Schwere, Elektricität und Magnetismus:256

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 242
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Fünfter Abschnitt. §. 64.

Integral. Für die Umhüllungen der Unstetigkeitsflächen gelten die in den Gleichungen (5), (6), (7), (8) enthaltenen Transformationen. Von den Unstetigkeitsflächen rührt also für das zu berechnende Integral (1) ein Beitrag

$-\sum J(V_{+0}-V_{-0})$

her, in welchem die Summirung sich nur auf die in dem Leiterstück vorhandenen Unstetigkeitsflächen bezieht. Es bleiben noch die über $\sigma _{1}\!$ und $\sigma _{2}\!$ auszudehnenden Oberflächen-Integrale übrig. Diese können, da $V_{1}\!$ und $V_{2}\!$ constant sind, geschrieben werden:

${\begin{aligned}&-V_{1}\int \left(i_{1}\,{\frac {\partial x}{\partial p}}+i_{2}\,{\frac {\partial y}{\partial p}}+i_{3}\,{\frac {\partial z}{\partial p}}\right)d\sigma _{1}\\\,\\&+V_{2}\int \left(i_{1}\,{\frac {\partial x}{\partial p}}+i_{2}\,{\frac {\partial y}{\partial p}}+i_{3}\,{\frac {\partial z}{\partial p}}\right)d\sigma _{2}.\\\end{aligned}}$

Dabei ist die Richtung der positiven $p\!$ so gelegt, dass sie von $\sigma _{1}\!$ in das Leiterstück hineinführt, von $\sigma _{2}\!$ dagegen aus demselben heraus. Nun ist

$dt\int \left(i_{1}\,{\frac {\partial x}{\partial p}}+i_{2}\,{\frac {\partial y}{\partial p}}+i_{3}\,{\frac {\partial z}{\partial p}}\right)d\sigma _{1}=J_{1}\,dt$

die Elektricitätsmenge, welche in dem Zeitelement $dt\!$ durch die Fläche $\sigma _{1}\!$ in das Leitersystem einströmt, dagegen

$dt\int \left(i_{1}\,{\frac {\partial x}{\partial p}}+i_{2}\,{\frac {\partial y}{\partial p}}+i_{3}\,{\frac {\partial z}{\partial p}}\right)d\sigma _{2}=J_{2}\,dt$

die Elektricitätsmenge, welche in demselben Zeitelement durch $\sigma _{2}\!$ austritt. Beide Mengen sind einander gleich. Wir erhalten also:

(9)	${\frac {dA}{dt}}=J_{1}(V_{2}-V_{1})-\sum J(V_{+0}-V_{-0}).$

Hier bezieht sich die Summirung auf die Producte $J(V_{+0}-V_{-0})\!$ für alle innerhalb des Leiterstückes befindlichen Unstetigkeitsflächen.*)^[1]

§. 64. Erwärmung des Leiters. Gesetz von Joule.

 Die elektromotorischen Kräfte bringen ausser dem galvanischen Strom noch eine andere Wirkuug hervor, nämlich eine Erwärmung

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1. *) Ueber den Inhalt der §§.57, 58, 59, 60, 63 vergleiche man: Kirchhoff, über die Anwendbarkeit der Formeln für die Intensitäten der galvanischen Ströme in einem Systeme linearer Leiter auf Systeme, die zum Theil aus nicht linearen Leitern bestehen. Poggendorff, Annalen. Bd. 75. S. 189.