Schwere, Elektricität und Magnetismus:162
| Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus | ||
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Da aber im Innern des Raumes die Function gänzlich unbestimmt ist, so kann diese Gleichung nur dadurch erfüllt werden, dass im Innern überall
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Nun existirt immer ein Minimum des Integrals . Folglich muss es unter den unendlich vielen Functionen welche in der Oberfläche von mit der dort gegebenen Function zusammenfallen, eine geben, welche jenes Minimum zu Stande bringt, und das kann nicht anders geschehen als durch Befriedigung der Gleichung (8). Diese Function ist die für das Innere von verlangte stetige Fortsetzung der in der Oberfläche gegebenen Function
Die Transformation (6), durch welche die Bedingung (5) in (8) übergeht, ist nach §. 20 nur dann zulässig, wenn die Functionen und und die ersten Derivirten von im Innern des Raumes überall endlich und stetig variabel sind. Diese Bedingung ist für und erfüllt. Denn wir haben von allen Functionen und vorausgesetzt, dass jede von ihnen mit ihren ersten Derivirten einwerthig, endlich und stetig variabel sei. Denken wir uns aber den Fall, dass die ersten Derivirten von im Innern des Raumes sich sprungweise änderten, wenn der Punkt von der negativen auf die positive Seite einer gewissen Fläche übertritt, so würde zu dem Oberflächen-Integral auf der rechten Seite von (6) noch der Beitrag hinzutreten
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In diesem Beitrage ist ein Element der Unstetigkeitsfläche, die Normale. Die Integration ist über die ganze Unstetigkeitsfläche zu erstrecken. Zur Erfüllung der Bedingung (5) würde dann die Gleichung (8) nicht genügen. Es müsste ausserdem das Integral (9) den Werth Null haben, und das ist bei der Unbestimmtheit von nicht anders möglich, als wenn an jeder Stelle der angenommenen Unstetigkeitsfläche
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