Schwere, Elektricität und Magnetismus:300

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 286
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Sechster Abschnitt. §. 83.

Dadurch zerfallen die inneren Figuren in lauter Dreiecke, deren Anzahl leicht aus ihrer Winkelsumme bestimmt werden kann. Die Summe der Winkel an den äusseren Knotenpunkten ist nemlich

$=(a-2)2R\,$

und an den inneren Knotenpunkten

$=(n-a)4R.\,$

Folglich haben wir

$2(n-1)-a\,$

Dreiecke und

$6(n-1)-4a\,$

innere Dreiecksseiten. Dabei ist jede innere Linie der Fig. 46 doppelt gezählt. Die Anzahl dieser inneren Linien ist also

$3(n-1)-2a.\,$

In der ursprünglichen Fig. 45 sind aber nur

$m-a\,$

innere Linien vorhanden. Folglich hat man in Fig. 46

$3(n-1)-a-m\,$

punktirte Linien, die wieder weggenommen werden müssen, wenn man auf die ursprüngliche Figur zurückkommen will. Durch jede weggenommene punktirte Linie werden zwei benachbarte Figuren zu einer einzigen vereinigt. Die Anzahl der einzelnen Figuren, in welche das $a\,$-Eck der Fig. 45 durch die inneren Linien zerlegt wird, ist demnach

$2(n-1)-a-\lbrace 3(n-1)-a-m\rbrace \,$ $=m-n+1.\,$

Nun entspricht jedem Schnitt im Innern der Linien von Fig. 45 eine Querschnittsfläche im Innern des gegebenen Drahtsystems. Dasselbe wird also durch $m-n+1\,$ Querschnittsflächen in einen einfach zusammenhangenden Körper verwandelt. Jeder einzelnen einfachen Figur in 45 entspricht eine Querschnittsfläche im äusseren Raume. Die Anzahl dieser Querschnittsflächen ist demnach auch $m-n+1\,$. Sind sie alle vorhanden, so besitzt der äussere Raum noch vollen Zusammenhang. Denn man kann von einem Punkte auf der einen Seite irgend eines Querschnittes nach allen Punkten auf der einen wie auf der andern Seite jedes Querschnittes gelangen, ohne den äusseren Raum zu verlassen. Wollte man aber im äusseren Raume noch eine neue Querschnittsfläche legen, so