Schwere, Elektricität und Magnetismus:239

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 225
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Beharrliche Ströme. Die drei Bedingungsgleichungen für $V\,$.

$i_{1}=k\left({\frac {\partial V}{\partial x}}+\Xi \right),$ $i_{2}=k\left({\frac {\partial V}{\partial y}}+\mathrm {H} \right),$ $i_{3}=k\left({\frac {\partial V}{\partial z}}+\mathrm {Z} \right).$

Die angesammelte freie Elektricität wirkt einer unaufhörlich fortgesetzten neuen Ansammlung von freier Elektricität Entgegen. In Folge dessen wird von einem gewissen Zeitpunkte an die Dichtigkeit der freien Elektricität an keiner Stelle des Leiters mehr sich ändern, d. h. es wird von diesem Zeitpunkte an ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0$ sein. Mit Rücksicht auf die Gleichung (1) des §. 55 erhalten wir also für jeden Punkt im Innern des Leiters:

${\frac {\partial i_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial i_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial i_{3}}{\partial z}}=0,$

oder, wenn für $i_{1},\ i_{2},\ i_{3}$ die obigen Ausdrücke eingesetzt werden:

(1)

${\frac {\partial \left\lbrace k\left({\frac {\partial V}{\partial x}}+\Xi \right)\right\rbrace }{\partial x}}+{\frac {\partial \left\lbrace k\left({\frac {\partial V}{\partial y}}+\mathrm {H} \right)\right\rbrace }{\partial y}}+{\frac {\partial \left\lbrace k\left({\frac {\partial V}{\partial z}}+\mathrm {Z} \right)\right\rbrace }{\partial z}}=0.$

 Die freie Oberfläche des Leiters soll isolirt sein. Dann ist in jedem ihrer Punkte die normal gegen sie gerichtete specifische Stromintensität gleich Null. Wir ziehen von einem Punkte $(x,\;y,\,z)$ in der freien Oberfläcbe die Normale nach innen und bezeichnen einen auf ihr genommenen Abstand mit $n\,$. Die specifische Stromintensität normal gegen die Oberfläche ist

$-\left(i_{1}\,{\frac {\partial x}{\partial n}}+i_{2}\,{\frac {\partial y}{\partial n}}+i_{3}\,{\frac {\partial z}{\partial n}}\right).$

Wenn man diese gleich Null setzt, so ergibt sich für jeden Punkt der freien Oberfläche die Bedingungsgleichung:

(2)	$\left({\frac {\partial V}{\partial x}}+\Xi \right){\frac {\partial x}{\partial n}}+\left({\frac {\partial V}{\partial y}}+\mathrm {H} \right){\frac {\partial y}{\partial n}}+\left({\frac {\partial V}{\partial z}}+\mathrm {Z} \right){\frac {\partial z}{\partial n}}=0$.

 Aendern sich die Grössen $\Xi ,\ \mathrm {H} ,\ \mathrm {Z} ,\ k$ im Innern des Leiters an keiner Stelle sprungweise, so treten weiter keine Gleichungen auf. Wir wollen aber noch den Fall betrachten, dass jene Grössen im Innern des Leiters beim Durchgang durch einzelne Flächen sich sprungweise ändern. Es werde von einem Punkte $(x,\;y,\;z)$