Schwere, Elektricität und Magnetismus:294

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 280
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Sechster Abschnitt. §. 81.

$\iiint {\Big \lbrace }\left({\frac {\partial v}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial v}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial v}{\partial z}}\right)^{2}{\Big \rbrace }dx\,dy\,dz\,$

Dieses Integral müsste also den Werth Null haben, was nicht anders möglich ist, als wenn man $v={\text{const.}}\,$ setzt. Hieraus würde aber ohne weiteres folgen:

$\int vNd\sigma =c\int Nd\sigma =0$

nach Gleichung (3), und das steht mit der Nebenbedingung (6) im Widerspruch. Demnach muss $k\,$ von Null verschieden sein.

 Es bleibt noch zu beweisen, dass es ausser $v\,$ keine andere Function gibt, welche unter der Bedingung (6) das Integral (5) zu einem Minimum macht. Angenommen, es wäre $u=v+s\,$ eine Function, die dies leistete, so würde sie die Bedingung erfüllen;

(15)	$\Omega (v+s)\leqq \Omega (v+hs),$

wenn hier die Constante $h\,$ unendlich nahe an 1 genommen wird. Nun ist aber nach den Gleichungen (11), (12) und (13):

$\Omega (v+hs)=\Omega (v)+h^{2}\Omega (s),\,$ $\Omega (v+s)=\Omega (v)+\Omega (s).\,$

Folglich lautet die Bedingung (15) jetzt:

(16)	$\Omega (s)\leqq h^{2}\Omega (s),$

Man darf aber die Constante $h^{2},\,$ welche hier unendlich nahe an 1 liegen soll, nicht bloss grösser, sondern auch kleiner als 1 nehmen, und deshalb kann die Bedingung (16) nur dadurch erfüllt werden, dass man setzt:

$\Omega (s)=0,\,$ d. h. $s={\text{const.}}\,$

Sieht man von einer willkürlichen additiven Constanten ab, so ist demnach $v\,$ die einzige Function, welche unter Innehaltung der Nebenbedingung (6) das Integral (5) zu einem Minimum macht.

 Endlich kann man noch den Zusammenhang zwischen $k\,$ und $A\,$ aufsuchen. Es ist schon bewiesen, dass

${\begin{aligned}&\iiint {\Big \lbrace }\left({\frac {\partial v}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial v}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial v}{\partial z}}\right)^{2}{\Big \rbrace }dx\,dy\,dz\,\\=-&\iiint v\left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}\right)dx\,dy\,dz\,\\-&\int v{\frac {\partial v}{\partial n}}d\sigma \,\\\end{aligned}}$

Das dreifache Integral links ist das Minimum $\,\Omega (v)$. Auf der