Schwere, Elektricität und Magnetismus:102

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 88
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Zweiter Abschnitt. §. 24.

 Wir können die Function $U\,$ auch in Form eines bestimmten Integrals ausdrücken. Es ist nemlich

$\int \limits _{0}^{\infty }e^{-s}\,{\frac {ds}{\sqrt {s}}}={\sqrt {\pi }}.$

Setzt man $s=Nt\,$, so ergibt sich

${\frac {1}{\sqrt {t}}}\int \limits _{0}^{\infty }e^{-Nt}\,{\frac {dt}{\sqrt {t}}}={\frac {1}{\sqrt {N}}}.$

 Wir erhalten danach für $U\,$ den neuen Ausdruck:

(11)	$U=\sum _{-\infty }^{\infty }\sum _{-\infty }^{\infty }\sum _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{\infty }(-1)^{k+m+n}\,e^{-Nt}\,{\frac {dt}{\sqrt {t}}}.$

Hier ist nun freilich zuerst die Integration und nachher sind die drei Summirungen auszuführen. Man darf aber auch zuerst die drei Summirungen vornehmen und dann integriren, also:

(12)	$U={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{\infty }\,{\frac {dt}{\sqrt {t}}}\left(\sum _{-\infty }^{\infty }\sum _{-\infty }^{\infty }\sum _{-\infty }^{\infty }(-1)^{k+m+n}\,e^{-Nt}\right).$

Die dreifach unendliche Reihe in (12) zerfällt ohne weiteres in das Product der drei einfachen Reihen:

$\sum _{-\infty }^{\infty }(-1)^{k}\,e^{-t[ka+(-1)^{k}x'-x]^{2}},$ $\sum _{-\infty }^{\infty }(-1)^{m}\,e^{-t[mb+(-1)^{m}y'-y]^{2}},$ $\sum _{-\infty }^{\infty }(-1)^{n}\,e^{-t[nc+(-1)^{n}z'-z]^{2}}.$

 Jede dieser Reihen lässt sich leicht durch die Functionen $\vartheta$ ausdrücken, welche Jacobi in die Theorie der elliptischen Functionen eingeführt hat.

§. 24. Beispiel: Potentialfunction eines homogenen Ellipsoids.

 Ehe wir in der allgemeinen Untersuchung der Function $U\,$ weiter gehen, soll die Potentialfunction in einigen besonderen Fällen betrachtet werden.