpha _{1}\ \gamma _{1})\,$ der Solenoide selber durch Integration; es wird also:

(33.)

$P\left(\alpha \gamma ,\ \alpha _{1}\gamma _{1}\right)=\left(A{\mathsf {I}}\lambda \delta \right)\left(A{\mathsf {I}}_{1}\lambda _{1}\delta _{1}\right)\sum \limits _{\alpha }^{\gamma }\sum \limits _{\alpha _{1}}^{\gamma _{1}}\left({\frac {\partial ^{2}{\frac {1}{r}}}{\partial \nu \ \partial \nu _{1}}}{\mathsf {D}}\nu \ {\mathsf {D}}\nu _{1}\right)$

oder, falls man die Integrationen wirklich ausführt:

(34.)

$P\left(\alpha \gamma ,\ \alpha _{1}\gamma _{1}\right)=\left(A{\mathsf {I}}\lambda \delta \right)\left(A{\mathsf {I}}_{1}\lambda _{1}\delta _{1}\right)\left({\frac {1}{\left[\gamma \gamma _{1}\right]}}+{\frac {1}{\left[\alpha \alpha _{1}\right]}}-{\frac {1}{\left[\alpha \gamma _{1}\right]}}-{\frac {1}{\left[\gamma \alpha _{1}\right]}}\right),$

wo unter $\left[\gamma \gamma _{1}\right]$ u. s. w. die gegenseitigen Entfernungen der betreffenden Pole zu verstehen sind.

Durch Einführung der vier Pol-Intensitäten (pg. 252):

(35.)

${\begin{array}{lllll}{\mathsf {A}}&=-A{\mathsf {I}}\lambda \delta ,&&\Gamma &=+A{\mathsf {I}}\lambda \delta ,\\{\mathsf {A}}_{1}&=-A{\mathsf {I}}_{1}\lambda _{1}\delta _{1},&&\Gamma _{1}&=+A{\mathsf {I}}_{1}\lambda _{1}\delta _{1}\end{array}}$

gewinnt die Formel (34.) die einfachere Gestalt:

(36.)

$P\left(\alpha \gamma ,\ \alpha _{1}\gamma _{1}\right)={\frac {\Gamma \Gamma _{1}}{\left[\gamma \gamma _{1}\right]}}+{\frac {{\mathsf {A}}{\mathsf {A}}_{1}}{\left[\alpha \alpha _{1}\right]}}+{\frac {{\mathsf {A}}\Gamma _{1}}{\left[\alpha \gamma _{1}\right]}}+{\frac {\Gamma {\mathsf {A}}_{1}}{\left[\gamma \alpha _{1}\right]}};$

hiefür aber kann kürzer geschrieben werden:

(37.)

$P\left(\alpha \gamma ,\ \alpha _{1}\gamma _{1}\right)={\mathfrak {SS}}{\frac {{\mathsf {M}}{\mathsf {M}}_{1}}{r}},$

indem man ${\mathsf {M}}$ als Collectivbezeichnung für ${\mathsf {A}},\Gamma$, ebenso ${\mathsf {M}}_{1}$ als Collectivbezeichnung für ${\mathsf {A}}_{1},\Gamma _{1}$, endlich $r$ als Collectivbezeichnung für die betreffenden Entfernungen in Anwendung bringt.

Sind also z. B. zwei starre Körper gegeben, von denen jeder in seinem Innern beliebig viele Solenoide enthält, so wird die gegenseitige ponderomotorische Einwirkung zwischen diesen beiden Körpern von solcher Beschaffenheit sein, als wäre zwischen je zwei Solenoidpolen ${\mathsf {M}},{\mathsf {M}}_{1}$ ein Potential $\Pi$ vorhanden von dem Werthe:

(38.)

$\Pi ={\frac {{\mathsf {M}}{\mathsf {M}}_{1}}{r}};$

oder (mit andern Worten) sie wird von solcher Beschaffenheit sein, als fände zwischen je zwei Polen ${\mathsf {M}},{\mathsf {M}}_{1}$ eine repulsive Kraft statt von der Stärke:

(39.)

$-{\frac {{\mathsf {d}}\Pi }{{\mathsf {d}}r}}={\frac {{\mathsf {M}}{\mathsf {M}}_{1}}{r^{2}}}.$

Dabei sind unter ${\mathsf {M}},{\mathsf {M}}_{1}$ die Intensitäten der beiden Pole zu verstehen, unter $r$ ihre gegenseitige Entfernung.

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