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Zwei lineäre constante Ströme.
∫
d
s
′
r
∂
(
r
∂
r
∂
s
)
∂
s
′
=
1
r
⋅
r
∂
r
∂
s
−
∫
∂
(
1
r
)
∂
s
′
r
∂
r
∂
s
d
s
′
{\displaystyle \int {\frac {ds'}{r}}{\frac {\partial \left(r{\frac {\partial r}{\partial s}}\right)}{\partial s'}}={\frac {1}{r}}\cdot r{\frac {\partial r}{\partial s}}-\int {\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial s'}}r{\frac {\partial r}{\partial s}}ds'\,}
=
∂
r
∂
s
+
∫
d
s
′
r
∂
r
∂
s
∂
r
∂
s
′
.
{\displaystyle ={\frac {\partial r}{\partial s}}+\int {\frac {ds'}{r}}{\frac {\partial r}{\partial s}}{\frac {\partial r}{\partial s'}}.}
Setzt man die Grenzen ein, so fällt der vom Integralzeichen freie Theil heraus, da die Integration durch die geschlossene Linie
s
′
{\displaystyle s'\,}
auszudehnen ist. Folglich erhalten wir
(6)
P
=
−
J
J
′
∬
d
s
d
s
′
r
∂
r
∂
s
∂
r
∂
s
′
.
{\displaystyle P=-J\,J'\iint {\frac {ds\,ds'}{r}}{\frac {\partial r}{\partial s}}{\frac {\partial r}{\partial s'}}.}
Nun ergibt sich aus dem Ausdrucke für
r
{\displaystyle r\,}
durch Differentiation
d
r
=
x
−
x
′
r
(
∂
x
∂
s
d
s
−
∂
x
′
∂
s
′
d
s
′
)
+
y
−
y
′
r
(
∂
y
∂
s
d
s
−
∂
y
′
∂
s
′
d
s
′
)
+
z
−
z
′
r
(
∂
z
∂
s
d
s
−
∂
z
′
∂
s
′
d
s
′
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}dr&={\frac {x-x'}{r}}\left({\frac {\partial x}{\partial s}}ds-{\frac {\partial x'}{\partial s'}}ds'\right)\\&+{\frac {y-y'}{r}}\left({\frac {\partial y}{\partial s}}ds-{\frac {\partial y'}{\partial s'}}ds'\right)\\&+{\frac {z-z'}{r}}\left({\frac {\partial z}{\partial s}}ds-{\frac {\partial z'}{\partial s'}}ds'\right).\\\end{aligned}}}
Andererseits ist
d
r
=
∂
r
∂
s
d
s
+
∂
r
∂
s
′
d
s
′
{\displaystyle dr={\frac {\partial r}{\partial s}}ds+{\frac {\partial r}{\partial s'}}ds'}
. Durch Vergleichung finden wir
x
−
x
′
r
⋅
∂
x
∂
s
+
y
−
y
′
r
⋅
∂
y
∂
s
+
z
−
z
′
r
⋅
∂
z
∂
s
=
∂
r
∂
s
,
x
−
x
′
r
⋅
∂
x
′
∂
s
′
+
y
−
y
′
r
⋅
∂
y
′
∂
s
′
+
z
−
z
′
r
⋅
∂
z
′
∂
s
′
=
−
∂
r
∂
s
′
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {x-x'}{r}}\cdot {\frac {\partial x}{\partial s}}+{\frac {y-y'}{r}}\cdot {\frac {\partial y}{\partial s}}+{\frac {z-z'}{r}}\cdot {\frac {\partial z}{\partial s}}={\frac {\partial r}{\partial s}},\\&{\frac {x-x'}{r}}\cdot {\frac {\partial x'}{\partial s'}}+{\frac {y-y'}{r}}\cdot {\frac {\partial y'}{\partial s'}}+{\frac {z-z'}{r}}\cdot {\frac {\partial z'}{\partial s'}}=-{\frac {\partial r}{\partial s'}}.\\\end{aligned}}}
Bezeichnet man mit
θ
{\displaystyle \theta \,}
und
θ
′
{\displaystyle \theta '\,}
die Winkel, welche die Richtung der von
(
x
′
,
y
′
,
z
′
)
{\displaystyle (x',\,y',\,z')\,}
nach
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,\,y,\,z)\,}
führenden Linie
r
{\displaystyle r\,}
mit den Richtungen des wachsenden
s
{\displaystyle s\,}
und des wachsenden
s
′
{\displaystyle s'\,}
einschliesst, so erkennt man leicht, dass die beiden letzten Gleichungen auch so geschrieben werden können:
(7)
cos
θ
=
∂
r
∂
s
,
cos
θ
′
=
−
∂
r
∂
s
′
.
{\displaystyle \cos \theta ={\frac {\partial r}{\partial s}},\quad \cos \theta '=-{\frac {\partial r}{\partial s'}}.}
Folglich geht die Gleichung (6) in die neue Form über:
(8)
P
=
J
J
′
∬
d
s
d
s
′
r
cos
θ
cos
θ
′
.
{\displaystyle P=J\,J'\iint {\frac {ds\,ds'}{r}}\cos \theta \cos \theta '.}
Die Winkel
θ
{\displaystyle \theta \,}
und
θ
′
{\displaystyle \theta '\,}
sind in Fig. 48 bezeichnet.