Schwere, Elektricität und Magnetismus:091

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 77
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Herstellung von $V\!$ im Innern eines Raumes.

bilden die vollständige Begrenzung eines Raumes, der die Unstetigkeitsstelle in sich enthält (Fig. 12).

Fig. 12.

Ueber diese Begrenzung ist das Oberflächen-Integral noch zu erstrecken. Die Cylinderfläche kann dabei ausser Betracht bleiben, weil über sie ausgedehnt das Integral unendlich klein ist. Wir bezeichnen mit $+p\!$ und resp. $-p\!$ einen Abstand, der von der Unstetigkeitsstelle aus auf der positiven und resp. auf der negativen Normale genommen wird. Dann ist auf der Seite der positiven Normale

${\frac {\partial V}{\partial n}}=\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{+0},\quad {\frac {\partial U}{\partial n}}=\left({\frac {\partial U}{\partial p}}\right)ad{+0}$

und auf der Seite der negativen Normale

${\frac {\partial V}{\partial n}}=-\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{-0},\quad {\frac {\partial U}{\partial n}}=-\left({\frac {\partial U}{\partial p}}\right)_{-0}.\,$

Der angehängte Index $\pm 0$ drückt aus, dass die Derivirte an der Stelle $p\pm \varepsilon$ genommen und $\varepsilon$ der Null unendlich angenähert werden soll. Erstreckt man nun das Oberflächen-Integral über die beiden Hüllen der Unstetigkeitsfläche, so erhält man auf der Seite der positiven Normale

$\int \left\lbrace V_{+0}\left({\frac {\partial U}{\partial p}}\right)_{+0}-U_{+0}\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{+0}\right\rbrace d\sigma$

und auf der Seite der negativen Normale

$-\int \left\lbrace V_{-0}\left({\frac {\partial U}{\partial p}}\right)_{-0}-U_{-0}\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{-0}\right\rbrace d\sigma .\,$

Es ist aber $U_{+0}=U_{-0}\!$ und $\left({\frac {\partial U}{\partial p}}\right)_{+0}=\left({\frac {\partial U}{\partial p}}\right)_{-0}\,$. Zu dem Oberflächen-Integral auf der rechten Seite der Gleichung (3) kommt also in diesem Falle der Beitrag hinzu: