Schwere, Elektricität und Magnetismus:056

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Erster Abschnitt. §. 12.

(4)	$N=\int {\frac {1}{r^{2}}}\cos(rn)\,dm.$

 Wir wollen nun wieder den Punkt $(x,\,y,\,z)\,$ in die Oberfläche eines beliebig, aber völlig, begrenzten Raumes $T\,$ legen und das Integral

$\int N\,d\sigma$

über die ganze Oberfläche von $T\,$ erstrecken. Es ist

$\int N\,d\sigma \,=\int d\sigma \left\lbrace \int {\frac {1}{r^{2}}}\cos(rn)\,dm\right\rbrace$

oder, wenn man in der umgekehrten Reihenfolge integrirt:

$\int N\,d\sigma \,=\int dm\left\lbrace \int {\frac {1}{r^{2}}}\cos(rn)\,d\sigma \right\rbrace .$

Wir haben aber im vorigen Paragraphen bewiesen, dass das Integral

$\int {\frac {1}{r^{2}}}\cos(rn)\,d\sigma$

den Werth $0\,$ oder $4\pi \,$ hat, je nachdem der Punkt $(a,\,b,\,c)\,$, in welchem das Massenelement $dm\,$ concentrirt gedacht wird, ausserhalb oder innerhalb des Raumes T liegt. Folglich ist

$\int N\,d\sigma =\int 4\pi \,dm,$

und man hat die Integration rechts nur über die Massenelemente zu erstrecken, welche innerhalb $T\,$ liegen. Bezeichnet man mit $M\,$ die gesammte Masse, welche innerhalb $T\,$ liegt, so ergibt sich

(5)	$\int N\,d\sigma =4\pi \,M.$

Dies Resultat bezieht sich auf den Fall, dass die anziehende Masse über einen Raum oder über eine Fläche oder über eine Linie vertheilt ist, und dass ein endlicher Theil davon in das Innere des Raumes $T\,$ fällt, in den beiden letzten Fallen aber kein endlicher Theil in die Oberfläche von $T\,$.

 Ist die Masse $M\,$ über eine Fläche oder eine Linie ausgebreitet, die nicht im Innern des Raumes $T\,$, sondern in seiner stetig gekrümmten Oberfläche liegt, so erhält man

(6)	$\int N\,d\sigma =2\pi \,M.$