Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 76.

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§. 76. Die specifischen Stromintensitäten ausgedruckt durch die Componenten der elektromagnetischen Kraft.

 Wir wollen den Satz des vorigen Paragraphen auf unendlich kleine Flächenelemente anwenden. Wir betrachten zunächst ein ebenes Rechteck, dessen Seiten $dx\,$ und $dy\,$ resp. zu den Axen der $x\,$ und der $y\,$ parallel laufen. Der dem Anfangspunkte zunächst gelegene Eckpunkt soll die Coordinaten $x,\,y,\,z$ haben. Die Ebene des Rechtecks liegt normal gegen die z-Axe. Die specifische Stromintensität in der Richtung dieser Axe ist $i_{3}\,$. Folglich geht die Gleichung (1) des vorigen Paragraphen hier in folgende über

$4\pi \,i_{3}\,dxdy=\int (Xdx+Ydy+Zdz).$

Das Integral auf der rechten Seite ist in positivem Sinne durch die Begrenzung des Rechtecks zu erstrecken. Wir bezeichnen die

Fig. 42.

Seiten des Rechtecks (Fig. 42) so, wie sie bei einem positiven Umlauf auf einander folgen, mit $1,\,2,\,3,\,4$ und setzen fest, dass die Seite 1 vom Punkte $(x,\,y,\,z)$ nach dem Punkte $(x+dx,\,y,\,z)$ hinführen soll. Wir geben ferner den Componenten $X,\,Y,\,Z$ die Indices $1,\,2,\,3,\,4$, um anzudeuten, dass es sich um die Werthe in den gleichnamigen Seiten handelt. Das Integral, durch die Begrenzung des Rechtecks genommen, gibt dann

$X_{1}\;dx\,+\,Y_{2}\;dy\,-X_{3}\;dx\,-\,Y_{4}\;dy.\,$

Nun ist aber

$X_{1}=X,\quad X_{3}=X+\,{\frac {\partial X}{\partial y}},\,dy$ $Y_{4}=Y,\quad Y_{2}=Y+\,{\frac {\partial Y}{\partial x}}.\,dx$

Folglich geht das Integral über in

$\left({\frac {\partial Y}{\partial x}}-{\frac {\partial X}{\partial y}}\right)dx\,dy$

und die Gleichung (1) des vorigen Paragraphen lautet jetzt

$4\pi \,i_{3}\,dxdy=\left({\frac {\partial Y}{\partial x}}\,-\,{\frac {\partial X}{\partial y}}\right)dx\,dy.$

Zwei entsprechende Gleichungen erhält man, wenn durch den Punkt $(x,\,y,\,z)$ noch zwei ebene Flächenelemente normal gegen die Axen der $x\,$ und der $y\,$ gelegt werden. Die Resultate lauten:

(1)	$4\pi i_{1}={\frac {\partial Z}{\partial y}}-{\frac {\partial Y}{\partial z}},\,$

(2)	$4\pi i_{2}={\frac {\partial X}{\partial z}}-{\frac {\partial Z}{\partial x}},\,$

(3)	$4\pi i_{3}={\frac {\partial Y}{\partial x}}-{\frac {\partial X}{\partial y}}.\,$

Diese Gleichungen können dazu dienen, für die Stelle $(x,\,y,\,z)$ die spezifischen Stromintensitäten zu berechnen, wenn die Componenten der von den galvanischen Strömen ausgeübten magnetischen Kraft gegeben sind.

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