Schwere, Elektricität und Magnetismus:242

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 228
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Fünfter Abschnitt. §. 58.

Bestandtheil negativ ausfiele, und den Zahlwerth von $h\!$ so klein machen, dass der dritte Bestandtheil kleiner würde als der Zahlwerth des zweiten Bestandtheils. Dann hätte man

$\Omega (V+h\,s)<\Omega (v),$

was mit (2) im Widerspruch steht.

 Nun können wir das Integral auf der linken Seite der Gleichung (4) nach §. 20 transformiren. Dadurch geht die Gleichung (4) in folgende über:

(5)

${\begin{aligned}&-\int s\left\lbrace {\frac {\partial \left\lbrace k\left({\frac {\partial V}{\partial x}}+\Xi \right)\right\rbrace }{dx}}+{\frac {\partial \left\lbrace k\left({\frac {\partial V}{\partial y}}+\mathrm {H} \right)\right\rbrace }{dy}}+{\frac {\partial \left\lbrace k\left({\frac {\partial V}{\partial z}}+\mathrm {Z} \right)\right\rbrace }{dz}}\right\rbrace dS\\&-\int k\,s\left\lbrace \left({\frac {\partial V}{\partial x}}+\Xi \right)\,{\frac {\partial x}{\partial n}}+\left({\frac {\partial V}{\partial y}}+\mathrm {H} \right)\,{\frac {\partial y}{\partial n}}+\left({\frac {\partial V}{\partial z}}+\mathrm {Z} \right)\,{\frac {\partial z}{\partial n}}\right\rbrace \,d\sigma \\\end{aligned}}$ $=0.\,$

Das erste der beiden Integrale ist über den ganzen Raum $S\!$ zu erstrecken, das zweite über seine gesammte Oberfläche. Soll die Gleichung (5) erfüllt werden, so hat man jedes der beiden Integrale für sich gleich Null zu setzen. Das Raum-Integral wird zu Null, wenn für jeden Punkt $(x,\,y,\,z)$ im Innern von $S\!$ die mit $s\,dS$ multiplicirte Klammergrösse den Werth Null hat. Dies liefert die Bedingungsgleichung (1) des vorigen Paragraphen.

 Die Oberfläche von $S\!$ besteht erstens aus der freien Oberfläche des Leiters und zweitens aus den Hüllen der Unstetigkeitsflächen im Innern. Man hat also zunächst für jeden Punkt $(x,\,y,\,z)$ in der freien Oberfläche des Leiters gleich Null zu setzen, was mit $k\,s\,d\sigma$ multiplicirt ist. Dies liefert die Bedingungsgleichung (2) des vorigen Paragraphen.

 Die Hüllen einer Unstetigkeitsfläche sind zwei Flächen, welche auf entgegengesetzten Seiten unendlich nahe an ihr liegen und auf ihren Normalen resp. die unendlich kleinen Abschnitte $p=-\varepsilon \!$ und $p=+\varepsilon \!$ hervorbringen. Da die Normale $n\!$ immer nach dem Innern des Raumes $S\!$ gezogen wird, so hat man auf der positiven Seite der Unstetigkeitsfläche $n=p\!$ und auf der negativen Seite $n=-p\!$. Die Function $s\!$ ändert sich stetig, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ durch die Unstetigkeitsfläche hindurchgeht. Für zwei Punkte, die auf der negativen und auf der positiven Seite derselben Normale unendlich nahe an der Fläche liegen, hat also $s\!$ zwei Werthe, die von dem Werthe in dem Fusspunkte der Normale