Schwere, Elektricität und Magnetismus:310

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 296
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Sechster Abschnitt. §. 88.

(2)

${\begin{aligned}P=&-{\frac {1}{4\pi }}\int V_{+0}d\sigma \left\lbrace X'{\frac {\partial x}{\partial p}}+Y'{\frac {\partial y}{\partial p}}+Z'{\frac {\partial z}{\partial p}}\right\rbrace \\&+{\frac {1}{4\pi }}\int V_{-0}d\sigma \left\lbrace X'{\frac {\partial x}{\partial p}}+Y'{\frac {\partial y}{\partial p}}+Z'{\frac {\partial z}{\partial p}}\right\rbrace .\\\end{aligned}}$

Betrachtet man aber die beiden Seiten der Fläche $S\,$ als einen Theil der Begrenzung des unendlichen Raumes (die übrige Begrenzung ist eine unendlich entfernte Kugelfläche), so kann man auf der positiven, wie auf der negativen Seite von $S\,$ die Normale $n\,$ nach dem Innern dieses Raumes hin ziehen. Auf der Seite der positiven $p\,$ hat man $n=p\,$, auf der Seite der negativen $p\,$ dagegen $n=-p\,$. Die Gleichung (4) gibt demnach jetzt:

(3)	$P=-{\frac {1}{4\pi }}\int Vd\sigma \left\lbrace X'{\frac {\partial x}{\partial n}}+Y'{\frac {\partial y}{\partial n}}+Z'{\frac {\partial z}{\partial n}}\right\rbrace ,$

wenn die Integration über beide Seiten der Fläche $S\,$ ausgedehnt wird.

 Dieses Integral lässt sich durch ein Raum-Integral, ersetzen. Bezeichnen wir nemlich mit $T\,$ den unendlichen Raum, welcher eine unendlich entfernte Kugelfläche und die beiden Seiten der Fläche $S\,$ zur Begrenzung hat, so findet sich nach §. 19 (4), dass das über den unendlichen Raum ausgedehnte Integral

$\int dT\left({\frac {\partial (VX')}{\partial x}}+{\frac {\partial (VY')}{\partial x}}+{\frac {\partial (VZ')}{\partial z}}\right)$

gleich ist dem Oberflächen-Integral

$-\int Vd\sigma \left(X'{\frac {\partial x}{\partial n}}+Y'{\frac {\partial y}{\partial n}}+Z'{\frac {\partial z}{\partial n}}\right),$

wenn dieses über die beiden Seiten der Fläche $S\,$ und über die unendlich ferne Kugelfläche erstreckt wird. Nun sind aber in unendlicher Entfernung sowohl $V\,$ als $X',\ Y',\ Z'\,$ gleich Null. Das Integral über die Kugelfläche fällt also weg, und wir erhalten

(4)	$P={\frac {1}{4\pi }}\int dT\left\lbrace {\frac {\partial (VX')}{\partial x}}+{\frac {\partial (VY')}{\partial y}}+{\frac {\partial (VZ')}{\partial z}}\right\rbrace .\,$

 Die Integration in (4) ist über den ganzen unendlichen Raum auszudehnen.

 Wir können noch weiter transformiren. Durch Ausführung der Differentiation ergibt sich nemlich