Schwere, Elektricität und Magnetismus:108

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Zweiter Abschnitt. §. 24.

${\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}&=-4\pi \rho \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {d\,\lg \,D}{ds}}{\frac {ds}{D}}\\&=-4\pi \rho \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {d\left(-{\frac {1}{D}}\right)}{ds}}ds.\\\end{aligned}}$

 Für $s=\infty \,$ ist $D=\infty \,$, für $s=0\,$ dagegen $D=1\,$. Also ergibt sich

(8)	${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=-4\pi \rho ,$

wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ im Innern des Ellipsoids liegt.

 Dagegen haben wir für einen äusseren Punkt

${\begin{aligned}\quad &{\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}\\=&-4\pi \rho \int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {d\left(-{\frac {1}{D}}\right)}{ds}}ds\\&+{\frac {2\pi \rho }{\Delta }}\left({\frac {x}{a^{2}+\sigma }}{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}+{\frac {y}{b^{2}+\sigma }}{\frac {\partial \sigma }{\partial y}}+{\frac {z}{c^{2}+\sigma }}{\frac {\partial \sigma }{\partial z}}\right).\\\end{aligned}}$

Der Werth des Integrals ist ${\frac {1}{\Delta }}$. Ferner haben wir

${\begin{aligned}&{\frac {x}{a^{2}+\sigma }}{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}+{\frac {y}{b^{2}+\sigma }}{\frac {\partial \sigma }{\partial y}}+{\frac {z}{c^{2}+\sigma }}{\frac {\partial \sigma }{\partial z}}\\=&{\frac {2x^{2}}{(a^{2}+\sigma )^{2}\,l}}+{\frac {2y^{2}}{(b^{2}+\sigma )^{2}\,l}}+{\frac {2z^{2}}{(c^{2}+\sigma )^{2}\,l}}\\=&{\frac {2}{l}}\left\lbrace \left({\frac {x}{a^{2}+\sigma }}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b^{2}+\sigma }}\right)^{2}+\left({\frac {z}{c^{2}+\sigma }}\right)^{2}\right\rbrace \\\end{aligned}}$ $=2.\,$

Folglich erhalten wir

(9)	${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0,$

wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ ausserhalb des Ellipsoids liegt.

 Damit ist bewiesen, dass die Integrale (2) und (3) in der That die Potentialfunction des Ellipsoids von der constanten Dichtigkeit $\rho \,$ ausdrücken.