Schwere, Elektricität und Magnetismus:099

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 85
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Die Green'sche Function $U\,$ für ein Parallelepipedon.

 Wir legen drei Schaaren von Ebenen, rechtwinklig resp. gegen die Axen der $x\!$, der $y\!$, der $z\!$. Je zwei benachbarte Ebenen derselben Schaar sollen in constantem Abstande von einander sein und zwar in dem Abstande $a\!$ für die erste, $b\!$ für die zweite, $c\!$ für die dritte Schaar. Die beiden Ebenen jeder Schaar, welche dem Anfangspunkte der Coordinaten zunächst liegen, sollen je eine Begrenzungsfläche des gegebenen Parallelepipedon in sich enthalten. Auf diese Weise wird der unendliche Raum in lauter congruente Parallelepipeda zerlegt. Eins von ihnen ist das gegebene Parallelepipedon selbst.

 Wir gehen nun darauf aus, die Function $U\!$ für jeden Punkt des unendlichen Raumes herzustellen, so dass sie der dritten Bedingung überall genügt, und dass sie entgegengesetzte Werthe besitzt in je zwei Punkten, die zu irgend einer der gelegten Ebenen symmetrisch liegen. Durch diese Bestimmung wird erreicht, dass die erste Bedingung erfüllt wird. Soll dann auch noch der zweiten Genüge geschehen, so muss die Function unendlich werden in allen Punkten, deren Coordinaten von der Form sind

$ka+(-1)^{k}x',\quad mb+(-1)^{m}y',\quad nc+(-1)^{n}z',$

und zwar positiv oder negativ unendlich, je nachdem $k+m+n\!$ eine gerade oder eine ungerade Zahl ist. Für $k\!$ sind alle ganzen Zahlen von $-\infty$ bis $+\infty$ zu setzen, ebenso für $m\!$ und für $n\!$. Man erhält alle Unstetigkeitspunkte der Function $U\!$, wenn man jeden Werth von $k\!$ der Reihe nach mit allen Werthen von $m\!$ zusammenstellt und zu jeder solchen Zusammenstellung der Reihe nach alle Werthe von $n\!$ hinzusetzt. Hiernach erhält man als Ausdruck für $U\!$ eine dreifach unendliche Reihe, nemlich

(1)	$U=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\,\sum _{m=-\infty }^{\infty }\,\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{k+m+n}}{\sqrt {N}}},\,$

wobei zur Abkürzung $N\!$ geschrieben ist für die Summe der drei Quadrate

$\lbrace ka+(-1)^{k}x'-x\rbrace ^{2}+\lbrace mb+(-1)^{m}y'-y\rbrace ^{2}+\lbrace nc+(-1)^{n}z'-z\rbrace ^{2}.\,$

Von diesem Ausdrucke für $U\!$ ist leicht nachzuweisen, dass er den aufgestellten Bedingungen Genüge leistet. Er befriedigt die Gleichung von Laplace, weil jeder Summand es thut. Die Nenner der einzelnen Summanden drücken den Abstand des Punktes $(x,\,y,\,z)$ von je einem der Unstetigkeitspunkte aus. Es wird also jedesmal