Schwere, Elektricität und Magnetismus:302

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 288
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Sechster Abschnitt. §. 84.

Function $V\,$ Werthe von endlicher Differenz. Man findet diese Differenz, indem man das Integral

$\int (Xdx+Ydy+Zdz)$

von dem einen Punkte nach dem andern hin längs eines Integrationsweges erstreckt, welcher völlig innerhalb des einfach zusammenhangenden äusseren Raumes liegt. Für einen und denselben Querschnitt ist die Differenz

$V_{+0}-V_{-0}\,$

constant, an welcher Stelle dieses Querschnittes man auch die beiden unendlich nahe gelegenen Punkte nehmen möge. Denn zieht man längs eines Querschnittes zwei einander unendlich nahe gelegene Linien, die eine auf der positiven, die andere auf der negativen Seite des Querschnittes, so habe in irgend einem Punkte der einen Linie die Componenten $X,Y,Z\,$ resp. dieselben Werthe wie in dem unendlich nahe gelegenen Punkte der andern Linie.

 Die $q\,$ constanten Werthe, welche die Differenz

$V_{+0}-V_{-0}\,$

zu beiden Seiten der Querschnitte $S_{1},S_{2},\ldots S_{q}\,$ besitzt, sind nach der Natur der Aufgabe bekannt. Wir wollen sie mit $C_{1},C_{2},\ldots C_{q}\,$ bezeichnen.

 Soll nun die Function gemäss den Bedingungen (1) und (2) des §. 81 in das Innere des gegebenen Körpers fortgesetzt werden, so kann man dazu genau den dort eingeschlagenen Weg wieder durchmachen. Aber die Function, welche sich dabei ergibt (sie soll hier mit $V'\,$ bezeichnet werden), ist nicht mehr die einzige Lösung der Aufgabe. Man kann nemlich noch eine Function $V''\,$ hinzufügen, welche $q\,$ willkürliche constante Grössen $c_{1},c_{2},\ldots c_{q}\,$ als lineär auftretende Factoren enthält. Wir stellen durch $q\,$ Querschnittsflächen $Q_{1},Q_{2},\ldots Q_{q}\,$ im Innern des gegebenen Körpers einfachen Zusammenhang her, und gehen darauf aus, die Function $v_{\mu }\,$ den folgenden Bedingungen gemäss zu bestimmen. Es soll

(2)	${\frac {\partial ^{2}v_{\mu }}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v_{\mu }}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v_{\mu }}{\partial z^{2}}}=0$

sein im ganzen Innern. Es soll

(3)	${\frac {\partial v_{\mu }}{\partial n}}=0$