Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 39.

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man nun zwei Uebergänge mit einander, bei denen die Wege, die jeder einzelne Punkt durchläuft, nur unendlich wenig von einander abweichen, so sind auch die Werthe des Integrals (4) für den einen und für den anderen Uebergang nur unendlich wenig von einander verschieden. Die Aenderung, welche dem Integralwerth für den ersten Uebergang zu ertheilen ist, damit der Integralwerth für den zweiten Uebergang herauskomme, wird die Variation des Integrals (4) genannt.

 Die Gleichung (3) sagt aus, dass von allen denkbaren Uebergängen aus der gegebenen Anfangslage in die gegebene Endlage in Wirklichkeit derjenige zu Stande kommt, für welchen die Variation des Integrals (4) gleich Null ist.

 Um zu beweisen, dass dieser Satz nichts anderes ist als das Princip des Lagrange, führen wir die Variation wirklich aus.

 Es ist zunächst

$T=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{2}}m_{i}\left\lbrace \left({\frac {dx_{i}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy_{i}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz_{i}}{dt}}\right)^{2}\right\rbrace ,$

also findet sich

$\delta T=\sum m_{i}\left\lbrace {\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {d\;\delta x_{i}}{dt}}+{\frac {dy_{i}}{dt}}{\frac {d\;\delta y_{i}}{dt}}+{\frac {dz_{i}}{dt}}{\frac {d\;\delta z_{i}}{dt}}\right\rbrace$

und in Folge davon

${\begin{aligned}\delta \int \limits _{0}^{t}T\;dt&=\int \limits _{0}^{t}\sum m_{i}\left\lbrace {\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {d\;\delta x_{i}}{dt}}+{\frac {dy_{i}}{dt}}{\frac {d\;\delta y_{i}}{dt}}+{\frac {dz_{i}}{dt}}{\frac {d\;\delta z_{i}}{dt}}\right\rbrace dt\\&=\sum m_{i}\int \limits _{0}^{t}\left\lbrace {\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {d\;\delta x_{i}}{dt}}+{\frac {dy_{i}}{dt}}{\frac {d\;\delta y_{i}}{dt}}+{\frac {dz_{i}}{dt}}{\frac {d\;\delta z_{i}}{dt}}\right\rbrace dt.\\\end{aligned}}$

 Den Ausdruck

$\int \limits _{0}^{t}{\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {d\;\delta x_{i}}{dt}}dt$

wollen wir durch Integration nach Theilen umformen. Dadurch ergibt sich

$\int \limits _{0}^{t}{\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {d\;\delta x_{i}}{dt}}dt=\left({\frac {dx_{i}}{dt}}\delta x_{i}\right)_{t}-\left({\frac {dx_{i}}{dt}}\delta x_{i}\right)_{t=0}-\int \limits _{0}^{t}\delta x_{i}{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}dt.$

Für die Anfangslage $(t=0)\!$ und für die Endlage (nach Ablauf der Zeit $t\!$) ist aber $\delta x_{i}=0,\!$ also fällt der vom Integralzeichen freie Bestandtheil auf der rechten Seite der letzten Gleichung weg, und wir erhalten

$\int \limits _{0}^{t}{\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {d\,\delta x_{i}}{dt}}dt=-\int \limits _{0}^{t}\delta x_{i}{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}dt.$

Auf demselben Wege findet sich

$\int \limits _{0}^{t}{\frac {dy_{i}}{dt}}{\frac {d\,\delta y_{i}}{dt}}dt=-\int \limits _{0}^{t}\delta y_{i}{\frac {d^{2}y_{i}}{dt^{2}}}dt,$

$\int \limits _{0}^{t}{\frac {dz_{i}}{dt}}{\frac {d\,\delta z_{i}}{dt}}dt=-\int \limits _{0}^{t}\delta z_{i}{\frac {d^{2}z_{i}}{dt^{2}}}dt.$

 Folglich geht jetzt die Gleichung (3) in folgende über:

(5)	$0=\int \limits _{0}^{t}dt\left\lbrack \sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial P}{\partial x_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}\right)\delta x_{i}\right.$

${\begin{aligned}&+\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial P}{\partial y_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}y_{i}}{dt^{2}}}\right)\delta y_{i}\\&+\sum _{i=1}^{n}\left.\left({\frac {\partial P}{\partial z_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}z_{i}}{dt^{2}}}\right)\delta z_{i}\right\rbrack .\\\end{aligned}}$

Zu ihrer Erfüllung ist nothwendig und hinreichend, dass für jeden Zeitmoment die Function unter dem Integralzeichen gleich Null sei, also:

(6)

$\sum _{i=1}^{n}\left\lbrace \left({\frac {\partial P}{\partial x_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}\right)\delta x_{i}+\left({\frac {\partial P}{\partial y_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}y_{i}}{dt^{2}}}\right)\delta y_{i}+\left({\frac {\partial P}{\partial z_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}z_{i}}{dt^{2}}}\right)\delta z_{i}\right\rbrace$

$=0.\!$

Dies ist aber die Gleichung (2). Folglich ist bewiesen, dass das Princip des Lagrange bei dem Vorhandensein eines Potentials durch die Gleichung (3) ausgedrückt wird.

 In unserm Falle ist das System frei. Die 3 $n\!$ Variationen der Coordinaten sind also von einander unabhängig. Demnach zerfällt die Gleichung (6) in 3 $n\!$ einzelne Gleichungen, indem — wie schon oben bemerkt — für sich gleich Null zu setzen ist, was mit jeder einzelnen von den 3 $n\!$ Variationen multiplicirt vorkommt. Also findet sich

(7)	${\frac {\partial P}{\partial x_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}=0,$ ${\frac {\partial P}{\partial y_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}y_{i}}{dt^{2}}}=0,$ ${\frac {\partial P}{\partial z_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}z_{i}}{dt^{2}}}=0.$

Hierin ist $i\!$ der Reihe nach $=1,2,3,\ldots n$ zu setzen. Dann sind die Gleichungen (7) nichts anderes als die Differentialgleichungen der Bewegung, wie sie aus dem Prinzip des Lagrange hervorgehen.

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