Schwere, Elektricität und Magnetismus:130

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 116
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Zweiter Abschnitt. $. 27.

Radius aufzufassen. Dem Werthe $s=\infty \,$ entspricht dann nur ein einziger Punkt, welcher auf der unendlich grossen Kugel dem Nullpunkte diametral gegenüberliegt.

 Wir zeichnen in der Zahlenebene eine in sich zurücklaufende Linie $L\,$ (Fig. 18), welche sich selbst nicht durchschneidet und einen

Fig. 18.

Theil der Ebene vollständig begrenzt. Innerhalb dieses abgegrenzten Theiles soll die Axe der positiven $\xi \,$ von $s=\sigma \,$ bis $s=\infty \,$ liegen, ausserhalb dagegen die Punkte, welche die beiden negativen Wurzeln der Gleichung (2) des vorigen Paragraphen repräsentiren. Dann liegen auch die beiden Punkte der Abscissenaxe $(s=-\beta ^{2})\,$ und $(s=-\gamma ^{2})\,$ ausserhalb. Der Punkt $s=0\,$ soll nur dann innerhalb des abgegrenzten Gebietes liegen, wenn $\sigma =\sigma '\,$ und $\sigma '=0\,$ ist, d. h. wenn $x=0\,$ und ${\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\gamma ^{2}}}<1$.

 Wir wollen nun zunächst in dem Ausdrucke für $X\,$ den reellen Integrationsweg durch einen complexen ersetzen.

 Für jeden Werth, den die Variable $s\,$ annimmt, hat die Function

$f(s)={\frac {1}{s}}{\sqrt {\frac {t-x^{2}}{\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}$

zwei Werthe, weil die Quadratwurzel zweideutig ist. Diese beiden Werthe sind innerhalb des abgegrenzten Flachenstückes an zwei Stellen einander gleich, und zwar $=0\,$, wenn nemlich $s=\sigma \,$ und wenn $s=\infty \,$. Für alle übrigen Werthe von $s\,$ innerhalb und auf der Begrenzung des Flächenstückes soll nur ein Werth von $f(s)\,$ in Betracht gezogen werden, und zwar nach folgender Vorschrift. Wir zerschneiden die Zahlenebene längs der reellen Zahlenaxe von $s=\sigma \,$ bis $s=+\infty \,$ und setzen fest, dass die Variable $s\,$ bei ihrer Bewegung in der Ebene diesen Schnitt nicht überschreiten, wohl aber umgehen darf. Soll sie also die reelle Zahlenaxe von $\sigma \,$ bis $\infty \,$ durchlaufen, so ist zu unterscheiden, ob dies unendlich nahe an dem Schnitt auf der rechten oder auf der linken Seite geschieht. Für solche Werthe von $s\,$ ist $f(s)\,$ reell. Wir setzen fest, dass der positive Werth von $f(s)\,$ genommen werden soll, wenn $s\,$ unendlich nahe an dem Schnitt auf der rechten (unteren) Seite liegt, und der negative Werth von $f(s)\,$, wenn $s\,$ unendlich nahe an dem