Die elektrischen Kräfte/Zusammenstellung:§9

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§. 9. Zusammenstellung einiger bekannten allgemeinen Formeln über die Bewegung eines starren Körpers.

     Befindet sich ein starrer Körper in beliebiger Bewegung, und sind $(x,y,z),{\mathfrak {(x,y,z)}}\,$ zwei rechtwinklige Axensysteme, das eine absolut fest, das andere starr verbunden mit dem Körper, so finden zwischen den Coordniaten $x,y,z\,$ und ${\mathfrak {x,y,z}},\,$ welche irgend ein Massenpunct $m\,$ des Körper in Bezug auf diese beiderlei Systeme besitzt, die Relationen statt:

Die Bewegung eines starren Körpers.

$(40.a)\,$

${\begin{aligned}x=a+C^{11}{\mathfrak {x}}+C^{12}{\mathfrak {y}}+C^{13}{\mathfrak {z}},\\y=b+C^{21}{\mathfrak {x}}+C^{22}{\mathfrak {y}}+C^{23}{\mathfrak {z}},\\z=c+C^{31}{\mathfrak {x}}+C^{32}{\mathfrak {y}}+C^{33}{\mathfrak {z}},\end{aligned}}$

wo $a,b,c\,$ die Coordinaten sind, welche der Anfangspunct $O\,$ des Systems ${\mathfrak {(x,y,z)}},$ besitzt im Systeme $(x,y,z)\,$ und die $C\,$ die Cosinus derjenigen Winkel vorstellen, unter welchen die Axen der beiderlei Systeme gegen einander geneigt sind. Offenbar sind die Coordinaten ${\mathfrak {x,y,z}}$ des Massenpunctes $m\,$ anzusehen als gewisse diesem Punct eigen­tümlich zugehörige Constanten; während $x,y,z,a,b,c\,$ und die $C\,$ Functionen der Zeit sind. Aus (40.a) folgt durch Umkehrung:

$(40.b)\,$

${\begin{aligned}{\mathfrak {x}}=C^{11}(x-a)+C^{21}(y-b)+C^{31}(z-c),\\{\mathfrak {y}}=C^{12}(x-a)+C^{22}(y-b)+C^{32}(z-c),\\{\mathfrak {z}}=C^{13}(x-a)+C^{23}(y-b)+C^{33}(z-c).\end{aligned}}$

     Für die dem Zeitelement $dt\,$ entsprechenden Zuwüchse $dx,dy,dz,da,db,dc,dC\,$ ergeben sich nun aus (40.a) die Formeln:

$(40.c)\,$

${\begin{aligned}dx=da+{\mathfrak {x}}dC^{11}+{\mathfrak {y}}dC^{12}+{\mathfrak {z}}dC^{13},\\dy=db+{\mathfrak {x}}dC^{21}+{\mathfrak {y}}dC^{22}+{\mathfrak {z}}dC^{23},\\dz=dc+{\mathfrak {x}}dC^{31}+{\mathfrak {y}}dC^{32}+{\mathfrak {z}}dC^{33},\end{aligned}}$

und hieraus folgt durch Substitution der Werthe (40.b) sofort:

$(40.d)\,$

${\begin{aligned}dx=da+(z-c)d\beta -(y-b)d\gamma ,\\dy=db+(x-a)d\gamma -(z-c)d\alpha ,\\dz=dc+(y-b)d\alpha -(x-a)d\beta ,\end{aligned}}$

wo $d\alpha ,d\beta ,d\gamma \,$ die Ausdrücke repräsentiren:

$(40.e)\,$

${\begin{aligned}d\alpha =\sum _{h=1}^{h=3}C^{2h}\ dC^{3h}=-\sum _{h=1}^{h=3}C^{3h}\ dC^{2h},\\d\beta =\sum _{h=1}^{h=3}C^{3h}\ dC^{1h}=-\sum _{h=1}^{h=3}C^{1h}\ dC^{3h},\\d\gamma =\sum _{h=1}^{h=3}C^{1h}\ dC^{2h}=-\sum _{h=1}^{h=3}C^{2h}\ dC^{1h}.\end{aligned}}$

     Den Formeln (40.d) entsprechend kann die Bewegung des Körpers während der Zeit $dt\,$ aufgefasst werden als eine Verschiebung des Punctes $O,\,$ und als eine gleichzeitige Drehung des Körpers um eine gewisse durch $O\,$ gehende Axe. Jene Verschiebung ist der Grösse und Richtung nach repräsentirt durch $da,db,dc;\,$ andererseits findet, wie aus (40.d) ersichtlich, die Drehung um eine Axe statt, deren Richtungs-Cosinus in Bezug auf das System $(x,y,z)\,$ proportional sind mit $d\alpha ,d\beta ,d\gamma ,\,$ während gleichzeitig die Grösse des Drehungswinkels sich ausdrückt durch ${\sqrt {(d\alpha )^{2}+(d\beta )^{2}+(d\gamma )^{2}}}.\,$ — Uebrigens ist bekannt, und ebenfalls aus den Formeln (40.d) leicht zu ersehen, dass die Bewegung

des Körpers während der Zeit $dt,\,$ wenn man will, auch aufgefasst werden kann als zusammengesetzt aus sechs Bewegungen. Von diesen sind alsdann die drei erstern repräsentirt durch die Verschiebungen $da,db,dc\,$ des Punctes $O,\,$ und die drei letztern durch Drehungen, deren Axen drei durch $O\,$ gehende, zu $x,y,z\,$ parallele Linien, und deren Drehungswinkel $d\alpha ,d\beta ,d\gamma \,$ sind. Demgemäss pflegen die Grössen $da,db,dc\,$ und $d\alpha ,d\beta ,d\gamma \,$ kurzweg bezeichnet zu werden als die Verschiebungen und Drehungen des Körpers wäh­rend der Zeit $dt.\,$

     Bringt man die Formeln (40.d) in Anwendung auf irgend zwei Massenpuncte $m\,$ und $m_{1}\,$ des betrachteten Körpers, so ergiebt sieh durch Subtraction dieser beiderlei Formeln sofort:

$(40.f)\,$

${\begin{aligned}d(x_{1}-x)=(z_{1}-z)d\beta -(y_{1}-y)d\gamma ,\\d(y_{1}-y)=(x_{1}-x)d\gamma -(z_{1}-z)d\alpha ,\\d(z_{1}-z)=(y_{1}-y)d\alpha -(x_{1}-x)d\beta .\end{aligned}}$

Nimmt man nun für $m\,$ und $m_{1}\,$ zwei Massenpuncte, deren gegenseitige Entfernung $=1\,$ ist, so werden die rechtwinkligen Projectionen $x_{1}-x,y_{1}-y,z_{1}-z\,$ der Linie $mm_{1}\,$ identisch werden mit ihren Richtungs-Cosinus. Bezeichnet man diese letztern also mit $\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\Gamma ,\,$ so ergiebt sich:

$(40.g)\,$

${\begin{aligned}d\mathrm {A} =\Gamma d\beta -\mathrm {B} d\gamma ,\\d\mathrm {B} =\mathrm {A} d\gamma -\Gamma d\alpha ,\\d\Gamma =\mathrm {B} d\alpha -\mathrm {A} d\beta .\end{aligned}}$

Die Formeln (40.f) und (40.g) beziehen sich also auf irgend eine mit dem Körper starr verbundene Linie; die einen repräsentiren diejenigen Aenderungen, welche ihre rechtwinkligen Projectionen, die andern diejenigen, welche ihre Richtungs-Cosinus während der Zeit $dt\,$ erleiden.

     Findet die Bewegung des Körpers während der Zeit $dt\,$ statt unter dem Einfluss irgend welcher ponderomotorischer Kräfte, und bezeichnet man dieselben, den einzelnen Massenpuncten $m(x,y,z)\,$ entsprechend, mit $(X,Y,Z)\,$ so wird bekanntlich

${\mathit {\Sigma }}[Xdx+Ydy+Zdz]\,$

die von diesen Kräften während der Zeit $dt\,$ verrichtete Arbeit zu nennen sein. Substituirt man hier für $dx,dy,dz\,$ ihre Werthe (40.d), so ergiebt sich:

$(40.h)\,$

${\begin{aligned}{\mathit {\Sigma }}[Xdx+Ydy+Zdz]&=\mathrm {K} ^{(x)}da+\mathrm {K} ^{(y)}db+\mathrm {K} ^{(z)}dc\\&+\Delta ^{(x)}d\alpha +\Delta ^{(y)}d\beta +\Delta ^{(z)}d\gamma ,\end{aligned}}$

wo die $\mathrm {K} \,$ und $\Delta \,$ folgende Bedeutungen haben:

$(40.i)\,$

${\begin{aligned}\mathrm {K} ^{(x)}&={\mathit {\Sigma }}X,&\quad \Delta ^{(x)}&={\mathit {\Sigma }}{\bigl (}(y-b)Z-(z-c)Y{\bigr )},\\\mathrm {K} ^{(y)}&={\mathit {\Sigma }}Y,&\quad \Delta ^{(y)}&={\mathit {\Sigma }}{\bigl (}(z-c)X-(x-a)Z{\bigr )},\\\mathrm {K} ^{(z)}&={\mathit {\Sigma }}Z,&\quad \Delta ^{(z)}&={\mathit {\Sigma }}{\bigl (}(x-a)Y-(y-b)X{\bigr )},\end{aligned}}$

Die Formel (40.h) zeigt also, dass die auf einen starren Körper während der Zeit $dt\,$ von irgend welchen ponderomotorischen Kräften ausgeübte Arbeit in einfacher Weise sich ausdrücken lässt durch die Verschie­bungen und Drehungen des Körpers einerseits, und durch die Summen und Drehungsmomente jener Kräfte andererseits.       Hat $da\,$ für die Zeit $dt\,$ irgend welchen Werth; während $db,dc,d\alpha ,d\beta ,d\gamma \,$ Null sind, so geht die Formel (40.h) über in:

$(40.k)\,$

${\mathit {\Sigma }}\ [Xdx+Ydy+Zdz]=({\mathit {\Sigma }}X)\cdot da.$

D. h. schreitet der Körper während der Zeit $dt\,$ sich selber parallel fort in der Richtung der $x-\,$Axe, so wird die während dieser Zeit auf ihn ausgeübte Arbeit identisch sein mit der (in der Richtung jener $x-\,$Axe auf ihn ausgeübten) translatorischen Kraft, dieselbe noch multiplicirt mit der Grösse der Verschiebung.

     Hat andererseits $d\alpha \,$ für die Zeit $dt\,$ irgend welchen Werth, während $d\beta ,d\gamma ,da,db,dc\,$ Null sind, und sind ausserdem $a,b,c\,$ ebenfalls Null, so nimmt die Formel (40.h) folgende Gestalt an:

$(40.l)\,$

${\mathit {\Sigma }}\ [Xdx+Ydy+Zdz]={\bigl \lbrace }{\mathit {\Sigma }}(yZ-zY){\bigr \rbrace }d\alpha .$

D. h. dreht sich der Körper während der Zeit $dt\,$ um die $x-\,$Axe, so wird die während dieser Zeit auf ihn ausgeübte Arbeit identisch sein mit dem (in Bezug auf die $x-\,$Axe ausgeübten) Drehungsmoment, dasselbe noch multiplicirt mit der Grösse der Drehung.

     Die x-Axe hat eine willkührlich gewählte Lage. Folglich gelten die mit Bezug auf (40.k) und (40.l) so eben ausgesprochenen Sätze allgemein für jede Richtung und für jede Axe.

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