Schwere, Elektricität und Magnetismus:035

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Die Function $V\,$ mit ihrer ersten Derivirten fur einen inneren Punkt.

Oberfläche statt $a,b,c\,$ die Variabeln $r,\;\varphi ,\;\theta$ einführt und $R\,$ für $r\,$ an die Stelle setzt.

 Aus (3) geht hervor, dass man zu der Potentialfunction den Beitrag Null erhält, wenn man den anziehenden Punkt $(a,\,b,\,c)$ mit dem angezogenen Punkte zusammenfallen lässt. Damit ist bewiesen, dass $V\,$ auch dann eine endliche Function von $x,\,y,\,z$ ist, wenn der angezogene Punkt im Innern der anziehenden Masse liegt.

 Ebenso lässt sich zeigen, dass unter derselben Voraussetzung die Ausdrücke für die Componenten der auf den Punkt $(x,\,y,\,z)$ ausgeübten Anziehung bestimmte endliche Werthe geben. Es sind dies die Ausdrücke (4) des §. 2. Sie gehen durch Einführung von Kugel-Coordinaten über in

(5)

$x=\int \limits _{0}^{2\pi }\cos \varphi \;d\varphi \ \int \limits _{0}^{\pi }\sin \theta ^{2}\;d\theta \ \int \limits _{0}^{R}\rho \;dr,$ $y=\int \limits _{0}^{2\pi }\sin \varphi \ d\varphi \;\int \limits _{0}^{\pi }\sin \theta ^{2}\;d\theta \ \int \limits _{0}^{R}\rho \;dr,$ $z=\int \limits _{0}^{2\pi }\ d\varphi \ \int \limits _{0}^{\pi }\cos \theta \;\sin \theta \;d\theta \ \int \limits _{0}^{R}\rho \;dr.$

 Auch hier erhält man zu den Integralen einen unendlich kleinen Beitrag, wenn der anziehende Punkt $(a,\,b,\,c)\,$ mit dem angezogenen Punkte zusammenfällt. Sämmtliche Elemente in den Integralen (5) sind unendlich klein von der dritten Ordnung, auch diejenigen, welche von Massenelementen herrühren, die dem Punkte $(x,\,y,\,z)\,$ unendlich nahe liegen. Daher haben die Integrale bestimmte, endliche Werthe, und die durch sie ausgedrückten Componenten $X,\;Y,\;Z$ sind endliche Functionen von $x,\;y,\;z$, auch wenn der angezogene Punkt im Innern der anziehenden Masse sich befindet.

 Die Transformation der Coordinaten, welche die Gleichungen (4) und (5) liefert, ist auch dann noch zulässig und führt zu denselben Resultaten, wenn der angezogene Punkt in der Oberfläche des mit Masse erfüllten Körpers liegt. Nur ist zu beachten, dass in diesem Falle das Integrationsgebiet in Beziehung auf $\theta \,$ und $\varphi \,$ sich einschränkt, weil nicht für alle Werthe von $\theta \,$ und $\varphi \,$ die obere Grenze $R\,$ von Null verschieden ist.