Schwere, Elektricität und Magnetismus:211

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 197
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Fingirte Ladungen einzelner Punkte.

${\begin{aligned}\alpha _{1}+\alpha _{2}&={\frac {c^{2}-(a^{2}+b^{2})}{ab}},\,\\\,\\\alpha _{1}\,\alpha _{2}&=1\\\end{aligned}}$

ist. Da nun $c>a+b\!$ vorausgesetzt ist, so zeigt sich, dass $\alpha _{1}+\alpha _{2}\!$ positiv ist, und da beide Wurzeln einerlei Vorzeichen haben (ihr Product ist $=1\!$), so muss $\alpha _{1}>0\!$ und $\alpha _{2}>0\!$ sein.

 Aus der zweiten der Gleichungen (17) findet sich

${\mathfrak {P}}=-{\frac {ab+a}{c}}\,{\mathfrak {Q}}.\,$

Je nachdem wir die Wurzel $\alpha _{1}\!$ oder $\alpha _{2}\!$ nehmen, erhalten wir particuläre Lösungen für $p_{k}\!$ und $q_{k}\!$. Daraus setzt sich die allgemeine Lösung zusammen, nemlich

(19)

${\begin{aligned}&q_{k}={\mathfrak {Q}}_{1}\,\alpha _{1}^{k}+{\mathfrak {Q}}_{2}\,\alpha _{2}^{k}\\\,\\&p_{k}=-{\frac {a}{c}}\,({\mathfrak {Q}}_{1}\,\alpha _{1}^{k}+{\mathfrak {Q}}_{2}\,\alpha _{2}^{k})-{\frac {b}{c}}\,({\mathfrak {Q}}_{1}\,\alpha _{1}^{k+1}+{\mathfrak {Q}}_{2}\,\alpha _{2}^{k+1}).\\\end{aligned}}$

Es bleiben jetzt nur noch die beiden Constanten ${\mathfrak {Q}}_{1}\!$ und ${\mathfrak {Q}}_{2}\!$ zu bestimmen. Zu dem Ende bemerken wir, dass aus (15) und (11) hervorgehen würde

${\frac {1}{p_{0}+q_{0}\,\eta }}=g+{\frac {g}{\eta }}.\,$

Dieser Gleichung lässt sich nicht ohne weiteres genügen. Wir können aber die Function $\varphi _{1}(\eta )\!$ wieder zerlegen:

(20)	$\varphi _{1}(\eta )=\varphi _{11}(\eta )+\varphi _{12}(\eta ),\,$

und setzen dann, sofern $\zeta \!$ als unabhängige Variable eingeführt wird,

$\varphi _{11}(\eta )=\chi _{11}(\zeta ),\quad \varphi _{12}(\eta )=\chi _{12}(\zeta ).\,$

Die Gleichung (11) kann in der Weise befriedigt werden, dass wir setzen

(21)	${\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{11}\left({\frac {1}{\eta }}\right)-\,{\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{11}\left({\frac {1}{\zeta }}\right)=g,$

(22)	${\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{12}\left({\frac {1}{\eta }}\right)-\,{\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{12}\left({\frac {1}{\zeta }}\right)={\frac {g}{\eta }}.\,$

 Nimmt man nun zunächst für $\varphi _{11}(\eta )\!$ die Entwicklung (13) vor, so ergibt sich aus den Gleichungen (15) und (21):