Schwere, Elektricität und Magnetismus:026

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Erster Abschnitt. §. 4.

rentialgleichung (2) des vorigen Paragraphen vereinfacht sich zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung.

 Es ist

(1)	$s^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}\$

und

(2)	$V=F(s).\,$

 Daraus findet man durch Differentiation

${\frac {\partial V}{\partial x}}={\frac {dV}{ds}}\cdot {\frac {\partial s}{\partial x}}$

und

${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}={\frac {d^{2}V}{ds^{2}}}\left({\frac {\partial s}{\partial x}}\right)^{2}+{\frac {dV}{ds}}{\frac {\partial ^{2}s}{\partial x^{2}}}.\,$

 Berechnet man in derselben Weise ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}$ und ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$, so ergibt sich durch Addition

(3)

${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$ $={\frac {d^{2}V}{ds^{2}}}\left\lbrace \left({\frac {\partial s}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial s}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial s}{\partial z}}\right)^{2}\right\rbrace$ $+{\frac {dV}{ds}}\left\lbrace {\frac {\partial ^{2}s}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}s}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}s}{\partial z^{2}}}\right\rbrace .$

 Die partiellen Derivirten von $s\,$ sind aus der Gleichung (1) herzuleiten. Man erhält

$s{\frac {\partial s}{\partial x}}=x,\quad \left({\frac {\partial s}{\partial x}}\right)^{2}+s{\frac {\partial ^{2}s}{\partial x^{2}}}=1,$ $s{\frac {\partial s}{\partial y}}=y,\quad \left({\frac {\partial s}{\partial y}}\right)^{2}+s{\frac {\partial ^{2}s}{\partial y^{2}}}=1,$ $s{\frac {\partial s}{\partial z}}=z,\quad \left({\frac {\partial s}{\partial z}}\right)^{2}+s{\frac {\partial ^{2}s}{\partial z^{2}}}=1.$

 Hiernach ergibt sich ohne weiteres

$\left({\frac {\partial s}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial s}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial s}{\partial z}}\right)^{2}=1,$ ${\frac {\partial ^{2}s}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}s}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}s}{\partial z^{2}}}={\frac {2}{s}}.\,$

 Setzt man diese Werthe in die Gleichung (3) ein, so geht sie über in folgende