Schwere, Elektricität und Magnetismus:139

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 125
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$X\,$ als Potentialfunction einer Ellipsenfläche.

um $\sigma \,$ herum bis $\infty \,$. Das unbestimmte Integral lässt sich ausrechnen, nemlich

$-\int (m\,D)^{-{\frac {3}{2}}}d(m\,D)={\frac {2}{\sqrt {m\,D}}}.$

Diese Function ist auf dem ganzen Integrationswege einwerthig, endlich und stetig variabel. Man findet also das bestimmte Integral gleich der Differenz der Werthe des unbestimmten Integrals an den Grenzen. Diese Werthe sind aber an den Grenzen $(s=\infty )\,$ beide gleich Null. Folglich

(8)	${\frac {\partial ^{2}X}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}X}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}X}{\partial z^{2}}}=0.$

Dies ist die zu beweisende Gleichung (1).

 Um die zweite Eigenschaft der Function $X\,$ nachzuweisen, stellen wir ${\frac {\partial X}{\partial x}}$ her nemlich

(9)	${\frac {\partial X}{\partial x}}=-x\,\rho \int {\frac {ds}{s{\sqrt {t-x^{2}}}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}}$

 Soll hier $x=0\,$ genommen werden, so muss der Integrationsweg von $\infty \,$ nach $\infty \,$ durch eine geschlossene Linie $L\,$ führen, welche den Punkt $\sigma '\,$ mit umschliesst. Dabei ist zu unterscheiden, ob $\sigma '>0\,$ oder $\sigma '=0\,$ ist.

 Es sei erstens $\sigma '>0\,$. Dann können und dürfen wir die Linie $L\,$ so legen, dass der Punkt $s=0\,$ ausserhalb des umschlossenen Flächenstücks liegt. Das Integral auf der rechten Seite von (9) kann ersetzt werden durch den doppelten Werth des Integrals zwischen den reellen Grenzen $\sigma '\,$ und $\infty \,$. Nun wird zwar für $s=\sigma '\,$ die Function unter dem Integralzeichen unendlich wie $(t-x^{2})^{-{\frac {1}{2}}}\,$, aber das unbestimmte Integral wird an dieser Stelle Null wie $(t-x^{2})^{\frac {1}{2}}\,$, und daher hat das bestimmte Integral einen angebbaren endlichen Werth. Folglich ist für $x=0\,$ auch ${\frac {\partial X}{\partial x}}=0$, gleichgültig, ob $x\,$ von der positiven oder von der negativen Seite in Null übergeht. Wir haben also (für $x=0\,$)

(10)	$\left({\frac {\partial X}{\partial x}}\right)_{+0}-\left({\frac {\partial X}{\partial x}}\right)_{-0}=0,$

wenn $\sigma '>0\,$, d. h. wenn ${\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\gamma ^{2}}}>1$. In diesem Falle liegt der