Schwere, Elektricität und Magnetismus:264

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Sechster Abschnitt. §. 67.

einmal getroffen werden. Das Flächenstück, welches von der Curve umschlossen wird (Fig. 36), soll ganz in dem Quadranten liegen,

Fig. 36.

in welchem $x\,$ und $y\,$ positiv sind. Wir durchlaufen die Curve im

positiven Sinne, wenn dabei die Tangente in der Richtung des wachsenden Bogens zu der nach innen gezogenen Normale ebenso liegt, wie die Axe der positiven $x\,$ zu der Axe der positiven $y\,$.

 Es seien $P\,$ und $Q\,$ zwei Functionen von $x\,$ und $y\,$, die innerhalb des von der Curve begrenzten Flächenstückes einwerthig, endlich und stetig variabel vorausgesetzt werden. Wir betrachten das Integral

(1)	$-\iint \left({\frac {\partial P}{\partial y}}\,-\,{\frac {\partial Q}{\partial x}}\right)\delta x\,\delta y,$

ausgedehnt über das von der Curve begrenzte Flächenstück. Dabei bezeichnen$\delta x\,$ und $\delta y\,$ positive Zunahmen der Variabeln. Für den ersten Bestandtheil des Integrals können wir mit der Integration nach $y\,$ beginnen. Wir ziehen die Ordinaten, welche zu den Abscissen $x\,$ und $x\,+\delta x$ gehören. Zwischen ihnen liegt ein unendlich schmaler Flächenstreifen, welcher ebenso oft in das von der Curve begrenzte Flächengebiet eintritt, wie aus demselben austritt. Wir bezeichnen die Ordinaten der Eintrittsstellen mit

$y_{1},\,y_{3},\,y_{5},\ldots y_{2n-1},$

die Ordinaten der Austrittsstellen dagegen mit

$y_{2},\,y_{4},\,y_{6},\ldots y_{2n}$

und bemerken, dass

$y_{1}<y_{2}<y_{3}<\ldots y_{2n-1}<y_{2n}.$

Die Bogenelemente, welche der unendlich schmale Flächenstreifen bei seinem Ein- und Austritt auf der Begrenzungscurve abschneidet, seien

$ds_{1},\,ds_{2},\,ds_{3},\ldots ds_{2n-1},\,ds_{2n}.$

Der Cosinus des Winkels, welchen ein solches Bogenelement mit der Richtung der positiven $x\,$ einschliesst, ist positiv an allen