Elektrische Kraft Hertz:279

Heinrich Hertz: Untersuchungen über die Ausbreitung der elektrischen Kraft
Seite 279
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14. Grundgleichungen für bewegte Körper.

     Wir entfernen in dem letzten derselben die Differentialquotienten nach $t.\,$ Für die Grössen $d{\mathfrak {L}}/dt,\ d{\mathfrak {M}}/dt,\ d{\mathfrak {N}}/dt\,$ geben uns die Gleichungen (1_a), indem wir in denselben nur den Einfluss der Bewegung berücksichtigen und die Geschwindigkeiten $\alpha ,\beta ,\gamma \,$ in Hinblick auf die besondere Wahl unseres Coordinatensystems gleich Null setzen:

${\begin{aligned}{\frac {d{\mathfrak {L}}}{dt}}&=-{\mathfrak {L}}\left({\frac {d\beta }{dy}}+{\frac {d\gamma }{dz}}\right)+{\mathfrak {M}}{\frac {d\alpha }{dy}}+{\mathfrak {N}}{\frac {d\alpha }{dz}},\\{\frac {d{\mathfrak {M}}}{dt}}&=-{\mathfrak {M}}\left({\frac {d\gamma }{dz}}+{\frac {d\alpha }{dx}}\right)+{\mathfrak {N}}{\frac {d\beta }{dz}}+{\mathfrak {L}}{\frac {d\beta }{dx}},\\{\frac {d{\mathfrak {N}}}{dt}}&=-{\mathfrak {N}}\left({\frac {d\alpha }{dx}}+{\frac {d\beta }{dy}}\right)+{\mathfrak {L}}{\frac {d\gamma }{dx}}+{\mathfrak {M}}{\frac {d\gamma }{dy}}.\end{aligned}}$

     Ferner haben wir für die Grösse $d\mu _{11}'/dt:\,$

${\frac {d\mu _{11}'}{dt}}={\frac {d\mu _{11}'}{dx_{x}}}\cdot {\frac {dx_{x}}{dt}}+{\frac {d\mu _{11}'}{dx_{y}}}\cdot {\frac {dx_{y}}{dt}}+{\text{ etc.}}$ $+{\frac {d\mu _{11}'}{d\varrho }}\cdot {\frac {d\varrho }{dt}}+{\text{ etc.}}$ $=d\mu '_{11~11}{\frac {d\alpha }{dx}}+d\mu '_{11,12}\left({\frac {d\alpha }{dy}}+{\frac {d\beta }{dx}}\right)+{\text{ etc.}}\,$ $+{\tfrac {1}{2}}{\frac {d\mu _{11}'}{d\varrho }}\left({\frac {d\gamma }{dy}}-{\frac {d\beta }{dz}}\right)+{\text{ etc.}}\,$

     Analoge Ausdrücke leiten wir ab für $d\mu _{12}'/dt,\,$ etc. Wir setzen alle diese Ausdrücke in die rechte Seite der Gl. (6) ein, es wird alsdann diese Seite eine homogene lineare Function der neun Differentialquotienten der $\alpha \ \beta \ \gamma \,$ nach den $x\ y\ z.\,$ Wir können und wollen aber diese Function so ordnen, dass sie uns erscheint als homogene lineare Function der sechs Deformationsgeschwindigkeiten $d\alpha /dx,\ d\alpha /dy+d\beta /dx,\,$ etc. und der drei Rotationsgeschwindigkeiten ${\tfrac {1}{2}}(d\alpha /dy-d\beta /dx),\,$ etc. Wir beachten dabei, dass die Coëfficienten der drei Rotationsgeschwindigkeiten nothwendigerweise identisch verschwinden müssen, da eine Bewegung des Theilchens als starren Körpers eine Aenderung seines Energieinhaltes nicht herbeigeführt. Dementsprechend werfen wir die mit diesen Rotationsgeschwindigkeiten behafteten Glieder einfach ab und erhalten nunmehr als Endresultat, indem wir noch durch Division mit $d\tau \,$ auf die Einheit des Volumens reduciren: