Schwere, Elektricität und Magnetismus:142

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Zweiter Abschnitt. §. 29.

 Auf Grund dieser Gleichungen könnte man den Ausdruck

${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$

durch blosse Rechnung transformiren. Wir ziehen es vor, den neuen Ausdruck direct herzuleiten, indem wir den Satz von Gauss

Fig. 22.

(§.12) auf ein Raumelement des Kugelcoordinaten-Systems anwenden. Dieses Raumelement (Fig.22) wird begrenzt von zwei concentrischen Kugelflächen, die mit den Radien $r\,$ und $r+dr\,$ um den Mittelpunkt der Kugel-Coordinaten beschrieben sind, ferner von zwei Kegelflächen, welche die $z\,$Axe zur Axe haben, und deren Erzeugende mit dieser Axe die Winkel $\theta \,$ und resp. $\theta +d\theta \,$ einschliessen, endlich von zwei Meridian-Ebenen, die mit der Ebene des Anfangsmeridians die Winkel $\varphi \,$ und $\varphi +d\varphi \,$ bilden. Die sechs Begrenzungsflächen durchschneiden sich in zwölf Kanten. Je drei von ihnen, welche eine dreiseitige Ecke bilden, stehen rechtwinklig aufeinander.

 Der Satz von Gauss lautet:

(2)	$\int N\,d\sigma =4\,\pi \,M,$

wenn die Integration über die Oberfläche des Raumelementes erstreckt wird. $N\,$ ist die Componente der Anziehung in der Oberfläche, genommen in der Richtung der nach innen gezogenen Normale, und $M\,$ die Masse im Innern des Raumelementes.

 Das Integral zerlegt sich in sechs Bestandteile, deren jeder von einer Seitenfläche herrührt. Wir haben zunächst zwei Seitenflächen, rechtwinklig gegen den Radius vector $r\,$. Der Flächeninhalt derselben ist $r^{2}\,\sin \theta \,d\theta \,d\varphi \,$ und resp. $(r+dr)^{2}\,\sin \theta \,d\theta \,d\varphi$. Für die erste ist $N={\frac {\partial V}{\partial r}}\,$, für die andere $N=-\left({\frac {\partial V}{\partial r}}\right)_{r+dr}$. Folglich liefern diese beiden Seitenflächen zu dem Integral den Beitrag