Schwere, Elektricität und Magnetismus:046

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Erster Abschnitt. §. 10.

§. 10. Stetigkeit der Function $V\,$ und ihrer ersten Derivirten. Unterbrechungen in der Stetigkeit der zweiten Derivirten.

 Die Function $V\,$ und ihre ersten Derivirten ${\frac {\partial V}{\partial x}},\,{\frac {\partial V}{\partial y}},\,{\frac {\partial V}{\partial z}}$ werden durch Integrale ausgedrückt, die - wie bewiesen - je einen bestimmten endlichen Werth haben, wo auch der angezogene Punkt $(x,\,y,\,z)$ liegen möge. Dagegen ist von den Integralen, welche die zweiten Derivirten ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}},\,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}},\,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$ ausdrücken, dieselbe Eigenschaft bis jetzt nur bewiesen, wenn der angezogene Punkt in endlicher, wenn auch noch so kleiner, Entfernung von der Oberfläche des anziehenden Körpers und von den Unstetigkeitsstellen der Dichtigkeit sich befindet. Daraus folgt, dass $V\,$ im ganzen unendlichen Raume eine stetig veränderliche Function von $x,\,y,\,z$ ist, und dass ${\frac {\partial V}{\partial x}},\,{\frac {\partial V}{\partial y}},\,{\frac {\partial V}{\partial z}}$ sich stetig ändern, so lange der Punkt $(x,\,y,\,z)$ in endlicher, wenn auch noch so kleiner Entfernung von der Oberfläche des anziehenden Körpers und von den Unstetigkeitsstellen der Dichtigkeit bleibt. Wir wollen nun beweisen, dass die ersten Derivirten ${\frac {\partial V}{\partial x}},\,{\frac {\partial V}{\partial y}},\,{\frac {\partial V}{\partial z}}$ auch dann noch eine stetige Aenderung erleiden, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ durch die Oberfläche des anziehenden Körpers oder durch eine Unstetigkeitsstelle der Dichtigkeit hindurchgeht oder in ihnen verschoben wird. Der Beweis soll zunächst für ${\frac {\partial V}{\partial x}}$ geführt werden.

 Der Punkt $(x,\,y,\,z)$ liege in einer Fläche, in welcher die Dichtigkeit sich sprungweise ändert, oder in der Oberfläche des anziehenden Körpers. Wir umschliessen ihn mit einer Kugelfläche vom Radius $\varepsilon \,$ und bezeichnen mit $T_{1}\,$ den Raum, welchen diese aus dem anziehenden Körper ausschneidet. Der übrige Theil des anziehenden Körpers sei $T_{2}\,$. Dem entsprechend zerlegen wir auch die Potentialfunction in zwei Bestandtheile

(1)	$V=V_{1}+V_{2},\,$

so dass $V_{1}\,$ nur von der Masse in dem Raume $T_{1}\,$ und $V_{2}\,$ nur von der Masse in dem Raume $T_{2}\,$ herrührt. Für den Raum $T_{2}\,$ ist der Punkt $(x,\,y,\,z)$ ein äusserer Punkt, und daher sind die