Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 102.

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§. 102. Bewegung des Theilchens $\varepsilon \,$. Riemann’s Gesetz.

 Wir wollen jetzt für das Theilchen $\varepsilon \!$ die Bewegungsgleichungen selbst ableiten, und zwar zunächst nach Riemann’s Hypothese:

(1)	$S=\varepsilon \,V.$

(2)	${\begin{aligned}D=&-{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}v^{2}\,V+{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}W\\&-2{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}\left(u_{1}{\frac {dx}{dt}}+u_{2}{\frac {dy}{dt}}+u_{3}{\frac {dz}{dt}}\right).\\\end{aligned}}$

Für die Bewegung gilt der erweiterte Satz von Lagrange und aus ihm ergibt sich wie in §. 99, (2):

${\frac {d\left({\frac {\partial (T-D)}{\partial q'}}\right)}{dt}}={\frac {\partial (T-D+S)}{\partial q}}.$

Hier sind für $q\!$ der Reihe nach die Coordinaten $x,\,y,\,z$ einzusetzen. Wir erhalten für $q=x\!$ in derselben Weise wie in §. 99, (3):

(3)	$m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}={\frac {d\left({\frac {\partial D}{\partial x'}}\right)}{dt}}-{\frac {\partial D}{\partial x}}+{\frac {\partial S}{\partial x}}.$

Die nach $x\!$ genommenen partiellen Derivirten ${\frac {\partial D}{\partial x}}$ und ${\frac {\partial S}{\partial x}}$ sind von der Beschleunigung unabhängig. Wohl aber kommt die Beschleumgung vor in ${\frac {d\left({\frac {\partial D}{\partial x'}}\right)}{dt}}$. Es ist nemlich

${\frac {\partial D}{\partial x'}}=-2{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}V{\frac {dx}{dt}}-2{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}u_{1},$

folglich

${\frac {d\left({\frac {\partial D}{\partial x'}}\right)}{dt}}=-2{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}V{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}-2{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}{\frac {dV}{dt}}{\frac {dx}{dt}}-2{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}{\frac {du_{1}}{dt}}$

oder kürzer

${\frac {d\left({\frac {\partial D}{\partial x'}}\right)}{dt}}=-2{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}V{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {\delta \left({\frac {\partial D}{\partial x'}}\right)}{dt}},$

wenn man mit $\delta \!$ eine Differentiation nach $t\!$ andeutet, bei welcher, ${\frac {dx}{dt}}$ als constant angesehen wird. Führt man dies in Gleichung (3) ein, so ergibt sich:

(4)	$(m+{\frac {2\varepsilon }{c^{2}}}V){\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}={\frac {\delta \left({\frac {\partial D}{\partial x'}}\right)}{dt}}-{\frac {\partial D}{\partial x}}+{\frac {\partial S}{\partial x}}.$

Auf demselben Wege erhalten wir die beiden anderen Gleichungen:

(5)	$(m+{\frac {2\varepsilon }{c^{2}}}V){\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {\delta \left({\frac {\partial D}{\partial y'}}\right)}{dt}}-{\frac {\partial D}{\partial y}}+{\frac {\partial S}{\partial y}},$

(6)	$(m+{\frac {2\varepsilon }{c^{2}}}V){\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}={\frac {\delta \left({\frac {\partial D}{\partial z'}}\right)}{dt}}-{\frac {\partial D}{\partial z}}+{\frac {\partial S}{\partial z}}.$

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