Schwere, Elektricität und Magnetismus:304

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 290
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Sechster Abschnitt. §. 84.

(8)	$V=V'+V''\,$

den folgenden Bedingungen. Sie stimmt im ganzen äusseren Räume mit der dort gegebenen Function $V\,$ überein. Sie erfüllt im äusseren Raume wie im Inneren des gegebenen Körpers die partielle Differentialgleichung (2). Für jeden Punkt in der Oberfläche des $(q+1)\,$fach zusammenhangenden Körpers ist

(9)	$\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{-0}=\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{+0}.\,$

Beim Durchgange durch die Querschnitte $Q_{1},Q_{2},\ldots Q_{q}\,$ von der negativen auf die positive Seite ändert sich die Function $V\,$ sprungweise um die constanten Grössen $c_{1},c_{2},\ldots c_{q}\,$. Uebrigens ist sie nebst ihren ersten Derivirten endlich und stetig variabel im Innern des einfach zusammenhangenden Körpers, welcher durch die Querschnitte $Q_{1},Q_{2},\ldots Q_{q}\,$ zu Stande gebracht ist. Für zwei unendlich nahe gelegene Punkte auf verschiedenen Seiten des Querschnitts $Q\,$ hat die Derivirte in der Richtung der wachsenden Normale denselben Werth.

 Da die Coefficienten $c_{1},c_{2},\ldots c_{q}\,$ völlig willkürlich sind, so gibt es in der Oberfläche eines mehrfach zusammenhangenden Körpers unendlich viele verschiedene Stromvertheilungen, von denen jede die im äusseren Raume vorgeschriebenen magnetischen Wirkungen hervorbringt.

 Hat man ein bestimmtes System von Constanten $c_{1},c_{2},\ldots c_{q}\,$ angenommen, so ergeben sich die Strömungslinien und die Stromintensitäten durch Anwendung des in §. 82 entwickelten Verfahrens. Man hat dabei zweierlei Arten von Strömen zu unterscheiden. Setzt man nemlich die sämmtlichen Constanten $c_{1},c_{2},\ldots c_{q}\,$ gleich Null, woraus auch $V''=0\,$ folgt, so erhalt man eine einzige Anordnung von Strömen, von denen allein die äusseren magnetischen Wirkungen herrühren. Setzt man dagegen $V'=0\,$, so erhält man für jedes bestimmte System von Constanten $c_{1},c_{2},\ldots c_{q}\,$ eine Stromvertheilung, von der im äusseren Raume gar keine magnetischen Wirkungen ausgeübt werden. Es geht dies unmittelbar aus der Gleichung (7) hervor. Wir wollen den einfachsten Fall, nemlich $q=1\,$, im nächsten Paragraphen noch näher betrachten.