Schwere, Elektricität und Magnetismus:069

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 55
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Die Masse ist über eine Fläche ausgebreitet.

$\int \limits _{0}^{\nu }{\frac {a-x}{r}}{\frac {\partial k}{\partial s}}ds$

jedenfalls kleiner als der absolute Werth von

$\int \limits _{0}^{\nu }{\frac {\partial k}{\partial s}}ds,$

d. h. kleiner als der absolute Werth der Differenz $k_{\nu }-k_{0}\,$. Nun ist aber $k\,$ stetig variabel, folglich kann diese Differenz durch unendliches Abnehmen von $\nu \,$ kleiner gemacht werden als irgend eine angebbare Zahl. Um so mehr wird

(5)	$\int \limits _{0}^{\nu }{\frac {a-x}{r}}{\frac {\partial k}{\partial s}}ds$

beim unendlichen Abnehmen von $\nu \,$ unter jeden angebbaren Werth herabsinken.

 Das Integral

(6)	$\int \limits _{\nu }^{S}{\frac {a-x}{r}}{\frac {\partial k}{\partial s}}ds$

hat einen endlichen Werth, der mit $x\,$ sich stetig ändert, auch für $x=0\,$ und für unendlich kleine positive oder negative $x\,$. Denn eine Aenderung von $x\,$ bewirkt unter dem Integralzeichen nur eine Aenderung des Factors ${\frac {a-x}{r}}$. So lange $s\,$ einen endlichen Werth hat, nimmt dieser Factor Werthe an, die sich nur unendlich wenig unterscheiden, man möge $x=0\,$ oder unendlich klein $=\pm \varepsilon \,$ nehmen. Bei unendlich abnehmendem $s\,$ hat man aber

$\lim {\frac {a-x}{r}}=\lim {\frac {{\frac {a}{s}}-{\frac {x}{s}}}{\sqrt {1+\left({\frac {a-x}{s}}\right)^{2}}}},$

d. h. da $\lim {\frac {a}{s}}=0$ ist:

$\lim {\frac {a-x}{r}}=\lim {\frac {-{\frac {x}{s}}}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{s^{2}}}}}}.$