Schwere, Elektricität und Magnetismus:089

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 75
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Herstellung von $V\,$ im Inneren eines Raumes.

$-\iiint U\left({\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}\right)dx\,dy\,dz.$

Da der Raum $T\,$ völlig begrenzt ist, also seine Begrenzung ganz im endlichen Gebiete liegt, so hat dieses Integral, über den Raum $T_{1}\,$, erstreckt, einen bestimmten, endlichen Werth. Dies gilt noch selbst für $\lim c=0\,$. Denn innerhalb der Kugel vom Radius $c\,$ kann man als Raumelement einführen

$r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi ,$

und da $U\,$ nur die erste Potenz von $r\,$ im Nenner hat, so verschwinden die Beiträge, welche für $\lim c=0\,$ zu dem Raum-Integral hinzukommen. Man hat dasselbe also für diesen Grenzfall über den ganzen Raum $T\,$ zu erstrecken, und es behält einen bestimmten, endlichen Werth.

 Das Oberflächen-Integral in der Gleichung (4) des vorigen Paragraphen ist aus zwei Bestandtheilen zusammengesetzt. Der erste rührt von der Oberfläche des Raumes $T\,$ her und reducirt sich auf

$\int V{\frac {\partial U}{\partial n}}d\sigma .$

Der andere ist das über die Umhüllung des Punktes $(x',\,y',\,z')$ ausgedehnte Integral. Hier fällt die nach dem Innern von $T_{1}\,$ gezogene Normale mit der Richtung der wachsenden $r\,$ zusammen. Der zweite Bestandtheil des Oberflächen-Integrals lautet also

$\int \left(V{\frac {\partial U}{\partial r}}-U{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)_{r=c}c^{2}\,d\omega ,$

wenn mit $d\omega \,$ das Oberflächen-Element einer Kugel vom Radius 1 bezeichnet wird. Dieses letzte Integral lässt sich nun auch so schreiben

$c^{2}\int \left(V{\frac {\partial U_{1}}{\partial r}}-U_{1}{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)_{r=c}d\omega$ $+c^{2}\int \left\lbrack V{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial r}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}\right\rbrack _{r=c}d\omega$ $=c^{2}\int \left(V{\frac {\partial U_{1}}{\partial r}}-U_{1}{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)_{r=c}d\omega$ $-\int V\,d\omega -c\int \left({\frac {\partial V}{\partial r}}\right)_{r=c}d\omega .$