Schwere, Elektricität und Magnetismus:183

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 169
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Das nicht freie System.

vorhandenen Verbindungen auferlegt werden, lassen sich analytisch ausdrücken durch Gleichungen oder Ungleichungen von der Form

$u_{1}\geq 0,\quad u_{2}\geq 0,\ldots$

Die Functionen $u_{1},\,u_{2},\ldots$ sind abhängig von den Coordinaten der Punkte des Systems oder von einigen derselben. Das Princip des Lagrange ist jetzt in der Gleichung enthalten

(15)	$\int \limits _{0}^{t}dt\lbrace \delta (T+P)+\sum \lambda \,\delta u\rbrace =0.\,$

Dafür kann man auch schreiben

(16)	$\delta \int \limits _{0}^{t}(T+P)dt=-\sum \int \limits _{0}^{t}\lambda \,\delta u\,dt.\,$

Die durch das Zeichen $\Sigma \!$ vorgeschriebene Summirung bezieht sich auf sämmtliche Functionen $u_{1},\,u_{2},\ldots$, die in den Bedingungen des Systems vorkommen. Die Variationen $\delta u_{1},\,\delta u_{2},\ldots$ sind der Reihe nach mit den vorläufig noch unbestimmten Grössen $\lambda _{1},\,\lambda _{2},\ldots$ zu multipliciren. Die rechte Seite der Gleichung (16) ist entweder Null oder negativ, weil jedes einzelne $\lambda \,\delta u$ gleich Null oder positiv ist.

§.41. Fortsetzung: Bestimmung der Grössen $\lambda \!$.

 Es handelt sich nun noch darum, die Grössen $\lambda _{1},\,\lambda _{2},\ldots$ zu bestimmen. Ihrer Bedeutung nach sind diese Grössen entweder gleich oder proportional den Zusatzkräften, welche man einzuführen hat, damit das System als völlig frei betrachtet werden könne. Nach Einführung der Grössen $\lambda \!$ sind demnach die Variationen der 3 $\,n$ Coordinaten $x_{1},\,y_{1},\,z_{1},\ldots x_{n},\,y_{n},\,z_{n}$ wieder von einander unabhängig. Man hat also in Gleichung (15) des vorigen Paragraphen für jedes $\delta u\!$ zu schreiben

${\begin{aligned}\delta u&=\,{\frac {\partial u}{\partial x_{1}}}\,\delta x_{1}+\,{\frac {\partial u}{\partial y_{1}}}\,\delta y_{1}+\,{\frac {\partial u}{\partial z_{1}}}\,\delta z_{1}\\&+\,{\frac {\partial u}{\partial x_{2}}}\,\delta x_{2}+\,{\frac {\partial u}{\partial y_{2}}}\,\delta y_{2}+\,{\frac {\partial u}{\partial z_{1}}}\,\delta z_{2}\\&+\dotsb \dotsb \dotsb \dotsb \dotsb \dotsb \dotsb \dotsb \dotsb \\&+\,{\frac {\partial u}{\partial x_{n}}}\,\delta x_{n}+\,{\frac {\partial u}{\partial y_{n}}}\,\delta y_{n}+\,{\frac {\partial u}{\partial z_{n}}}\,\delta z_{n}.\\\end{aligned}}$